哈尔滨工程大学自动控制原理线性定常系统的反馈结构及状态观测器

1、 综合是和分析相反的一个命题。 系统的分析：的是系统结构和参数及外输入作用，有待研究的是系统运动的定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)和定量的变化规律。 系统的综合：的是系统的结构和参数，以及所期望的系统运动形式或其某些特征，所要确定的那么是所需要施加于系统的外输入作用即控制作用的规律。通常，这种控制作用规律常取为反响的形式。1在控制理论中，反响结构是系统设计的主要方式。对输入输出模型，只能采用输出反响；而状态空间模型由于能够提供系统内部的状态信息，所以不仅能够采用输出反响，还能够采用状态反响对系统进行控制。2第六章 线性定常系统的反响结构及状态观测器6.1 线性定常系统常用的反响结构及其

2、对系统特性的影响6.2 系统的极点配置6.4 别离特性6.3 全维状态观测器及其设计36.1 常用反响结构及其对系统特性的影响 一 . 两种常用反响结构式中：v是p维参考输入向量；K是pn维实反响增益矩阵。式中：x,u,y分别为n维、p维和q维向量。 常用的反响形式是状态反响和输出反响。 1. 状态反响设有n维线性定常系统引入状态的线性反响：线性状态反响，简称状态反响4状态反响系统的结构图uxy+BCA状态反响(闭环)系统的状态空间描述为：特征多项式：传递函数矩阵：K+-v52. 输出反响输出反响有两种形式:a) 将输出量反响至参考输入 常用形式b) 将输出量反响至状态微分少见形式1) 将输出

3、量反响至参考输入当将系统的控制量u取为输出y的线性函数时，称之为线性输出反响，常简称为输出反响。式中：v是p维参考输入向量；F是pq维实反响增益矩阵。6输出反响系统的结构图v+-Fuxy+BCA输出反响(闭环)系统的状态空间描述为：特征多项式：传递函数矩阵：7传递函数矩阵：uxy+-BHCA2) 将输出量反响至状态微分将输出量反响至状态微分的系统结构图：输出反响(少见)系统的状态空间描述为：特征多项式：83. 状态反响结构与输出反响结构比较相同点：1)无论是状态反响结构还是输出反响结构都使闭环系统的系统矩阵不同于原系统矩阵 A 。2) 状态反响是一种完全的系统信息反响，输出反响那么是系统结构信

4、息的一种不完全反响。 3)设计者可以通过选取适当的反响矩阵K或F来改变系统的特性，到达设计要求。不同点：输出反响能完成的设计任务,状态反响必然能够完成；状态反响能完成的设计任务,输出反响不一定能完成。91. 对系统可控性和可观测性的影响二. 反响结构对系统性能的影响定理9-1P502：状态反响不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。证明：证可控性不变。显然对于任意的K阵以及所有的s，有根据系统可控性的PBH秩判据可知，其可控性在状态反响前后保持不变。10再来证状态反响系统，不一定能保持可观测性。由于状态反响改变系统的极点(特征值)，假设发生零点与极点抵消情况，那么改变系统的可观性。 例：

5、可控可观测系统原系统的传递函数：假设采用的状态反响是：11那么闭环系统的系统矩阵为：闭环系统可观测性判别矩阵为：那么闭环系统为：所以闭环系统是不完全可观测，其传递函数为12定理9-3(P503)：输出反响不改变系统的可控性和可观测性，即输出反响系统为可控可观测的充分必要条件是被控系统为可控可观测。证明：证可控性不变。可见对于任意的F阵以及所有的s，有根据系统可控性的PBH秩判据可知，其可控性在输出反响前后保持不变。13证可观性不变：可见对于任意的F阵以及所有的s，有根据系统可观测性的PBH秩判据可知，其可观测性在输出反响前后保持不变。 142. 反响结构对系统稳定性的影响 如果采用反响措施能够

6、使闭环系统稳定，称该系统是反响可镇定的。状态反响和输出反响都改变系统的特征值，故都影响系统的稳定性。镇定：参加反响，使得通过反响构成的闭环系统成为稳定系统，称之为镇定。 由于状态反响具有许多优越性，而且输出反响总可以找到与之性能等同的状态反响系统，故在此只讨论状态反响的可镇定问题。 15对于线性定常受控系统如果可以找到状态反响控制律使得通过反响构成的闭环系统是渐近稳定的，即A-BK的特征值均具有负实部，那么称系统实现了状态反响镇定。定理9-4 (P505) 当且仅当线性定常系统的不可控局部渐近稳定时，系统是状态反响可镇定的。16证明：由于系统A, B不完全可控，其结构分解为对于任意的状态反响矩

7、阵 ，可导出即状态反响不能改变不可控极点，因此使闭环系统稳定的必要条件是不可控局部是渐近稳定的。其中：176.2 系统的极点配置() 利用状态反响和输出反响使闭环系统的极点位于所希望的极点位置，称为极点配置。状态反响和输出反响都能配置闭环系统的极点。 状态反响K不能改变不可控局部的极点，但能够任意配置可控局部的极点。 输出反响F也只能配置可控局部的极点，但不一定能实现期望极点的任意配置；肯定不能将极点配置到系统的零点处。18一极点可配置条件1利用状态反响的极点可配置条件定理9-5 P505利用状态反响任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。 证明：以单输入多输出系统来证明该定理。1充分性

8、：假设系统完全可控，那么通过非奇异线性变换 可变换为可控标准型:其中：19引入状态反响：其中： 20闭环特征方程为： 那么引入状态反响后闭环系统的系统矩阵为：21闭环特征方程为： 该n阶特征方程中的n个系数，可通过 来独立设置，也就是说 的特征值可以任意选择，即系统的极点可以任意配置。2必要性：如果系统A, b不可控，说明系统的有些状态将不受u的控制，那么引入状态反响时就不可能通过控制 k 来影响不可控的极点。222. 利用输出反响的极点可配置条件定理9-6 P506用输出至状态微分的反响输出反响矩阵H任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可观测。 证明：根据对偶定理证明。参见教材P506

9、定理(补充)用输出至参考输入的反响(输出反响矩阵F)不能任意配置完全可控系统的闭环极点。 23二. 单输入单输出系统的极点配置算法() 给定可控系统(A,b,c)和一组期望的闭环特征值 , 要确定(1n)维的反响增益向量k,使闭环系统矩阵(A-bk)的特征值为 。1. 通用的计算方法()：设(1) 计算期望的特征多项式：24(2) 用待定系数计算闭环系统的特征多项式：(3) 由以下n个方程计算反响矩阵k的元素：注意：系统完全可控，单输入系统的极点配置有唯一解；系统不完全可控，假设期望极点中包含所有不可控极点，极点配置有解，否那么无解。25例 9-23(P507) 线性定常系统状态方程为求反响向

10、量k，使系统的闭环特征值为：解：(1) 计算期望的特征多项式：(2) 设 用待定系数计算闭环系统的特征多项式：26(3) 系数对应相等：解得：即：27(1) 计算A的特征多项式:(2) 计算期望的特征多项式: 计算(可控标准型)反响矩阵 :2. 完全可控系统极点配置的标准算法28(6) 计算原系统的反响增益阵：(4) 计算变换矩阵P-1:(5) 计算P：29例 9-23的标准计算方法解：系统的可控性判别阵为：系统是完全可控的，满足可配置条件。1系统的特征多项式为：302系统的期望特征多项式为：3计算 ：4变换矩阵为： 315求P：6计算反响增益向量：326.3 全维状态观测器及其设计 问题的提

11、出 全维状态观测器观测器的结构形式 观测器的存在条件 观测器综合算法33图1 状态重构问题的直观说明一、问题的提出n 维的线性定常系统+观测器+-图1 参加状态反响后的系统结构图 系统的极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪以及线性二次型最优控制，都有赖于引入适当的状态反响才能得以实现。在状态反响问题的分析中，我们均假设所有状态都是可以测量的，但这一假设在实际系统中常常得不到满足。因为为了利用状态进行反响，必须用传感器来测量状态变量。但是并不是所有的状态变量在物理上都可测量，或者由于不易直接测量，或者由于量测设备在经济性和使用性上的限制，使得在实际应用中不可能获得系统的全部状态变量，从而使状态反

12、响在物理上难以实现。 状态反响在性能上的优越性和物理上的不能实现性形成了一个锋利的矛盾。解决这一矛盾一般可采用如下两种途径：(1)直接利用输出反响加以动态补偿，到达与状态反响同样的控制效果；(2)用被控系统易获得的外部变量的知识，来获得状态变量的近似值或精确值，用以进行反响，这就是所说的状态重构。也就是说由于被控对象的输入量u和输出量y都是能够用传感器测量的，因此可以利用这些外部变量重构系统的状态，并用这个重构状态来代替系统的真实状态，来实现所要求的状态反响。 状态重构问题的实质，就是重新构造一个系统，利用原系统中可直接测量的变量，如输出向量和输入向量作为它的输入信号，并使该系统的输出信号 在

13、一定的提法下等价于原系统的状态 。通常，称 为 的重构状态或估计状态，这样就可以用该估计状态 来代替真实状态 。我们称用以实现状态重构的系统为观测器。它是一个估计或观测状态变量的动态系统。状态重构问题实际上就是观测器设计问题。 34状态观测器：输出 渐进等价于原系统状态x(t)的观测器，即以为性能指标综合得到的观测器。 状态观测器全维状态观测器：降维状态观测器：重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数.重构状态向量的维数小于被控对象状态向量的维数35二、全维状态观测器考虑n维的线性定常系统 该系统的状态x不能直接加以量测，但输出y和输入u是可以量测并加以利用的。的一个n维线性定常系统. 所

14、谓全维状态观测器，就是以y和u为输入，且其输出 满足如下关系式(1)(2)其中：A，B和C分别为nn，np，qn实常阵。36开环观测器的状态方程为：1、全维状态观测器的结构形式+图2 开环状态观测器被控系统开环状态观测器式中： 是被控对象状态向量x的估计值.1) 开环观测器37+-+图3 全维状态观测器-状态反响被控系统全维状态观测器状态空间描述为：32) 全维状态观测器观测器输出反响阵38图4 全维状态观测器(3)式可改写为：+被控系统闭环状态观测器(4)392、观测器的存在条件 状态观测器分析设计的关键问题是能否在任何初始条件下，即尽管 与 不同，但总能保证成立。只有满足上式， 或所示系统

15、才能作为实际的状态观测器。 (4)(3)(2) 那么，如何通过选取H，使得由式(3)或(4)反映的观测器能满足式(2)呢？ 40观测器的存在条件即观测器任意极点配置的条件定理9-7(P510)：假设被控系统(A,B,C)可观测，那么必可采用所示的全维状态观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵H而任意配置(A-HC)的全部特征值。 41证：利用对偶原理，系统(A,B,C)可观测意味着其对偶系统 可控。由极点配置的结论：利用状态反响任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控。 所以对于可控系统 来说，对于任意给定的n个特征值，必可以找到一个状态反响增益阵 ，使反响后的系统特征值等于指定的特征值

16、，即使下式成立：(5)其中：42是由期望特征值所确定的闭环系统特征多项式。由于矩阵的转置不改变矩阵的特征值，故(6)这就意味着(A-HC)的特征值可由H任意配置。因此，只要给定的系统A, B, C可观测，必然可以通过选择增益阵H将(A-HC)配置到特定的特征值上，从而使设计的全维状态观测器满足观测器存在条件，可以实际运用。 433、观测器综合算法方法一：原理性算法方法二：标准算法 对于给定的n维被控系统设系统(A,B,C)可观测，再对要设计的全维状态观测器给定一组期望的特征值: ，设计全维状态观测器。 44方法一：原理性算法1) 计算期望的特征多项式2设反响增益阵 ，用待定系数计算闭环观测系统

17、特征多项式其中：系数ai中包含未知元素hi 。453求解以下n个方程，计算出反响矩阵H的元素4计算(A-HC)，那么所要设计的全维状态观测器就为而 即为x的估计状态。46方法二：标准算法1导出被控系统(A,B,C)的对偶系统(AT,CT, BT) ；2利用完全可控系统极点配置的标准算法，计算系统(AT,CT, BT)的反响增益阵HT,将(AT,CT, BT) 的极点配置到期望的 ；3计算(A-HC)，那么所要设计的全维状态观测器就为而 即为x的估计状态。47例：给定系统解：方法一观测器系统的特征值为： , 试构造全维状态观测器.1) 期望特征多项式：该系统可观测，可任意配置全维状态观测器的极点

18、。484设计的全维状态观测器为：3得到方程组：2设增益阵 , 闭环观测系统特征多项式为49方法二：50 516.4 别离特性 现在要讨论的是用全维状态观测器提供的估计状态 代替真实状态x来实现状态反响，其闭环特性与利用真实状态进行反响的情况会有什么区别？也就是说为了保持系统的期望特征值，其状态反响阵K是否需要重新设计？当观测器被引入系统以后，状态反响系统局部是否会改变已经设计好的观测器的闭环极点配置，观测器输出反响阵H是否需要重新设计？为此需要对引入观测器的状态反响系统作进一步分析。 52+-+-状态反响被控系统图5 引入全维状态观测器的状态反响系统全维状态观测器53考虑n维的线性定常系统假设系统是可观测的，那么可设计全维状态观测器 得到真实状态 x 的估计值 ，引入状态反响此时状态反响子系统的状态空间描述为：全维状态观测器的状态空间描述为：54故组合系统的状态空间描述为： 由此可见，引入全维状态观测器的状态反响系统，其维数为被控系统和观测