高等数学(函数极限连续1)课件

1、第一讲函数、极限与连续1第一讲函数、极限与连续1一、 集合及其运算（自己复习）二、实数的完备性和确界存在定理 （去掉，可以不看）实数集 R 和实数轴上的所有点一一对应一、 集合及其运算（自己复习）二、实数的完备性和确界存在定设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f ,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作 y 称为 x 在映射 f 下的像, 记作 x 称为 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集称为 f 的 值域 . 注: 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 1、定义4.三、 映射和函数设

2、 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f ,对映射若, 则称 f 为满射; 若有 则称 f 为单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射. 对映射若, 则称 f 为满射; 若有 则称 f 为单射;若 定义域定义5. 设数集则称映射为定义在D 上的函数 ,记为称为值域 .自变量因变量定义域定义5. 设数集则称映射为定义在D 上的函数 ,记为 定义域使表达式或实际问题有意义的自变量集合.对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 基本初等函数：常数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数，反三角函数.非基本初等函数：分段函数等.1、狄利克雷函数例如：x 为有理数x

3、 为无理数 定义域使表达式或实际问题有意义的自变量集合.对实际问题, 3、符号函数2、取整函数当3、符号函数2、取整函数当2. 函数的几种特性(1) 有界性 (2) 单调性 (3) 奇偶性(4) 周期性注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数2. 函数的几种特性(1) 有界性 (2) 单调性 (3则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 :可定义复合函数3. 复合函数约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.则设有函数链称为由, 确定的复合函数 ,

4、u 称为中若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数 .其反函数(减),(减) . 1) （反函数存在定理） yf (x) 严格单调递增且也严格单调递增 性质: 使其中4. 反函数若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为 2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .常数及基本初等函数的函数 ,经过有限次四则运算和复合运算所构成称为初等函数. 5. 初等函数常数及基本初等函数的函数 ,经过有限次四则运算和复合运算所构1. 集合及其运算3. 函数及其特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性, 反函数, 复合函数.

5、4. 初等函数.2. 实数的完备性和确界存在定理第二节 内容小结1. 集合及其运算3. 函数及其特性有界性, 单调性,奇偶性如果按照某一法则,对每一对应着一个确定的实数则得到一个序列这一序列称为数列,记为叫做数列的通项数列举例:注：数列 可以看作自变量为正整数 的函数:四、数列的极限 如果按照某一法则,对每一对应着一个确定的实数则得到一个序列这数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察

6、数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。通过演示实验的观察:当无限增大时，无限接近于数列的极限观察数列的变化趋势。通过演示实验的观察:当无限增大时，无限接近于数列的极限观察数例如数列极限的通俗定义问题:如何用数学语言刻画它？当无限增大时，如果数列的一般项无限接近于常数则称常数是数列的极限或者称

7、记为趋势不定收敛于数列“当无限增大时，无限接近于”例如数列极限的通俗定义问题:如何用数学语言刻画它？当无限增大数列极限的精确定义如果存在常数对于任意给定总存在正整数使得当 时总有成立则称常数是数列的极限或者称数列收敛于记为极限定义的简记形式设为一数列或当 时的正数数列极限的精确定义如果存在常数对于任意给定总存在正整数使得当aa-ea+e()当 时aa-ea+e()当 时 例1 证明：证明：要使只需要于是，当时，即取当 时 例1 证明：证明：要使只需要于是，当时，即取当 收敛数列的性质定理 2.1 收敛数列的极限唯一.定理 2.2 收敛数列一定有界. 注：1.有界的数列是否一定收敛? 2 数列

8、的有界性与收敛如何？收敛数列的性质定理 2.1 收敛数列的极限唯一.定理 2.则定理 2.3 设例.求解：由于根据有理运算法则得则定理 2.3 设例.求解：由于根据有理运算法则得32例.求解： 因为根据有理运算法则得32例.求解： 因为根据有理运算法则得定理 2.4 收敛数列具有保号性.若且有推论:若数列从某项起推论 (保序性)设若使得恒有则定理 2.4 收敛数列具有保号性.若且有推论:若数列从某定理2.5 (夹逼性)设若使得恒有则定理2.5 (夹逼性)设若使得恒有则单调增加单调减少单调数列数列收敛性的判别准则 单调递增有上界的数列收敛于其上确界；单调递减有下界的数列收敛于其下确界。注：单调增

9、加单调减少单调数列数列收敛性的判别准则 单调递增有上 1 如果数列的两个子数列存在极限,但其极限不同, 那么原数列的极限是否存在? 注： 2 现在又如何判断数列 发散？定理2.7（归并原理 ） 的充要条件是的每个子列都有 1 如果数列的两个子数列存在极限,但其极限不同,注 数列的任一收敛子列的极限称为该数列的极限点，极限点又称聚点。定理2.8（Weierstrass定理-聚点定理）有界数列必有收敛子列。定理2.9（Cauchy收敛原理）数列极限存在的充要条件是:存在正整数 N ,使当时,有这种数列称为Cauchy列或基本数列。该条件称为Cauchy条件。 数列的任一收敛子列的极限称为该数列的极

10、限点，内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2.39P39 10偶数题, 11(1)(2)作 业39P39 10偶数题, 作 业五、函数的极限是当它与函数满足下列关系： 自变量无限趋大时的函数极限如果存在常数设是任一函数那么称恒有使得定义3.1（时的函数的极限）极限存在或有极限.时的极限, 记作或时此时又称当五、函数的极限是当它与函数满足下列关系： 自变时, 函数当的极限可类似的定义. 与当时, 函数

11、的极限当当当时, 有时, 有时, 有时, 函数当的极限可类似的定义. 与当时, 函数的极限当不难证明几何解释:不难证明几何解释:例 证明证:故取当时 , 就有因此例 证明证:故取当时 , 就有因此定义3.2 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或若记作几何解释: 自变量趋于有限时函数的极限 定义3.2 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有例 证明证:欲使取则当时, 就有因此只要例 证明证:欲使取则当时, 就有因此只要定义 设函数是常数），若时为当或它与满足下列关系：使得则称的左极限，记作：存在常数恒有单侧极限 类似地定义：的右极限.时函数显然，定

12、义 设函数是常数），若时为当或它与满足下列关系：使得则称使得当恒有称之为时的极限为无穷大，记作如果类似的可以定义及时的无穷大。使得当恒有称之为时的极限为无穷大，记作如果类似的可以定义及时函数极限的归并原理定理3.1 Heine定理设为一函数，则注: 此定理只能用来证明极限不存在。 对于中的任何数列为有限或无穷).敛于当时，相应的函数值数列都收中的任何数列注: 此定理只能用来证明极限不存在。 当证明极限存在时，此定理绝对不能用。因为 有无穷多个，我们无法验证所有的数列都满足此定理。 函数极限的归并原理定理3.1 Heine定理设为一函数，则例 证明： 不存在。例 证明： 函数极限的性质定理3.2

13、 设则(1) 唯一性. 时，当处是局部有界的，即在的极限是唯一的.(2) 局部有界性.使得恒有 函数极限的性质定理3.2 设则(1) 唯一性. 时定理3.3 若(2) 局部保序性.若 使得(3) 夹逼性.(1) 局部保号性.则使得若都与a 同号. 若则恒有使得都有且a b, 则定理3.3 若(2) 局部保序性.若 使得(3) 夹逼性定理 3.4 (有理运算法则)其中设定理 3.5 (复合运算法则)设则(3)(1)(2)是由复合而成，与复合函数中，若定义在都有并且则使得定理 3.4 (有理运算法则)其中设定理 3.5 (复合运算例 求解:例 求解:例 求解:例 求解:例 求解:例 六、两个重要极

14、限 注 2.六、两个重要极限 注 2.例 求解: 例 求解: 原式=例 求解: 例 求解: 原式=例 求解: 例 求解：令 则当故时，例 求解: 例 求解：令注. 两个重要极限或注: 代表相同的表达式思考与练习注. 两个重要极限或注: 代表相同的表达式思考与练习例 求解: 原式 =例 求解: 原式 = 函数极限的存在准则确界定义设有函数若其值域上的上(下)确界，记作有上是的上(下)界(下)界，则称 f在A上有上(下)界，并称在A上的上(下)界，称的上(下)确界是 f 在 A如果 f 在A上既有上界又有下界，则称 f 在A 上有界. 函数极限的存在准则确界定义设有函数定理3.6 单调有界准则(1) 设有函数 f 在区间