三角函数最全知识点总结

1、三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角的概念我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角正角：按逆时针方向旋转形成的角.负角：按顺时针方向旋转形成的角.零角：如果一条射线没有作任何旋转我们称它形成了一个零角.终边相同角：与a终边相同的角可表示为：B|B=a+2kn,keZ,或B|B=a+k360,keZ.(3)象限角：角a的终边落在一第几象限就称a为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角侖了蝕边落在丄轴上的痢)血心弋灯戏即r亦如轴匸殛)仙止=知讀巴边擀衣坐标轴上的创皿=务花匕即2弧度制1度的角：把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1的

2、角.1弧度的角：弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角角度与弧度的换算：360=2nrad,1nT8qrad,1rad=360=2nrad,1nT8qrad,1rad=180n)57181面积S=_2la|r2_若扇形的半径为1面积S=_2la|r2_a|r3任意角的三角函数定义设a是一个任意角，a的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x,y),yxy它与原点的距离为r,则sina=_=_,cosa=_=_,tana=_x_.IIzv三角函数在各象限的符号是：sinacosatana1_+_土_+_II+III+IV+记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线可以看作是三角函数的几

3、何表示正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角a的_正弦线、余弦线和正切线.4.终边相同的角的三角函数sin(a+k2n)=_ina.cos(a+k2n)=cosa.tan(a+k2n)=tana_(其中kZ),即终边相同的角的同一三角函数的值相等.重要结论1.终边相同的角不一定相等,相等角的终边一定相同,在书写与角a终边相同的角时,单位必须一致.2确定-k-(keN*)的终边位置的方法(1)讨论法：用终边相同角的形式表示出角a的范围.写出a的范围.根据k的可能取值讨论确定aa的终边所在位置.等分象限角的方法：已知角a是

4、第m(m=1,2,3,4)象限角，求*是第几象限角等分：将每个象限分成k等份.标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4,直至回到x轴正半轴选答：出现数字m的区域，即为a所在的象限.如a判断象限问题可采用等分象限法.二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1同角三角函数的基本关系式sinx平方关系：sin2x+cos2xn_.商数关系：盂三血_2三角函数的诱导公式1同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinx=1同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinx=tanxcosx.1tan2x+1=-cos2x(sinx组数二三四五、六角2kn+a(keZ)n+aanan7an7

5、+a正弦sinasinasinasinacosacosa余弦cosacosacosasinasinacosa正切tanatanatanatana/重要结论+cosx)2=1+2sinxcosx等.2特殊角的三角函数值表角a030456090120150180270nnnn2n5n3n角a的弧度数06TT6nsina0i也1亟10122222cosa110110tana01-曾03.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”.“奇”与“偶”指的是诱导公式knn+a中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限

6、”指的是在knn+a中，将a看成锐角时k*+a所在的象限+cosx、sinxcosx、sinxcosx之间的关系sinx+cosx、sinxcosx、sinxcosx之间的关系为(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,(sinxcosx)2=12sinxcosx,(sinx+cosx)2+(sinxcosx)2=2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值三、两角和与差的三角函数二倍角公式1两角和与差的正弦、余弦和正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2a=2sinacosa_；(2)cos2a(2)cos2a=_cos2asha2cos2a

7、1=12sin2a；2tanatan22tanatan2a=1-tan2a,knn,n、(a工-才且afkn+亍keZ).3半角公式（不要求记忆）asin=1cosa2；21+cosa；a(2)cos2=asin=1cosa2；21+cosa；a(2)cos2=1cosaa(3)tan=sina1cosa1+cosa1+cosasina重要结论1降幂公式：cos2a=1降幂公式：cos2a=1+cos2a2sin2a1cos2a2升幕公式：1+cos2a=2cos2a,1cos2a=2sin2a.3公式变形：tanatanB=tan(a土B)(1tanatanB)1tana1+tana=tan

8、1tana1+tana=tan(*-a)；1+tana1tana=tan(-+a)sin2acosa=2sina，2tana1tan2asin2a=1+tan2a，cos2a=1+tanza，1土sin2a=(sinacosx)2.4辅助角（“二合一”）公式：asina+bcosa=：a2+b2sin(a+e).其中cose=asin其中cose=asine=b5.三角形中的三角函数问题A在三角形中，常用的角的变形结论有：A+B=nC；2A+2B+2C=2n；刁+BCn+=2+22-三角函数的结论有：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=cosC,tan(A+B)=tanC，A+Bsi

9、ntanC，A+BsinC=cos,A+BcospC=sin.ABosinAsinBocosA0)的图象列表：x=3x+00n2n3n22nx3n_0一23二3_n_0一3二3_3n_023二3一2n_0一3二3_sinx010_10y0A0A0描点：一厶三，!盘二，!_,金二鲁，！，二菁(晋二岂0)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y=Asinx+e)在区间长度为一个周期内的图象扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y=Asinx+e)在R上的图象由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(sx+e)(A0,30)的图象的步骤函数y=Asin(3x+e)(A0,30,xG0,+)的

10、物理意义振幅为A.(2)周期T=振幅为A.(2)周期T=2n(3)频率f=重要结论1一干一相位是_3x+初相是e.函数y=Asinx+e)的单调区间的“长度”为“五点法”作图中的五个点：y=Asin(sx+e),两个最值点，三个零点；y=Acos(3x+e),两个零点，三个最值点.3.正弦曲线y=sinx向左平移才个单位即得余弦曲线y=cosx.六、正弦定理、余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容abC2R(其中Ra2=b2+c22bccosAsinA=sinB二sinC一2R(其中R是厶ABC外接圆的半径)b2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC常见变形a=

11、2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；absinA=_2R_,sinB=_2R_,sinCc=_2r；abc=sinAsinBsinCasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAb2+c2a2cosA=_坐_；ra2+c2b2cosB=;一2ac一5a2+b2c2cosC=2ab解决解斜三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边一角，求第三边和其他两个角2.在ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下1S=2ah(h表示a边上的咼).2aaS=2absinC=2acsinB=2b

12、csinA.1S=2r(a+b+c)(r为内切圆半径).重要结论在AABC中，常有以下结论1.ZA+ZB+ZC=n.2在三角形中大边对大角，大角对大边3任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边A+BCA+Bsin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC；sin-=cos2,cosC=sin2-tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.ZAZBoabosinAsinBocosAcosB.三角形式的余弦定理sin2A=sin2B+sin2C2sinBsinCcosAsin2B=sin2A+sin2C2sinAsinCcosB，sin2C=sin2A+sin2B2sinAsinBcosC.若A为最大的角，则AGnn,n)；若A为最小的角TlAw(0,才；若A、B、C成等差数列，则B=nn.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2RsinA,a2+b2C2=2abcosC等),利用三角变换