课程离散数学课件

1、精品课程:离 散 数 学第八章函数精品课程:第八章函数本章说明本章的主要内容函数的定义函数的性质函数的逆函数的合成 本章与后续各章的关系是代数系统的基础 2本章说明本章的主要内容28.1 函数的定义与性质8.2 函数的复合与反函数 本章小结 习 题 作 业38.1 函数的定义与性质38.1 函数的定义与性质定义8.1 设F为二元关系，若xdomF都存在唯一的yranF使xFy成立，则称F为函数(也可以称作映射)。对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)，并称y为F在x的值。一、函数与相关概念函数是特殊的二元关系。说明例如：F1=,F2=,是函数不是函数1、函数的定义48.1 函数的定义与性

2、质定义8.1 一、函数与相关概念函数是2、函数相等定义8.2设F, G为函数, 则F=G 由定义可知，两个函数F和G相等, 一定满足下面两个条件：（1）domF=domG （2）xdomF=domG，都有F(x)=G(x) 例如：判断函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1是否相等 domFx|xRx-1 domG=R显然， domF domG，所以两个函数不相等。FGGF 52、函数相等定义8.2由定义可知，两个函数F和G相等, 一定3、从A到B的函数 定义8.3 设A, B为集合, 如果f为函数，domf=A，ranfB，则称f为从A到B的函数，记作f：AB。例如： f：NN

3、，f(x)=2x是从N到N的函数， g：NN， g(x)=2也是从N到N的函数。4、所有从A到B的函数 定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”，符号化表示为 BA=f | f：AB 。63、从A到B的函数 定义8.3 设A, B为集合, 如果例8.2 设A=1,2,3，B=a,b，求BA。解：BAf 0, f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7 。其中若|A|=m，|B|=n，且m,n0，则|BA|=nm。当A或B至少有一个集合是空集时： A=且B=，则BA。 A=且B，则BAB。 A且B=，则BA=A= 。说明 f 0, f 1, f 2,

4、f 3, f 4, f 5, f 6, f 7,7例8.2 设A=1,2,3，B=a,b，求BA。解：5、函数的像和完全原像定义8.5 设函数f：AB，A1A，B1B。（1）令f(A1)=f(x)|xA1，称 f(A1)为A1在f下的像。 特别地，当A1A时，称 f(A)为函数的像。（2）令f 1(B1)=x|xAf(x)B1，称f 1(B1) 为B1在f下的完 全原像。注意区别函数的值和像两个不同的概念。 函数值f(x)B，而函数的像f(A1) B。说明85、函数的像和完全原像定义8.5 设函数f：AB，A1A例8.3 设f:NN，且 令A=0,1， B=2，求f(A)和 f 1(B)。 解

5、： f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2 f 1(B)= f 1(2)=1,4一般说来f 1(f(A1)A1, 但是A1 f 1(f(A1)。 说明9例8.3 设f:NN，且解：一般说来f 1(f(A1)二、函数的性质定义8.6 设f:AB，若ran f=B，则称f:AB是满射的。若yran f 都存在唯一的xA使得f(x)=y，则称 f:AB是 单射的。若f 既是满射又是单射的，则称f:AB是双射的(一一映像)。 如果f:AB是满射的，则对于任意的yB，都存在xA ，使得f(x)=y。如果f:AB是单射的，则对于x1、x2A且x1x2，一定 有f(x1)f(x2)。换句话说，如

6、果对于x1、x2A有 f(x1)=f(x2)，则一定有x1=x2。 说明10二、函数的性质定义8.6 设f:AB，如果f:AB是满射例8.4 判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么? (1) f：RR，f(x)= -x2+2x-1(2) f：RZ，f(x)=x (3) f：RR，f(x)=2x+1解:（1）f 在x=1取得极大值0。既不是单射也不是满射的。（2）f 是满射的， 但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1。（3）f 是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且ranf=R。11例8.4 判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么?例8.6 对于给定的集合A和B构造双射

7、函数f:AB。（1）A=P(1,2,3), B=0,11,2,3（2）A=0,1, B=1/4,1/2（3）A=Z, B=N（4）A=/2,3/2, B=1,112例8.6 对于给定的集合A和B构造双射函数f:AB。12解：（1）A=P(1,2,3), B=0,11,2,3 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3。B=f0,f1,f7, 其中f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,。令f:AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,

8、3)=f713解：13（2） A=0,1, B=1/4,1/2 令f: AB, f(x)=(x+1)/4。（3） A=Z, B=N 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：Z：011 2233 N：0 12 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是：（4） A=/2,3/2, B=1,1 令f: AB ，f(x)=sinx。 14（2） A=0,1, B=1/4,1/2（4） A=三、常用函数定义8.7 常函数、恒等函数、递增函数、特征函数、自然映射设f：AB，如果存在cB使得对所有的xA都有f(x)=c，则称f：AB是常函数。设f：AB，对所有的xA都有IA(x)=x，称IA为A上的恒等函

9、数。15三、常用函数15设, 为偏序集，f：AB，如果对任意的x1, x2A， x1 x2，就有f(x1) f(x2)，则称f为单调递增的；如果对任意的x1, x2A, x1 x2, 就有f(x1) f(x2), 则称f为严格单调递增的。类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数。 例如：偏序集， R为包含关系，为一般的小于等于关系。 令f：P(a,b)0,1, f()=f(a)=f(b)=0, f(a,b)=1, f是单调递增的, 但不是严格单调递增的。16设, 为偏序集，f：AB，如果对任意的设A为集合，对于任意的AA，A的特征函数 A :A0,1定义为1，aA 0， aAA A (a)

10、 A的每一个子集A都对应于一个特征函数，不同的子集对应于不同的特征函数。 例如：A=a,b,c, 则有 =,，a,b=,17设A为集合，对于任意的AA，A的特征函数1，aA 例如：A=1,2,3，R=,IA g(1)=g(2)=1,2, g(3)=3设R是A上的等价关系， 令 g：AA/R g(a)=a，aA 称g是从A到商集A/R的自然映射。 不同的等价关系确定不同的自然映射，其中恒等关系所确定的自然映射是双射， 而其他的自然映射一般来说只是满射。18例如：A=1,2,3，R=,I8.2 函数的复合与反函数一、函数的复合 函数的复合就是关系的右复合，一切和关系右复合有关的定理都适用于函数的复

11、合。本节重点考虑在复合中特有的性质。1、复合函数基本定理定理8.1 设F, G是函数，则FG 也是函数，且满足（1）dom(FG)=x|xdomFF(x)domG（2）xdom(FG)，有FG(x)=G(F(x)198.2 函数的复合与反函数一、函数的复合19证明： 先证明FG是函数。 因为F、G是关系，所以FG也是关系。 若对某个xdom(FG)，FGFGy1=y2 所以FG为函数。t1(FG)t2(FG)t1t2(t1=t2GG) （F为函数）20证明：y1=y2 t1任取x， xdom(FG) xx|xdomFF(x)domG所以（1）得证。任取x， xdom(FG) xdomFF(x)

12、domG FG FG FG(x)G(F(x)所以（2）得证。 ty(FG) t(xdomFt=F(x)tdomG)21任取x， xx|xdomFF(x)domG推论1 设F, G, H为函数，则(FG)H和F(GH)都是函数， 且(FG) H=F(GH)证明：由定理8.1（复合函数基本定理）和定理7.2（关系合成具有结合性）得证。推论2 设f：AB，g：BC，则fg：AC，且xA都有fg(x)=g(f(x)。证明：由定理8.1（复合函数基本定理）可知fg是函数，且 dom(fg)=x|xdomff(x)domg=x|xAf(x)B=A ran(fg ) rang C 因此fg：AC，且xA有f

13、g(x)=g(f(x)。22推论1 设F, G, H为函数，则(FG)H和F(G2、函数的复合运算的性质定理8.2 设f：AB，g：BC。（1）如果f：AB， g：BC都是满射的， 则fg：AC 也是满射的。（2）如果f：AB， g：BC都是单射的，则fg：AC也 是单射的。（3）如果f：AB， g：BC都是双射的，则fg：AC也 是双射的。该定理说明函数的复合能够保持函数单射、满射、双射的性质。说明232、函数的复合运算的性质该定理说明函数的复合能够保持函数单射(1)如果f：AB，g：BC都是满射的，则fg：AC也 是满射的。证明：任取cC，所以aA使得f(a)=b。 由g：BC的满射性，所

14、以 bB使得g(b)=c。对于这个b，由f：AB的满射性，由合成定理有 fg(a) = g(f(a) = g(b) = c所以，fg：AC是满射的。 24(1)如果f：AB，g：BC都是满射的，则fg：AC(2)如果f：AB，g：BC都是单射的，则fg：AC也是 单射的。证明：假设存在x1, x2A使得fg(x1)=fg(x2)，(3)如果f：AB， g：BC都是双射的，则fg：AC也 是双射的。证明：由（1）和（2）得证。由合成定理有g(f(x1)=g(f(x2)因为g：BC是单射的，故f(x1)=f(x2)。又由于f：AB也是单射的，所以x1=x2。所以，fog：AC是单射的。25(2)如

15、果f：AB，g：BC都是单射的，则fg：AC考虑集合A=a1,a2,a3， B=b1,b2,b3,b4，C=c1,c2,c3。令f=,g=,则：fg=, 那么 f：AB和fg：AC都是单射的，但g：BC不是单射的。 26考虑集合A=a1,a2,a3， B=b1,b2,b3,考虑集合A=a1,a2,a3，B=b1,b2,b3，C=c1,c2。令f=, g=,则：fg=,那么g：BC和fg：AC是满射的，但f：AB不是满射的。 如果fog：AC是单射（或满射、双射）的，不一定有f：AB和g：BC都是单射（或满射、双射）的。说明27考虑集合A=a1,a2,a3，B=b1,b2,b3，定理8.3 设f

16、：AB，则 f = f o IB = IAof 证明：由定理8.1的推论2可知 f o IB ：AB 和 IAof ：AB任取， f f o IB所以， f f o IB同理可证f IAof f yB f IB f o IB所以， f f o IB t( f IB ) f t=y f 所以， f o IB f28 f f o 二、反函数1、反函数存在的条件 什么样的函数 f：AB，它的逆f 1是从B到A的函数呢？定理8.4 设f：AB是双射的，则f 1：BA也是双射的。证明：先证明f- 1：BA是函数，且domf 1=B，ranf 1=A。 因为f是函数，所以f 1是关系，且 dom f 1

17、= ranf = B , ran f-1 = domf = A， 对于任意的xB = dom f-1， 假设有y1, y2A，使得f- 1f- 1成立， 则由逆的定义有，ff。 根据 f 的单射性，可得y1=y2。 所以，f- 1是函数。29二、反函数29再证明f- 1：BA的双射性质。 若存在x1, x2B，使得f- 1 (x1)= f- 1 (x2)=y，对于双射函数f：AB，称f- 1：BA是它的反函数。说明从而有f- 1f- 1 ff x1=x2 所以， f- 1 是单射的。对于任意的y A ，因为f-是双射的， 所以必存在x B ，使得f，所以f- 1， 所以， f- 1 是满射的。

18、 综上所述， f- 1 是双射函数。30再证明f- 1：BA的双射性质。 对于双射函数f：A 2、反函数的性质定理8.5 设f：AB是双射的， 则f- 1f = IB， f f-1 = IA证明：根据定理可知f- 1：BA也是双射的， 且 f- 1f：BB， f f- 1：AA。 任取 f- 1f IB综上所述， f- 1f IB。同理可证f f-1 = IA IB 所以， f- 1f IB f- 1f 所以，IB f- 1f t( f 1 f ) t( f f ) x=y x,y B x=y x,y B t( f f ) t( f 1 f )31 2、反函数的性质 f- 1f 例8.8 设

19、f：RR, g：RR 求fg，gf。如果 f 和 g 存在反函数，求出它们的反函数。解：g：RR是双射的，它的反函数是g1：RR，g1(x)=x2 32例8.8 设 f：RR, g：RR g本章主要内容函数的基本概念与性质（单射，满射，双射）。函数的合成与反函数。33本章主要内容函数的基本概念与性质（单射，满射，双射）。33本章学习要求掌握函数、A到B的函数、集合在函数下的像、集合在函数下的完全原像的概念及表示法；当A与B都是有穷集时，会求A到B的函数的个数。掌握A到B的函数是单射、满射、和双射的定义及证明方法。掌握常函数、恒等函数、单调函数、特征函数、自然映射等概念。掌握合成函数的主要性质和

20、求合成函数的方法。掌握反函数的概念及主要性质。34本章学习要求掌握函数、A到B的函数、集合在函数下的像、集合在 1对给定的A, B和f，判断是否构成函数f：AB。如果是，说明是否为单射、满射、双射的。（1）A=1,2,3,4,5，B=6,7,8,9,10， f=,。（2）A，B同(1)， f=,。（3）A，B同(1)， f=,。35 1对给定的A, B和f，判断是否构成函数f：AB。如果2对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数f：AB。 （1）A=1,2,3，B=a,b,c （2）A=(0,1)，B=(0,2) （3）A=x| xZx0，B=N （4）A=R，B=R+ 解： （1）f=, , （2）f：AB, f(x)=2x （3）f：AB, f(x)= x1 （4）f：AB, f(x)=ex 362对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数f：AB。解3. 设 证明f 既是满射的，也是单射