高中物理竞赛天体部分习题

1、天体部分习题精选1.试证明质量均匀、厚度均匀的球壳内一质点碰到球壳的万有引力为零.证明设球壳单位面积质量为,壳内P点处有一质点m,如图4-17所示,球壳上取一小面元S1,距P为r1,过此面元界线与P连接并延长,在球壳上又取下对应面元S2,距P为r2,可得S1与S2对质点m的总万有引力Fi为Fi=F1-F2.S1S1S1Or1PPOr2S2S2S2图4-17Fi=GmS1-GmS2r12r22S1S2=Gm(r2-r2).12从图中可得S1-S222.r1r2由于S1和S2很小,所以S1=S1cos,S2=S2cos,即S1=S2.22r1r2这样可得Fi=0.所以F=Fi=0.i=1两个质量为

2、1.0g的质点相距10m.开始时两质点相对静止，且其中一个质点固定.若是它们之间只有万有引力作用，问：无初速释放一个质点后，经过多长时间它们相碰？解设想m1绕m2做半径为l的圆周运动，m2为圆心.由于两质点只有万有引力作用，故可视为m1做近似于太阳系行星的运动.设m1在A点速度减小，开始沿虚线做椭圆运动，m2为焦点，如图4-18所示.设圆运动和椭圆运动的周长分别l和lA为T和T，圆半径和椭圆半长轴分别为，由开普勒第三定律有m1lTT22TT1m23l=l3图4-18当m1在A点的速度减为零时，有l1T2，则m1从A运动到m2的时间t=2.又由于m1做圆周运动时，受向心力Fn=Gm1m2=m1l

3、42作用，故l2T2T242.2l3=Gm21231T1（l2，所以t=)由、两式得T=2）Gm2=(22108s.31=1.36Gm2求半径为R的液态行星中心处压强，假设液态不可以压缩且密度为.若R=6.4106m，=1.7103kg/m3，计算此压强。解将行星球体分成大量厚r的薄球层.不难证明：各层对该层内微粒万有引力之和等于零.为此研究小顶角的圆锥，其中含有质量为m的微粒.圆锥从球层上分出头积分别为S1和S2两部分（图4-19）.若球层单位面积表面摊有物质的质量为，则S1和S2部分对质量m的万有引S1力分别为B11F1GmS1，F2mS2，M1A1r12Gr1r22但是S21cos1S2

4、2cos2O,r1r2M2r2式中：为圆锥极点O处立体角.B2S2作OM=OA和OM=OA，所以A211222OAM=OAM.1122图4-19其他，OA1B1=OA2B2.由于1=OA1B1-OA1M1，2=OA2B2-OA2M2，所以1=2，所以，S21=S22.r1r2结果F1=F2，这两个力相互相互平衡.对球层其他部分进行近似研究，我们证了然前面作出的结论.4r3Sr体积Sr元层所受指向行星中心的引力为F=G3.r2式中：r是今后元层到行星的距离.由此求出厚r部分压强的增加为p=F=4G2rr.S3于是在离行星中心距离r0处的压强为p=p0+4G2rr.3由于rr等于图像y=r与轴r所

5、围图形面积，所以（R+r0）（R-r0）R2-r2rr=2=2，所以2222p=p0+G（Rr0）.3取行星表面处压强等于零，获取2222p=G（Rr0）.3行家星中心处（r0=0）压强等于222p=GR.代入和R数值，获取P1.61029N/m2.使航天器飞越太阳系的设计方案之一，建议使用面积S=1km2的太阳帆，当航天器绕太阳沿半径R地=1.5108km的地球轨道运转时，太阳帆张开.在随后运行中指令帆向来垂直太阳光辉的方向，在地球轨道上太阳光压强为p=10-5pa.问：（1）当航天器质量多少时它可以飞离太阳系？（2）当航天器质量为多少时，它可以飞到半径R火=2.3108km的火星轨道？不考

6、虑地球以及其他行星的引力影响.太阳质量与万有引力恒量的乘积等于M太G=1.31011km3/s2.解（1）当太阳帆张开时太阳引力和太阳压强作用在航天器上，这两个力的合力为M太mM太m2-pS=G-G地F=GR地2mRpSR地2GmR地22（）=GR地2可见，太阳光压忧如减少了太阳对航天器的引力.这个力结果是使太阳质量不是M太，而是某个减少后的等效质量，即M效=M太-pSR地2.Gm我们利用引入的等效质量，可以不考虑太阳光压而进一步解题.在质量为M效的物体的引力场里，航天器总机械能为E=1mv2-GmM效.2R依照能量守恒定律，航天器在轨道任何一点机械能应该等于E=1mv地2-GmM效，地R式中

7、：v地为航天器在离太阳距离R地且当帆张开时拥有的速度。依照航天器在太阳引力作用下沿地球轨道运动方程来求这个速度.v地2=GmM太M太.mR地2，即v地=GR地R地因此可知，E=GmM太-M效)R地(22M太=G地).m(pSR-R地Gm2若是E0,即在下面条件下2pSR地-M太0，Gm2航天器可以飞离太阳系。由此求出，当航天器质量为多少时这才可能实行。（2）设M为某一质量m1时，航天器与火星轨道相切，航天器可以飞到火星轨道（穿过轨道）所拥有的所有可能质量m中，m1是最大的.在这种情况下，航天器轨道是椭圆，其长半轴等于（R地+R火）（图4-20），在切点航天器速度垂直于航天半径矢量。Rv地依照机

8、械能守恒定律，有12Gm1M效=12m1M效，2m1v地-R地2m1v火-GR火V地2-V火2=2GM效（1-1）.R地R火依照开普勒第二定律V地R地=V火R火，即V火=V地R地.图4-20R火综合上两式并考虑到v地=GM太，经不太复杂代换后获取2M效R火=M太R地pSR2地（R火+R地），即2（M太-）R火=M太(R火+R地）.Gm1由此求出航天器可以飞到火星轨道所拥有的最大质量m1：2R火4kg.m=地102pSR1GR火-R地m太质量为400kg的宇宙飞船绕地球沿离地面高h1=200km的圆周轨道运转.启动火箭，发动机在短时间t内工作，使宇宙飞船速度增加了v=10m/s，而运转轨道变为椭

9、圆形，离地面近来距离h1=200km，离地面最远距离h2=234km.球在离地面最远距离处宇宙飞船的速度v2为多少，火箭发动机牵引力F多大，工作时间t多长，耗资燃料质量m多少以及火箭发动机的工作效率多大.飞船质量的变化不计.地球的半径R6370km，地球的质量M=61024kg，万有引力恒量G=6.6710-1122，每秒耗资燃料m=m=1kg/s，喷气Nm/kg0t流速度u=4000m/s.燃料和氧化剂的燃烧值为q=1.2107J/kg.解离地面近来点宇宙飞船速度v1等于v1=v0+v.沿圆周轨道运转速度v0可以由下面方程求得1mv02=GMm.22R1式中：R1=R+h1=6.57106m

10、.由此v0=GMR1代入数值，获取6.6710-1124v0=6106.57106=7.805103m/s,v1=7.805103+10=7.815103m/s.依照动量守恒定律，有mv1R1=mv2R2所以在远点速度v2为v2=v1R1，R2式中：R=R+h2=6.604106m.2代入数值，可得v2=7.8151036.5701066.604106=7.775103m/s.依照动量守恒定律求得火箭发动机的牵引力FFt=mu，式中：m为在时间t内火箭发动机喷出的气体质量，u为喷气流速度.改写这方程mu=mcu.F=t代入数值，获取F=14000=4103N.发动机工作时间可以依照宇宙飞船动量

11、的变化获取：Ft=mv，得：mv40010.t=1sF4000耗资燃料和氧化剂的质量m可以依照对于“飞船燃料物”系统动量守恒定律获取：mv=mu，即m=mv=40010=1kg.u4000火箭发动机工作效率由下式确定：=P，式中P为发动机功率，Q为燃料Q燃烧时释放的功率。2由于P=m0u，Q=mq，所以火箭发动机工作效率等于：02u2（41032）=0.67.=1.21072q26.木星彗星族的形成大概描述为下木星面.彗星从遥远处无初速“落”向太阳，远日点并从木星不远处飞过（图4-21）当木星引力场对彗星的显然影响消失后，它又在太阳引力场中运转，并且它的速度方向与木星速度方向相反.彗星新轨道的

12、远日点位于木星轨道周边，即在离太阳为R=5.2天文单位*图4-21处.太阳试求此处彗星轨道的近期点将位于离太阳多远处.解注意：太阳为巨重木星103倍，结果同太阳影响对照，木星引力范围大小为其轨道半径的10-6.并且彗星与木星实质性相互作用时间，与木星运转周期以及彗星绕太阳运转周期对照是不可以比较的短.所以，在这段时间内彗星的摄动就算不了什么.所以我们把彗星的运动分为三个独立阶段：（1）彗星从遥远处沿着指向太阳系方向，在太阳引力作用下运转；（2）在木星引力场里“刹时”掉转头来；（3）沿椭圆轨道绕太阳运转（且可不用考虑木星的影响）.木星碰到太阳（质量为M）的引力作用而沿着圆周轨道运转，其条件为v2=GM2.RR由此获取木星的速度v=GM.R当彗星飞近木星第一阶段结束时，速度vk由能量守恒定律得出vk2-GM=0，即vk=2GM=2v.2RR木星和彗星两星速度方向相互垂直，则彗星相对木星速度等于v1=（3-1）v.从飞出木星引力场后（第三阶段开始），彗星相对与行