集合的概念专题复习与训练

1、1.1集合的概念专题复习与训练第1课时集合的含义学习目标核心素养.通过实例了解集合的含义.(难点).掌握集合中元素的三个特性.(重点).体会元素与集合的“属于”关系， 记住常 用数集的表示符号并会应用.(重点、易混点).通过集合概念的学习，逐步形 成数学抽象素养.借助集合中元素的互异性的应 用，培养逻辑推理素养.【新课导入】I新知初探咕1.元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母a, b, c, 表不.(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A, B, C, 表小.(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.(4)集合中元素

2、的特性：确定性、互异性和无序性.思考：(1)某班所有的F巾哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？提示：(1)某班所有的F巾哥”不能构成集合，因为F巾哥”没有明确的标 准.(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.2,元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作aJAi(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A,记作2a2A3.常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或MZQR初试身手一.下列给出的对象中，能构成集合的是（）A. 一切很大的数B.好心人

3、C.漂亮的小女孩D.清华大学2019年入学的全体学生D “很大” “好” “漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选D. TOC o 1-5 h z 2,用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（）A. 1B, 2C. 3D. 4C 由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“ b” “o” “k”三个元 素.3.用或“ ？”填空：2 N; -3 Z;册 Q; 0 NJ;乖 R.答案? e ? ? e4.已知集合M有两个元素3和a+1,且4CM则实数a=.3 由题意可知a+1=4,即a = 3.【合作探究】集合的基本概念类型1【例11 考察下列每组对象，能构成集合

4、的是（）中国各地最美的乡村；直角坐标系中横、纵坐标相等的点；不小于3的自然数；2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.A.B.C.D.B 中“最美”标准不明确，不符合确定性，中的元素标准明确， 均可构成集合，故选B.持饰於判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对 象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合 .同时还要注意集合中元 素的互异性、无序性.。跳骗训练.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；(3)方程(x1)2(x + 2) =0所有解

5、组成的集合有3个元素.解(1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合.(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合.(3)不正确，方程的解只有1和一2,集合中有2个元素.元素与集合的关系类型2 TOC o 1-5 h z 【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()兀 e R；啦？Q；0C NI；| 5| ?N*.A. 1B. 2 C . 3 D. 4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当aC A,有6 aC A,那么2为()A. 2B. 2 或 4C. 4D. 0(1)B (2)B (1)九是实数，所以ttCR正确；啦是无理数，所以 啦?Q正确；0不是正整数，所以

6、0C N*错误；| 5| =5为正整数，所以| 5|?N*错误.故选B.(2)集合 A含有三个元素 2,4,6，且当 aCA,有 6 aCA,a = 2C A,6 a = 4C A,所以a=2,或者 a=4C A,6 a = 2C A,所以a=4,综上所述，a= 2或4.故选B.判断元素与集合关系的2种方法1直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中 是否出现即可.2推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合 中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.国踪训练 一一62.集合A中的兀素x ?两足 N, x N,则集合A中的兀素为

7、.3 x6 0,1,2V N,3 x.3x=1 或 2或 3或 6,即x=2或1或0或一3.又xC N,故x = 0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.集合中元素的特性及应用类型3探究问题.若集合A中含有两个元素a, b,则a, b满足什么关系？提示：awb.若1CA,则元素1与集合A中的元素a, b存在怎样的关系？提示：a= 1或b= 1.【例3】已知集合A含有两个元素1和a2,若aC A,求实数a的值.a A求a的值 思路 点拨|A中含有元素：1和a2| |a=1或a2=0| 检验集合中元素的互异性解由题意可知，a=1或a2= a,(1)若a=1,则a2= 1,这与a2wi相矛盾，故a

8、w1.（2）若a2 = a，则a = 0或a=l（舍去），又当a = 0时，A中含有元素1和0, 满足集合中元素的互异性，符合题意.综上可知，实数a的值为0.母题探究.（变条件）本例若去掉条件“ a A”，其他条件不变，求实数a的取值范 围.解由集合中元素的互异性可知a2wl,即aw1.（变条件）已知集合A含有两个元素a和a2,若1 C A,求实数a的值.解 若 1 C A,则 a= 1 或 a2= 1,即 a= 1.当a=1时，集合A有重复元素，所以aw1；当a=1时，集合A含有两个元素1, 1,符合集合中元素的互异性，所 以 a = 1.二设律片谭.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想

9、，在进行分类讨论时，务 必明确分类标准.本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造 成过程性失分.提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形.课堂小结q.判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对 象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值（范围）时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求.解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识.【课堂达标】1 .思考辨析（1）接近于0的数可以组成集合.（） TOC o 1-5 h z (2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的

10、两个集合是相等的.()(3) 一个集合中可以找到两个相同的元素.()答案(1) x (2) V (3) x2.已知集合A由x1的数构成，则有()A. 3CAB. 1 AC. 0CAD. - 1?AC V01,故 A错；201,故 Bit; 1 不小于 1,故 C错；2一Vi1，2 V3?B; v (1+ 的2= 3+ 2吸3+2X4= 11, . 1 + 加/1, . 1 + 5 B.; n 是正整数，；n2+1w3, . .3?C;当 n = 2 时，n2+ 1=5, . .5 C(3)二集合D中的元素是有序实数对(x, y),则一1是数，一 1?D；又(一1)2= 1, .( 1,1) D

11、.三、解答题9.设A是由满足不等式x6的自然数构成的集合，若aAH3aA,求a 的化解 V a C A 且 3a C A,a6,解得 a2.又 a C N, 3a0时，x=|x|=4x 3/T= x0,此时集合共有2个元素，当x=0时，x=|x|=?= 3/9= x = 0,此时集合共有1个元素，当x0时，声=|x|= x,阪3= x,此时集合共有2个元素，综上， 此集合最多有2个元素，故选A.已知集合P中元素x满足：xC N,且2xa,又集合P中恰有三个元素， 则整数a=. ,. xE N,2xa,且集合P中恰有三个元素，.结合数轴(图略)知a = 6.4,若a, bCR,且aw0, bw0

12、,则丹+噜的可能取值所组成的集合中元 a b素的个数为3 当 a, b 同正时，粤+ =a+b=1 + 1=2.当a, b当a, b同负时,+ =- 1 1 = 2. a b当a, b异号时,当a, b异号时,lal +l bl=0.号十号的可能取值所组成的集合中元素共有3个.15.已知数集A满足条件：若aCA,则；一CA；aw1）,如果a= 2,试求出1 aA中的所有元素. TOC o 1-5 h z 1.1解 根据题意，由2C A可知，丁=1C A；由一1C A可知，r =I2I I1 2A；,11.由展CA可知，一; = 2CA211-21故集合A中共有3个元素，它们分别是一1,万，2.

13、第2课时集合的表示学习目标核心素养.初步掌握集合的两种表示方法一一 列举法、描述法，感受集合语言的意义 和作用.（重点）.会用集合的两种表示方法表示一些 简单集合.（重点、难点）.通过学习描述法表示集合的方法， 培 养数学抽象的素养.借助描述法转化为列举法时的运算， 培养数学运算的素养.【新课导入】.列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花寸S号” ”括起来表示集合的方法 叫做列举法.描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所 组成的集合表示为x A| P(x),这种表示集合的方法称为描述法.思考：(1)不等式x 23的解集中的元素有什么共同特征？(2)如何用

14、描述法表示不等式x-23的解集？提示：(1)元素的共同特征为xC R,且x5.(2) x| x5, x R.初试身塞口.方程x2 = 4的解集用列举法表示为()A. ( -2,2)B. -2.2C. -2D. 2B 由必=4得乂=2,故用列举法可表示为2,2.2.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的是()A. x|y = 3x+1B. y|y = 3x+1C. ( x, y)|y = 3x+1D. y=3x+1C 该集合是点集，故可表示为( x, y)| y=3x+1,选C.3.用描述法表示不等式4x-57的解集为.x|x3用描述法可表示为x|x3.【合作探究】用列举法表示集合型 1/

15、【例u用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A;(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2-x-3= 0的实数根组成的集合C;一次函数y=x+3与y = 2X+6的图象的交点组成的集合 D.解(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以人=0,2,4,6,8,10(2)小于8的质数有2,3,5,7 ,所以 B=2,3,5,7.方程2x2 x3= 0的实数根为一1, 2，,3所以 C= 1, 2 .y=x+3,y= 2x+6,x= 1, y=4.y=x+3,y= 2x+6,x= 1, y=4.所以一次函数y = x + 3与y= 2x+6的交点为(1

16、,4),所以口=(1,4).阳律方J!用列举法表示集合的3个步骤1求出集合的元素；2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3用花括号括起来.提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开 .如 2, 3 , 5, 1 .。超踪训练.用列举法表示下列集合：(1)满足2&x&2且xCZ的元素组成的集合 A；(2)方程(x 2)2(x 3) =0的解组成的集合M;、一-,2x + y = 8，一一八八(3)方程组的解组成的集合B；x y= 1(4)15的正约数组成的集合 N解(1)满足2&x&2 且 xCZ的元素有2, - 1,

17、0,1,2，故 A= 2, -1,0,1,2.(2)方程(x 2)2(x 3) =0 的解为 x = 2 或 x=3, MU 2,3.2x + y = 8, x = 3,解 d 得 ，B=(3,2)Xy=l,y = 2,(4)15 的正约数有 1,3,5,15 ,故 N= 1,3,5,15用描述法表示集合口类型2_JI【例2】用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合.解(1) x R|1x10.(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为 (x, y)| x0.(3) x| x = 3n

18、+ 1, n N.聆JI描述法表示集合的2个步骤与代表元素明确元素 的特征:分清处集合中的元素是点迁是数或是其： :他的元素与代表元素明确元素 的特征希纂A千元i隙艮看扁丢羹乱至二i至:线的后面：I _ _ _3x, y 0 x2，0 yl(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是* x| x= 12n, n N.集合表示方法的综合应用3s 型 3/A=4,满足题意.综上所述，k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为0,1.母题探究.（变条件）本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条 件不变，求实数k的值组成的集合.解由题意可知，方程kx28x+16

19、= 0有两个不等实根，故k w0,即 k0,所以实数k组成的集合为k| k0,即 k1 = yCR|y1.()(4) x|x2= 1 = 1,1 .()答案(1) X (2) X (3) V (4) V.由大于一3且小于11的偶数所组成的集合是（）x| -3x11, xZx| 3x11x| -3x11, x = 2kx| -3x11, x = 2k, kZD 由题意可知，满足题设条件的只有选项D,故选D.一次函数y = x 3与y= 2x的图象的交点组成的集合是（）A. 1 , A. 1 , - 2C. ( -2,1)D. (1 , -2)y=x3,x=1,D 由得两函数图象的交点组成的集合是

20、y= 2x,y= 2,A.设集合A=x|x2 3x + a = 0,若4C A,试用列举法表示集合A.解/4 A, .16 12+a=0, .a= 4,2 .A= x|x 3x 4 = 0 = 1,4.集合的表示专题训练合格基础练一、选择题.已知集合A= xCN|x6,则下列关系式不成立的是（）A. 0 AB, 1.5?AC. 1?AD, 6 AD . A= xC N| x6 = 0,1,2,3,4,5,；6?A,故选 D.把集合x|x2 3x+2=0用列举法表示为()A, x=1, x=2B. x|x=1, x=2C. x2 3x + 2=0D. 1,2D 解方程x2 3x+2=0得x=1或

21、x = 2,所以集合x|x2 3x+2=0用列 举法可表示为1,2.下列四个集合中，不同于另外三个的是（）A. y|y = 2B. x=2C. 2D. x|x2 4x + 4=0B x = 2表示的是由一个等式组成的集合.x + y = 1,.方程组x2_y2=9的解集是（）A.(5,4)B. A.(5,4)B. (5, -4)( ( 5,4)(5 , - 4)解方程组解方程组x + y = 1, x2 y2 = 9,x = 5、得故解集为(5 , 4),选D.y,4,.下列集合的表示方法正确的是（）A.第二、四象限内的点集可表示为（ x, y）| xy0, xCR, y R.不等式x14的解

22、集为x5C. 全体整数D.实数集可表示为RD 选项A中应是xy0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述 法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素 x；选项C的“ ”与“全体” 意思重复.二、填空题.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为 .* . .-x|x = 2n, nCN正整数中所有的偶数均能被 2整除.设集合 A=1 , 2, a21, B= 1 , a2- 3a, 0,若 A, B相等，则实数a21=0,由集合相等的概念得 2 解得a=1.a 3a= 2,.设一5C x|x2ax5 = 0,则集合x| x2 +ax+3= 0 =.1,3由题意知，一5是方程x2 ax5

23、= 0的一个根，所以(5)2+ 5a 5 = 0,得 a= 4,则方程 x2+ax+3 = 0,即 x2 4x+3= 0,解彳4x=1 或 x = 3,所以x| x2 4x + 3 = 0 = 1,3.三、解答题.选择适当的方法表示下列集合.(1)由方程x(x2-2x-3) =0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y= x + 4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.解(1)方程的实数根为一1,0,3 ,故可以用列举法表示为 1,0,3,当然也可以用描述法表示为x|x(x2 2x 3)=0.(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为x e Q2x0,一 9即a&且a