9平面向量的基本定理及其坐标表示-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍含解析-4973

1、学必求其心得，业必贵于专精1.认识平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4。理解用坐标表示的平面向量共线的条件热点题型一平面向量基本定理及其应用例1、如图，在梯形ABCD中，ADBC，且AD错误!BC，E，F分别为线段AD与BC的中点。设错误!a，错误!b，试用a,b为基底表示向量错误!，错误!，错误!.剖析：错误!错误!错误!错误!错误!ba错误!b错误!ba，错误!错误!错误!错误!b错误!错误!ba。错误!错误!错误!错误!b错误!a错误!b。【提分秘笈】用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1）合理地选用基底是解题必

2、定具备的意识和能力.用基底将条件和结论表示为向量的形式，再经过向量的运算来解决。2)要注意运用平面几何的一些性质、定理来解题。热点题型二平面向量的坐标运算学必求其心得，业必贵于专精例2、【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若AP=AB+AD，则+的最大值为A3B22C5D2【答案】A【剖析】以以下图,成立平面直角坐标系设A0,1,B0,0,D2,1,Px,y【变式研究】已知A(2，4)，B(3，1），C(3，4）,设错误!a，错误!b，错误!c，且错误!3c，错误!2b。(1)求3ab3c;学必求其心得，业必贵于专精(2)求知

3、足ambnc的实数m，n；（3)求M，N的坐标及向量错误!的坐标。剖析：由已知得a（5,5），b(6，3），c(1，8)。1）3ab3c3（5,5)(6，3)3(1,8)(1563,15324）(6，42).2)mbnc(6mn，3m8n）（5，5），错误!解得错误!剖析:由已知得a（5，5)，b(6，3），c（1,8)。（1）3ab3c3（5，5）（6，3)3(1，8）(1563，15324）（6，42)。2)mbnc（6mn,3m8n)（5，5），错误!解得错误!【提分秘笈】向量坐标运算的方法技巧向量的坐标运算主假如利用加、减、数乘运算法例进行的.若已知有向线段两头点的坐标,则应先求出向量

4、的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法例的正确使用。【贯串交融】1已知平面向量a（1，1），b(1，1)，则向量a错误!b()2A(2，1）B（2，1)C(1，0）D(1,2）剖析:错误!a错误!，错误!b错误!，学必求其心得，业必贵于专精故错误!a错误!b(1，2)。答案：D热点题型三平面向量共线的坐标表示例3【2017课标II，理12】已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小是（)A。2B。3C。2D。1【答案】B43【剖析】如图，以BC为x轴,BC的垂直均分线DA为y轴，D为坐标原点成立平面直角坐标系，则A0,3,B1,0,C1,0，设Px

5、,y，所以PAx,3y，PB1x,y,PC1x,y，所以PBPC2x,2y，PAPBPC2x22y3y2x22(y3)233,222当P0,2时，所求的最小值为3，应选B3平面内给定三个向量a(3,2），b（1，2）,c（4，1)。回答以下问题：(1）若(akc)（2ba）,求实数k;学必求其心得，业必贵于专精2)设d(x，y）知足（dc)(ab）且|dc1，求d。剖析：（1）akc(3，2）k(4，1）（34k，2k），2ba（2,4）（3，2)(5，2），34k5错误!。68k105k.k错误!。【提分秘笈】1依照向量共线的坐标运算求参数的值利用向量共线转变为含参数的方程,解方程可求参数.

6、2利用向量共线的坐标运算求三角函数值利用向量共线的坐标运算转变为三角方程,再利用三角恒等变学必求其心得，业必贵于专精换求解。【贯串交融】已知梯形ABCD，其中ABCD,且DC2AB，三个极点A(1，2),B（2，1），C(4,2），则点D的坐标为_。1。【2017课标3,理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD，则+的最大值为A3B22C5D2【答案】A【剖析】以以下图，成立平面直角坐标系学必求其心得，业必贵于专精设A0,1,B0,0,D2,1,Px,y依照等面积公式可得圆的半径是2，即圆的方程是x2y24525APx,y1,AB

7、0,1,AD2,0，若知足APABAD即x2，x,1y，所以xy1,设zxy1，即y1222xz0，点Px,y在圆x224上，所以圆心到直线的距y1y2252z2z3，所以z的最大值是3，即离dr，即15，解得114的最大值是3，应选A。【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理2。【2017课标II,理12】已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PBPC)的最小是()A。2B。3C。423D.1【答案】B学必求其心得，业必贵于专精【考点】平面向量的坐标运算;函数的最值3【.2017课标1,理13】已知向量a，b的夹角为60，a|=2，b|=1，则|a+2b=。【答

8、案】23【剖析】利用以以以下图形，能够判断出a2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,|a2b|2|a|24ab4|b|24421cos60412所以|a2b|1223。学必求其心得，业必贵于专精【考点】平面向量的运算.1.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足DA=DB=DC，DB=DBDC=DCDA=2,动点P,M知足APDA=1，PM=MC，则2的最大值是（)BM4349376337233（A）4（B）4(C）4（D）4【答案】B【剖析】甴已知易得ADCADBBDC120,DADBDC2.以D为原点,直线DA为x轴成立平面直角坐标系,以以下图,则A2,0,B1,3,

9、C1,3.设Px,y,由已知AP1，得x2y21，2又PMMC,Mx1,y3,BMx1,y33,222222y332x+12y2BM4，它表示圆x21上的点x，y与点1212249,应选321,33的距离的平方的BM3314，max44B。学必求其心得，业必贵于专精【2015高考福建，理9】已知ABAC,AB1,ACt,若P点是ABCt所在平面内一点AB4AC，则PBPC的最大值等于,且APACAB(）A13B15C19D21【答案】Ay【剖析】以A为坐标原点，成立平面直角坐标系,以以下图，则B(1C,0)，C(0,t)，tAP（1，0)+4(0,1)=(1,4)，即P（1，4),所以PB=（

10、11，-4)，PC=（A1，t-4)，所以PBPCt114t1617(14t)，因为tt1214，所以PBPC的最大值等4t4tttPBx于13，当1t4t,即t12时取等号【2015高考湖北，理11】已知向量OAAB，|OA|3，则OA?OB。【答案】9学必求其心得，业必贵于专精【剖析】因为OAAB，|OA|3，所以OA?OBOA?(OAAB)|OA|2OA?OB|OA|2329。1（2014重庆卷)已知向量a(k，3)，b（1，4），c(2，1)，且(2a3b）c，则实数k（）A错误!B0C3D。错误!【答案】C【剖析】2a3b2(k，3）3（1，4)(2k3，6），又(2a3b）c，(2

11、k3)2(6）0，解得k3.2（2014福建卷）在以下向量组中，能够把向量a（3，2）表示出来的是(）Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1（1，2)，e2(5，2）Ce1(3，5）,e2（6，10)e1(2,3)，e2（2，3)【答案】B【剖析】由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能够作为基底;而选项B中的向量组不共线，能够作为基底，应选B。3(2014山东卷)已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n），函数f(x)ab,且yf(x）的图像过点错误!和点错误!.（1)求m，n的值;学必求其心得，业必贵于专精(2）将yf（x)的图像向左平移（0）个单位后获取函数yg(

12、x)的图像，若yg(x)图像上各最高点到点（0，3)的距离的最小值为1，求yg（x)的单一递加区间2）由（1)知f(x)3sin2xcos2x2sin错误!.由题意知,g(x)f（x）2sin错误!。设yg（x)的图像上切合题意的最高点为（x0,2)由题意知，x错误!11，所以x00，即到点（0,3）的距离为1的最高点为（0，2)将其代入yg(x)得,sin错误!1。因为0，所以错误!.所以，g(x)2sin错误!2cos2x。由2k2x2k，kZ得k错误!xk，kZ,所以函数yg(x）的单一递加区间为错误!，kZ.学必求其心得，业必贵于专精4（2014陕西卷）设0错误!，向量a(sin2,c

13、os),b(cos，1)，若ab，则tan_【答案】错误!【剖析】因为向量ab，所以sin2coscos0，又cos0,所以2sincos,故tan错误!。5(2014陕西卷)在直角坐标系xOy中,已知点A（1，1），B(2，3),C（3,2）,点P(x，y)在ABC三边围成的地区(含界线）上1）若错误!错误!错误!0,求|错误!；2）设错误!m错误!n错误!（m,nR），用x，y表示mn，并求mn的最大值【剖析】（1）方法一：错误!错误!错误!0，又错误!错误!错误!（1x,1y）（2x,3y）（3x,2y）(63x，63y)，错误!解得错误!即错误!（2，2），故错误!|2错误!.方法二：

14、错误!错误!错误!0，则(错误!错误!）(错误!错误!)（错误!错误!）0，错误!错误!(错误!错误!错误!）(2，2)，错误!|2错误!。2)错误!m错误!n错误!，(x，y）（m2n，2mn)，错误!学必求其心得，业必贵于专精两式相减得，mnyx,令yxt，由图知,当直线yxt过点B(2,3)时，t获取最大值1,故mn的最大值为1。1.已知向量a=（2,4)，b=(1，1），则2a-b=（)A。(5，7)B。(5，9）C.（3，7）D。(3，9）【剖析】选A。2a-b=2(2，4)-（-1，1)=（5,7)。2.在ABC中,已知A（2，1）,B(0，2），BC=(1,2)，则向量AC=()

15、A.（0，0）B。(2，2)C。(-1，-1）D.（-3,-3)【剖析】选C。因为A(2，1），B(0，2),所以AB=(2，1).又因为BC=（1,-2）,所以AC=AB+BC=（-2，1)+(1，-2）=(-1，1).3。若向量a=（2，1)，b=(2，3)，则以下向量中与向量2a+b学必求其心得，业必贵于专精共线的是()A。（5，2)B。（4，10)C。(10，4）D.1，2)【剖析】选B。因为向量a=（2，1），b=(-2，3）,所以2a+b=(2，5）.又(4,10)=2(2，5)=2(2a+b)，所以B项与2a+b共线。4。已知a=（1，1）,b=(1,2)，c=(5，-1)，则c

16、可用a与b表示为(）A。a+bB.2a+3bC.3a2bD。2a-3b【剖析】选C。因为a=（1，1)，b=（-1,2)，c=（5,-1),所以a+b=（0，3）c，2a+3b=2(1，1）+3(1,2)=（-1，8)c，3a-2b=3(1，1）-2(1,2）=(5，1）=c，2a3b=2(1,1)-3(1，2）=（5，4）c.应选C.5。在ABC中，点P在BC上,且BP=2PC，点Q是AC的中点，）若PA=(4，3）,PQ=(1，5),则BC=（A.(2,7)B。（6，21）学必求其心得，业必贵于专精C.（2，-7)D.(6，21）【剖析】选B。由条件知，PC=2PQ-PA=2(1，5）-（

17、4，3)=(-2，7)，因为BP=2PC=(-4，14),所以BC=BP+PC=(-6，21）.6。在ABC中，已知a，b,c分别为A，B,C所对的边，S为ABC的面积，若向量p=(4，a2+b2c2），q=(1，S)知足pq，则C=()A.4B。3C。2D。347.在ABC中，点D在线段BC的延伸线上，且BC=3CD，点O在线段CD上(与点C,D不重合)，若AO=xAB+（1x）AC,则x的取值范围是（）A。(0，1B。(0，12)3)C。(-21，0)D.(-31，0)学必求其心得，业必贵于专精【剖析】选D.如图.依题意，设BO=，其中13，BC4则有+=+=ABAOABBOBC=+（AB

18、）=(1)+。ABACABAC31，0)，即又AO=xAB+(1x)AC，且AB，AC不共线,于是有x=1(-x的取值范围是(-13，0).8。设e1，e2是平面内一组基向量，且a=e1+2e2，b=e1+e2，若e1+e2=xa+yb,则x+2y=（)A。13B。13C。1D。0【剖析】选D。因为e1+e2=xa+yb.a=e1+2e2，b=-e1+e2，所以e1+e2=x(e1+2e2)+y(-e1+e2)=(xy）e1+（2x+y)e2.由平面向量基本定理,得x-y=1，2x+y=1，x=2，3所以1y=-3.学必求其心得，业必贵于专精故x+2y=32+2(-31)=0.9。已知A（7，1)、B(1,4）,直线y=21ax与线段AB交于C，且AC=2CB，则实数a等于。【剖析】设C（x，y），则AC=(x7，y-1),CB=(1-x，4y).因为AC=2CB，所以x-7=2(1-x)，解得x=3，所以C（3，3）.y-1=2(4-y)