数学研究性学习对数学思维品质的培养

1、 PAGE 18数学研究性学习对数学思维品质的培养培英学校 王玉梅本文拟就在数学学实践中进行行研究性学习习的内容、特特征、策略，浅浅谈对学生数数学 思维品质的的培养。数学研究性学习习与数学思维维品质 研究性学习是近近几年来新兴兴的一个领域域。今天倡导导的研究性学学习，是在提提倡主体性教教育与创新教教育理念下，又又是在被认为为我国教育忽忽视学生个性性发展的背景景下提出的。研研究性学习的的提出对最为为科学眼睛的的数学又提供供了一个新的的契机。荷兰兰 数学家弗赖赖登塔尔说过过. 数学知知识即不是教教出来的，也也不是学出来来的，而是研研究 出来的。可见这一新新理念将给数数学教育的改改革与发展一一个新方

2、向数数学研究性学学习。 数学研究性学习习广义上理解解是一种数学学学习理念、策策略、基本思思想和方法。 以学生动手、动脑，主动探索实践和相互交流为主要学习方式，通过学生自身的 思维活动，获取数学知识和能力，使每个学生独特个性健全发展。它可渗透于数 学学习所有活动中。狭义上讲是一种数学专题研究活动。是指学生在教师的指导 下，从自然现行、社会现象和自我生活中选择和确定数学研究专题，并在研究过 程中主动训练数学思维获取数学知识，以解决问题的学习活动。经过几年间的反复探索，研究性学习已经呈现出多种模式，探究式教学，变式教学，问题式教学，题组式教学但从研究性学习开设的目的来看，无论是一种学习方式还是一种专

3、题研究活动，都是为了改变学生 单纯接受教师传授为主的学习方式，为学生提供开放环境，在实践中获取知识同时把知识应用于实践，最终目的是培养学生创新精神和实践能力，发展学生个性。1学生学习数学，不仅要掌握教学大纲规定的数学知识、技能和能力，而且要掌握 数学思维方法，促进思维发展。因此，在数学教学过程中，培养思维能力应该是培养一切能力的核心。数学研究性学习作为数学教学的一部分，它的目的就是发展数学思维，培养创新能力。 我们所说的数学学思维能力反反映在数学思思维品质上。数数学思维品质质是数学思维维结构中的重重要部分。思思维品质是评评价和衡量学学生思维优劣劣的重要标志志，因此在数数学学习中要要重视对学生生

4、良好的思维维品质的培养养。 数学研究性学学习作为数学学学习的一部部分，在这方方面有着其他他学习方式无无法比拟的优优势，它着重重学习过程，学学习体验，知知识应用，学学生参与，这这些都为培养养学 生数学思维维品质打好了了基础。研究究性学习通过过内容选择，过过程策划，拓拓宽视野，打打破界限，在在学生的实践践探索中激发发和培养他们们多种优良的的数学思维品品质。 一 数学研究性性学习对智力力思维品质的的培养 智力思维品质是是思维品质的的主体，是思思维品质的主主要方面，对对评价思维能能力起 决定作用. 1根据因果，纵纵向进退，培培养思维的深深刻性 研究性学习重参参与，它的主主体性使学生生的思维潜力力得到充

5、分的的发挥，使学学生能深刻认认识事物，要要克服思维的的表面性、绝绝对化，从而而产生新看法法、新结论，所所以有利于对对数学思维深深刻性的培养养。这种新的的学习方式区区别以往学生生接受式学习习， 它强调学生生按其自己的的思维逻辑，发发现解决问题题。人认识问问题通常受到到问题本身的的制约和问题题背景的制约约。研究性学学习正是解决决问题，深层层进退，在整整个思维过 程中培养深深刻性。 例 在我们的实实际生活中，在在生意兴隆的的购物街，我我们经常能听听到这样的叫叫卖声 清仓处理，五五折优惠，走走过路过不要要错过这声音用录录音机播放，一一遍一遍似乎乎永不休止，那那这样重复的的噪音是怎么形成成的呢? 抓住本

6、质，引引导学生提出出方案，开始始时学生思维维发散想法很很多，但要抓抓住本质， 整个录音是是对同一声音音的重复，那那么先直接录录入这段声音音，接着可以以用两台录音音 机相互反复复播音和录音音。 寻找数学知知识作为切入入点，这里的的知识点是数数列，头脑中中沿这条思路路前进，不中中途转换思路路，设第一步步录入声音遍遍数记为UI 第二步录入入声音遍数记记 U2第三步 录入声音遍遍数记为U3_第n步录入声音音遍数记为UUnUI=l U22 =1 U3= 2 UU4 =3 Uss =5 UU6 =8 U7 =13 通过思维维的深入找出出各项问联系系，这个数列列是Un =Un-11 +Un-2 (n 3)

7、这是是著名的斐波波那契数列，在在我们数列学学习中占有相相当大地位。 思维继续深深入，由己知知数据，联系系数学概念定定理，联系数数学概念定理理，得出通项项 ，要求学生进进行证明。 深层挖掘，问问题若吆喝一遍遍叫卖声，连连同中间的停停顿一共需要要10s，那末末录一盒长为为一小时的磁磁带需要操作作几步? (留读者者思考)由上例中可以看看出研究性学学习重在寻找找问题中的思思维方向，而而非问题结果果。思维的深深入通过一个个个知识点和和技能点来进进行，这种深深入带有明显显的指向性。因因为，这一个个个点实际上上就是我们思思维的出发点点，思维在点点的基础上纵纵向进退，对对问题进行深深化研究。思思维逐步深入入，

8、对问题的的认识也逐步步深入，透过过现象看本质质，可能发现现别人不能发发现的问题，这这是创新思维维的重要环节节。 2 一题多多解，横向转转换，培养思思维的灵活性性话说条条大路通通罗马，问题题解决也不是是只有一种。研研究性课题通通过选择开放放性问题或在在教学中设置置多解题型来来培养学生思思维的灵活性性。就像挖一一口井，我们们选择一个点点(知识点或技技能点) ，挖了很很深仍没有出出水，那我们们就应该马上上放弃， 另辟新址，不不可贪图那口口挖了半截但但位置错误的的枯井。这就就是我们所说说的横向转换换，不断从一一个思路跳到到另一个思路路，直到找到到合适的方案案和对策。开放性题型例 一工厂需从从1mx 1

9、mm的钢板上冲冲压直径为OO.lm圆形形铁片，怎样样安排冲压头头 最省材料?如果冲压半半径为R的圆盘，最最大个数是多多少?放开学生思路路，使其任意意想象，学生生思维马上活活跃起来，排排列方法玲琅琅满目(如图)，在这些方方案中，由学学生的直觉思思维就可排除除一些浪费材料方案。1方案一 2方案二 3方案三 4方案四II对公认的两两种最优方案案(图1图2)进行讨论论o设圆盘半径径为r，圆盘个数数为N(1)方形排列列r=O.055m N=IOOO (2)三角形形排列r=OO.05m N=I055显然，三角形排排列最优III 那么对对于半径为RR的圆盘是不不是也是三角角形排列最优优呢?下面再次启启发学

10、生，使其思思维再度活跃跃。 1.设第一行能能排n个，则对于于方案一，NN=n2.2.在三角形排排列中，设有有m排， 其中 由此，学生可以以自己比较当当R的取值不同同，哪种方案案优化，在这这里就不深入入探讨。我们们要强调的是是这类问题本本身没有所谓谓正确结果，评判问题题 解决好坏的的标准是思维维方向选择的的优良，多种种方法，多个个结果，方法法不同， 结果差异。通通过对结果的的比较，得出出最优做法，也也就是最优思思维。通过这这种方法是学学生体会到思思维切入点不不同，对问题题解决的彻底底性不同。 (2)一题题多解 在研究性学学习中使学生生体会思维灵灵活性在处理理问题中的重重要性，我们们还提倡的一题多

11、解。能作到对对具体问题具具体分析，即即时调整原有有思维过程和和方法，寻找找解决问题的的新途径。思思维不局限于于固定程式或或模式，具有有较强应变能能力 例 在三角形形ABC中， 2CCD 对题中中结构和形式式观察，对隐隐含条件挖掘掘，有意识引引导学生联想想，构造，培培养灵活性解法一（图1）延延长AC到E点使AC=CCE过E作AB垂线线且交子M点，过C点作 AC边垂线交交AB于N点，连接ENN那么思路将很清清晰EM=22CD ENN2CD ENABB解法二（图2）作作FC垂直BC交AB于F，取BF中点ECD2CEE解法三（图2）CD2=BD.DF BF2=4CCD2 AB2CD 解法四 （图33）

12、 以AB为直径作作圆C900 C在圆内CDCCD解法五 反证法法设AB22CD取AB中点E AE=BE 22CDCEE 1A 2B C=l +2A+B900解法六，解法七七_方法还有有很多，这种种方法虽然没没有开放性题题型思维活跃跃，但它数据据结构封闭，目目的唯一，培培养学生从利利用条件或创创设条件，寻寻找更优解法法，这本身就就是一种创新，能激发学学生探索其他他途径的兴趣趣。(3)一题多变变一题多解是是个好办法，一题多变也值得注意.在函数单调性这节课中，设计这样一组例题。 1，确定在上的的单调性2，确定上的单单调性3，当x 在上上为增函数，则则a范围4，上单调递增增，则a范围围5，的值域为RR

13、，且f(xx)在上单调调递增，则aa范围6，若函数在区区间上为减函函数，求的取取值范围；当然这涉及了二二次函数的单单调性，在开开口确定情况况下，以轴为为分类标准，同同时不断变式式，结合对数数函数构造复复合函数，以以增加题的难难度。这样的的题组教学可可以说是研究究性学习的一一个课堂实践践吧，对培养养思维灵活性性是非常有益益的。3知识迁移，增增加视角，培培养思维的广广阔性数学研究性学习习有广阔的知知识背景，为为思维的有机机重组提供了了宽广空间，一一个问题，一一个知识点，决决不会是孤零零零的存在的的，这就要求求学生在思考考过程中，增增加各种可采采用视角，扩扩大范围，把把对象放到大大环境中去考考察，从

14、而有有可能发现更更多属性，它它体现的就是是思维的广阔阔性。创设情景题型例 在学习函数数及其图象时时，根据选择择中学生上网网热，设计一一个研究性课课题上网方式与与费用研究 学生收集相关关资料，这个个课题有丰富富的研究背景景，开拓学生生视野。如:上网的方 式有哪些?上网的费用用如何?手机入网的的类别与价格格?储蓄与利率率? 研究讨论，制制表。 上网方式 基本费用 时间限额 超时收费标准 163 普通 一一一一 按时间计费2/h 拨号 A类 50元/月 包当月50小时时 1，网络使用00.8兀/h 上网 H类 30元/月 包当月30小时时 2，通信费0.02兀/分钟 D类 200元/月 包当月上网和

15、 普通市话费 ADSL 512k 70元/月 一一一一 宽带2M90元/月优化方案，运运用知识，找找出上网费用用与时间的函函数。1y=2tt02 550 550+2(tt-50)0t50t503 300 300+2(t-30)0t30t304y=200t05y=70t06y=90t0画图分析，哪哪种方式省钱钱？让学生给给方案例 在学习指指数函数时设设置情景（实实际问题）：某种计算机机病毒传播速速度很快，可可以由1个分裂成2个，2个分裂成4个，分裂裂x次后得到的的个数y与x之间的函数数关系式？答答案：（课件件展示）例 在学习数学学归纳法时设设置情景 ：今天，据据观察第一个个到学校的是是男同学，第

16、第二个到学校校的也是男同同学，第三个个到学校的还还是男同学，于于是得出：这这所学校里的的学生都是男男同学。例 在学习球的的体积时，设设置情景 ：借助多媒媒体虚拟一个个数学实验室室，实验室中中有足够多的的水，量筒，器器皿，弹簧秤秤，实心球，空空心球，半球球，并郑重通通知学生实验验器材不足可可自行添加。这这样实验环境境新鲜，开放放，马上调动动起学生积极极性，这时在在提出问题：请设计方案案计算球的体体积。（2）知识迁移移型例 数学归纳法法的应用 1 ，证证明恒等式113+23+33+n3=(1 +22+3+n)22，证明整除，当当n为奇数时，证证明xn + yn能被x+y整除3，证明不等式式，4，几

17、何问题，证证n多边形对角角线个数为此外还有数列问问题，一般性性实际应用问问题，求函数数表达式等。一一种很好的方方法或理论，我我们要试图从从多方面设想想，探求这种种方法或理论论适用的各种种问题，扩大大它的应用范范围，这种知知识的正向迁迁移也是研究究性 学习渗透在在数学教学中中的一个方面面。像换元法法，判别式法法，对称法， 在这类课题的研究中，学生发散思维，知识迁移，就是对思维品质广阔性的培养。4亲历实践，打打破定势，培培养思维独创创性独创性指独立发发现问题，分分析问题，解解决问题，独独立思考出有有社会(个人) 价值的有新新颖成分的成成果的智力品品质。创造不不仅仅是一种种行为、能力力、方法，而而是

18、一种意识识、态度、观观念。有了创创造意识，才才有创造实践践。所以要让让学生亲自参参与到实践活活动中去，在在体验内化的的基础上，逐逐步形成自觉觉指导创造行行为的个人观观 念系统。 数学课堂标准准解读指出出:学生数学学学习过程可以以说是一种再再创造过程， 而且是真正意义上的再创造。这种创造区别于数学家注重结果的创造，它注重过 程的体验，经验的积累。在概念定理的学习中，通过数学研究性学习再现知识发生发展的过程，就是在问题基础上激发学生非模仿性思维的过程，对于学生来说 非模仿性思维就是思维的独创性。2(1)再现过程程型 有一条N边形道道路。有一辆辆汽车绕此道道路跑一周，此此时回到起始始的位置， y由于

19、只转转了一周，因因此它的方向向改变总计33600，对百边形形，千边形也也是3600， 这个值是不不变的。因此此有下述定理理成立多边形外角角和3600。人人是创造之之人，处处是是创造之地，天天天是创造之之时可以说在数数学家眼中无无处不数学。数数学研究性学学习就是把数数学与社会实实践相结合，让让学生体验数数学 的巨大亲和和力，并且感感受数学家的的那种生活数数学化的感情情。 在亲历实践践的过程中，学学生对那些有有创意的拐弯弯，岔路往往往不屑一顾。这这些小路就是是我数学研究究性学习要强强调的思维独独创性 。(2)思维求异异型例(b-c)xx2+(c-a)x+aa-b=0 (b 0)有两个相相等的实根。

20、求求证: 2b=aa+c 常规解法，我们们最先想到的的就是由判别别式=O来解，个人人思维方式主主要表现为一一种习惯，一一种定势思维维，看到高次次就降幂，看看到同类项就就合并，看到到分数就化简简头脑总是是轻驾就熟地沿着自己己习惯的道路路飞奔，在这这道题中，我我们试图打破破定势，思维维求异，观察察方程的系数数，所有系数数和为O 。既有x1=x22=1 再由根与系数关关系， =xx1x2=1 :.2b=a+c思维定势改变需需要一个长期期过程，所以以坚持数学研研究性学习，经经常做脑力操，对思维独独创性培养有有着重要作用用。在研究过过程的策划上上要有意识打打破权威定势势、从众定势势、唯经验定定势。在研究

21、究内容选择上上，可以设计计概念定理的的再发现过程程，也可以安安排实际生活活问题，但目目的都是培养养学生打破定定势创新思维维。 5发现问题题，训练质疑，培养恩维维品质的批判判性 批判性表现在有有主见的评价价事物，严格格的估计思维维材料，精确确的检查思维维过程的品质质。它是思维维过程中自我我意识作用结结果。 中学生具有好生生性强，喜欢欢怀疑、争辩辩，寻跟问底底的特点。而而他们的认识识总是从不全全面、不深刻刻或出现谬误误，经过多次次反复和多次次争论逐步发发展起来的。批批判性是思维维过程中自我我意识的结果果。在数学研研究性学习中中，我们可以以选择有争议议的问题让学学生进行研究究，让学生自自己鉴别，深深

22、层次挖掘，发发现问题，尤尤其是那些 隐蔽的错误误进行辩误、驳驳谬，来培养养思维的批判判性。 ( 1 )对经经验质疑 例大饺子能装装馅这是老辈们们的经验之谈谈，到底对不不对?对这类题要要以质疑 态度去对对待，通过数数量关系转化化，在严紧的的数学思维中中去判断它的的正误。 我们就假设设一定体积的的面，问:是不是饺子子皮越大装的的馅越多? 当我们在假假设饺子皮厚厚度相同，大大小相同，近近似圆形的条条件下，记饺饺子皮半径为为r，面积为s，体积为v1，饺子馅体体积V2，饺子皮皮总体积为vv 则 饺子个数N= 饺子馅的总体积积由导数的几何性性质，所以随r增大，饺饺子馅也增大大。可见老辈辈们的经验是是正确的

23、。(2)对权威质质疑 我们所说的质质疑主要是从正正反两视角思思考问题，先先用肯定视角角思考一边，再再用否定视角角思考一边。有有位学者说过过. 告诉学学生一个命题题，谁能马上上找出一个 反例来驳斥斥它，他就是是个数学人才才。数学有不少少发现就是在在对前人的质疑后的产物。如如无理数的出出现，非欧几几何的产生。 6通过问题性性研究，培养养学生的目的的性和敏捷性性 研究性学习中还还渗透着对目目的性和敏捷捷性的培养。数数学研究性学学习就是以问问 题为中心，以以解决问题为为目的，引导导学生积极探探索，逐步寻寻求总目标的的途径进而 实现它。希希尔伯特说过过: he whho seeeks foor mett

24、hods with out hhavingg a deefinitte prooblem in miind seeeks ffor thhe mosst parrt in vain.（心中没没有一定问题题而去寻找方方法的人多半半是徒劳无获获的)思维的敏捷捷性表现在思思维过程的简简缩性和快速速性思维速度度敏捷的人，经经常能表现出出良好的临场场应变能力，就就是思维深刻刻性与灵活性性的有机结合合。 数学研究性性学习正是通通过反复训练练，培养思维维的敏捷性。 例 在一块半圆圆形铁板中，截截取一块面积积最大的矩形形，怎样截取取?并求出矩形形的面积。 如学生还要选择择参数，用三三角函数知识识来解决就显显的

25、思维呆板板了，可用圆内接矩形形中正方形面面积最大。，快速简沽沽，这就是思思维敏捷性的的体现。 二数学研究性学学习对非智力力思维品质的的培养 非智力思维品质质是数学思维维内驱力的巨巨大源泉，从从根本上决定定一个人能否否进行正常 有效的数学学思维活动。3 1开阔视野，激激发学生高尚尚学习动机 学生学习数学是是一种有意识识的行动，需需要有激励，推推动他们去学学习的内部动动力，并借以以达到学习的的目的。这种种引起个体行行为的内在动动力，促进人人们进行有目目的的行为这就是是学习动机。 联系社会开展的的研究性学习习加强了数学学的应用性数学的生命命在于应用的的 广泛性通过应用知知识解决实际际问题使学生生体验

26、到理智智高于事实和和现象的权力力感， 使学生体验验到知识是使使人崇高的力力量。通过数数学学科与其其他学科的交交叉与整合， 设计研究性题目，如. 湖水污染治理，经济增长极限，减肥问题这些 数学知识的具体应用是比任何东西都更强有力的动机。在研究过程中，学生不但 努力提高自己创造和认知能力，而且要关心社会的进步，祖国的前途，人类的命 运，经济的发展，环境的保护，使自己学习动机上升到一个更高境界，学习动机 越明确越高，学习将更专心刻苦，思维水平将越高，离成功将越近。事实上，许多数学家在学生时代就已经确立了高尚的学习动机，如不计个人名利，坚持回国工作的数学家陈建功。 2注重个性性，培养学生生数学学习情情

27、感 数学学习情感是是在数学思维维过程中产生生发展起来的的，学生在学学习中感受到到数学的用处处与美，尝到到获得数学知知识技能的愉愉快和欢乐，从从而逐步形成成了学习数学学的热情。 例 告诉学生这这样一个故事事:古罗马有一一公主名叫约约瑟芬，才华华出众，美艳艳 绝伦，喜欢欢一青年人乔乔治。国王女女儿出嫁不同同于普通国民民，有一传统统议事。先选选 出10人围成一一圈，由公主主任选一人开开始，按顺时时针方向逐个个数到公主的的年龄17， 这个人就被被淘汰，在从从下一个开始始，继续下去去 公主急中生生智，晚上用用金币围成一一圈，反复实实践，终于找找到选中乔治治的方法， 你知道吗? 其实答案就是我我们所说的“

28、计子问题用反向推理理 无论从哪个开始始，只要把第第17块金币拿拿掉，那么剩下的总是开始数数的第三块金金币 ，于是只要从从乔治前两位作为起点开始始计数就可以以了。(如图) 正如数学家华罗罗庚说过. 就数学本本身而言，也也是壮丽多彩彩，千姿百态态，引人入胜胜的。一个问问题想不出来来时，固然有有些苦恼，若若一旦豁然想想通，那滋味味难 道不是甜蜜蜜蜜的?这和音乐，舞舞蹈艺术的享享受有什么不不同?如果在成法法之外， 别开生面的的现出一些新新法来，那就就更是其乐无无比了。 4华罗庚庚的这段话更更突出 了研究性学学习的数学的的再创造过程程使学生体会会到数学创造造的快乐情感感。数学研 究性学习根根据学生个性性

29、差异，因材材施教，学学学生想学的知知识，研究想想研究的问 题，学习不不再是一种负负担。越学越越好，越好越越学，这就是是数学学习应应努力达到的的一种状态，这这种思维品质质能使学生对对科学满腔热热情，以攀登登数学高峰。 3设置梯度，锻锻炼学习的坚坚强意志 学生在数学学习习中，不但要要发挥才能，开开展思维，还还要克服各种种困难，能主主动的调节自自己的学习行行动，去实现现预定学习目目的。这种能能只觉确定学学习目的，及及时调节学习习行动，努力力克服种种困困难，以实现现预定目的的的心理过程就就是学习意志志。 数学研究性性学习是一项项复杂脑力劳劳动，研究过过程不可能一一帆风顺，总总要求学生调调 整思路克服服各种困难和和疑问，通过过经受这种磨磨练，锻炼坚坚强意志。 数学家张广厚谈谈到，数学家家或科学家基基本素质之一一就是不怕困困难。研究性性学习本身就就是一种再创创造过程，虽虽与数学家的的创造不同，但但在其思维方方式上是相同同的，所以它它与其他学习习方式相比更更利于对意志志的培养。几乎所有有有成就得科学学家都具有