谈谈数学思维灵活性的培养

1、谈谈数学思维灵活性的培养龙川县铁场中学戴彩华在数学的教学中，培养学生数学思维的灵活性是极其重要的，学生 有了这种思维品质，在遇到较难的数学问题时，就有多向、变通等解决 问题的对策。如何才能更好地培养学生思维灵活性呢？我在教学实践中 作了一些探索：一、引导学生思维发散，培养思维灵活性。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、 适应未来生活所应具备的能力。在数学教学中，注意引导学生思维发散 通过一题多解、一题多思、一题多变等方式，提高学生思维的灵活性。l 、一题多解，培养思维的灵活性。在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维的

2、灵活性。例：已知实数x,y满足:(x + y) 2 + (y - 3)2 = 4 ,请学生用不同的方法求x + y的最大值和最小值。学生提供的不同的解法为：(1)数形结合法：设x + y = t 则由圆心(-1,3)到直线x + y = t 的距 -1+3-t离d = J2 ,从而x + y 的最大值和最小值分别是2+2J2和2-242 。(2)三角换元法：设x = - 1 + 2cosa,y = 3 + 2sina, a C 0 , 2 兀,则有x + y = 2 + 2(cosa + sina) =2 + 2* sin(a+ -).当 sin(a+ 4 尸 1 时，x + y取得最大值和最

3、小值，分别是2 + 2 / 和2 - 2 啦(3)均值不等式法：利用基本不等式I a + b I 2(a2 + b2 )得I (x+1)+(y-3) I V2(x+1) 2 + (y-3) 2 =2 爽即 | x+y-2 | 2 v2 于是 可知x + y的最大值和最小值分别是2 + 2 / 和2 - 2 由。用一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的 方法和灵活的思维方式。2、一题多思，培养思维的灵活性。牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象 力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地 猜想，以培养学生思维品质。例：已知：sin

4、sin 1 (1) , cos cos 1 (2),由此可得到哪些结34论？让学生进行探素，然后相互讨论研究，各抒己见。想法一：(1)想法一：(1)2+ (2)2可得8$()263 (两角差的余弦公式)。288想法二:(1) X(2),再和差化积:sin()cos(1112想法三:想法四;想法五:结合想法一可知：sin(2-(2) 2再和差化积:结合想法一可知：可得2cos(cos(2425)cos(7251想法二:(1) X(2),再和差化积:sin()cos(1112想法三:想法四;想法五:结合想法一可知：sin(2-(2) 2再和差化积:结合想法一可知：可得2cos(cos(2425)c

5、os(72517144s,再和差化积约去公因式可得:(2)求：sin(tg,进而用万能公式可)、cos( )、tg(由 sin2cos21消去得：4sin3cos2524消去可得4sin消去可得4sin25 一一3cos 25 (消参思想)24想法六:(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式:sin( 4)-(2)并逆用两角差的正弦公式:sin(想法七：(1)X 3-(2) X4: 3sin 4cos3sin4cossin( /想法六:(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式:sin( 4)-(2)并逆用两角差的正弦公式:sin(想法七：(1)X 3-(2) X4: 3sin 4cos3sin4cos

6、sin( /07 一 224224sin(2k 则 sin( 通过一题多思,4、sin( ) 0 ( arctg -), (与已知矛盾舍去)或)、cos( )、tg(即 2sin)均可求。2cos222k 2 (k Z)不但能开阔学生的解题思路，而且启发学生建立了课本例题，习题之间的联系，使学生在做题时做到“遇新题，忆旧题，多思 考，善联想、多变换、找规律”。从而培养了学生的思维灵活性。3 、一题多变，培养学生的灵活性。一题多变是指改变原来例题中的某些条件或结论，使之成为一个新例 题。对问题的条件和结论进行发散，进而从不同角度和用不同知识来解决 问题。例：求函数y = x 2 - 4x + 3

7、 (x C R)的最小值为我将条件进行如下变式：变区间：将区间(xCR)”变为“-1&X&4”或“-1&X&0”或 “30 x&4” ；变系数：将“系数4”变为“a”即“ y x2 ax 3 ” ；变自变量：将“ x”变为“sinx”即“y sin2x 4sinx 3” ；变系数、自变量：将“ y x2 4x 3 ”变为“ y sin2 x a sin x 3 ”在这种由简到繁的变式中，学生对二次函数求最值的理解更深刻了， 增强了学生解综合题的能力，其思维的灵活性得到了提高。二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质 的培养来促进思维灵活性的培养。思维的灵活性、广阔性、敏捷供

8、、深刻性、独创性和批判性等几个方 面是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中，思维的灵活性是建立 在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供 保证的良好品质。所以，思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的 提图。1、思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象 中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。例：方程 sinx =lgx 的解有()个。(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无措。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组y sinx的公共解。运用数形结合思想转化

9、为求函数图象交点问题，寻求几何性曲Wgx 代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本 质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。、思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细 节的思维品质。要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知识， 寻找解答关键。例：已知抛物线在y轴上的截距为3,对称轴为直线x=1,在x轴 上截得线段长为4,求抛物线方程。解法一：截距为3,可选择一般式方程：y ax2 bx c(a 0),显然有c = 3,利 用其他条件可列方程组求a, b值。解法二：由对称轴为直线x=1,可选择顶点式方程：y a(x m)2 k (a 0)

10、显然有 m 1,利用其他条件可列方程组求 a, k的值。另外，由图象对称性可知 x轴 上交点为(l , 0)和(3, 0)。解法三：由截距为3,即过三点(0, 3)、(l , 0)和(一3, 0),可选择一般式方程：y ax2 bx c(a 0),代入点坐标，列方程组求 a, b, c值。解法四：由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式y a(x x1)(x x2) (a 0)(必须与 x轴有交点)，显然；xi = -3, x2= 1。由截距 3,可求a值。在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔性 的基础上，充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。、思维的敏捷

11、性指思维活动的速度。它的指标有二个：一是速度， 二是正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活 性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。例：已知数列Xn满足X2Xn一(Xn 12Xn 2),n 3,4,.若 lim %X2,则X1(A. 32解法一：二B.C.D.Xn 1X令 例：已知数列Xn满足X2Xn一(Xn 12Xn 2),n 3,4,.若 lim %X2,则X1(A. 32解法一：二B.C.D.Xn 1X令 bnXn 1Xn2(Xn12是以(X2Xn ,则 bnXnX1 (X2 X1)(X3XiX1(5)(X1 12Xi lim XnXXn1 2(XXnXn 12

12、 ),即Xn 1 Xn 2Xi )为首项,b1qn 1(X2x2)(x1、2，)X1(21,(-)n121、2)X121为公比6的等比数列,21X1)(-)2Xn 1),1n 1( -)nX121.n 1 (7)X121( 2)lim 2X1 ( 1)n 1x 322X1(3生&L2 ,X13 ,故选 B.33由于高考的时间有限，是否有其他更简单的、快速的解法呢？选择题 重结果不重过程，引导学生思考，得另一种解法。解法二：特殊值法，当X1 3时，X23,X3 9,X4竺,X5 33,X6 632481632由此可推测lim Xn 2,故选B.此题解法充分体现了思维灵活性，以简驭繁，用X特殊化思

13、想求解，解题迅速、正确。4、思维的独创性指思维活动的独创程度，具有新颖善于应变的特 点。思维的灵活性为思维的独创性提供了肥沃的土壤，为解题“灵感”的 闪现提供了燃料。在教学实践中，我常发现，学生提出富有个性的见解的时候，往往是“思维火花”闪烁的时候.例：求值：sin210 sin250 sin10sin50一般解法： 左 1 - (cos200 cos1000) sin 100 sin5002nn 1nn.cos6n cos4n ( cos6n cos4n )234独特灵活的解法：令 x sin210n sin2 5nn sin10nsin50n , TOC o 1-5 h z 20200nn

14、n 1y cos in cos 5。 cosin cos5n ,则x y 2 cos40 , x y cos40 -233即2x 415由A B 知：A 不可能！即415由A B 知：A 不可能！即cosA 一取不到。故只有一解cosC 一。565学生对结论的可靠程度进行怀疑，在独立分析的基础上，灵活运用三 角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围，严密论证了三角函数值取 值的可能性。三、灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导。教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维 灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生 注人灵活思维的活力。“导入出新”一一良好

15、的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入可 以激发学习兴趣和热情。以“创设情境”，“叙述故事”、“利用矛 盾”、“设置悬念”、“引用名句”、“巧用道具”等新颖多变的教学手 段，使学生及早进入积极思维状态。4构造对偶式求解，思维灵活颇有独创性。灵活的构想独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。我在教学中比较 注重学生解题思路的独创性、新颖性的肯定和提倡，充分给予尝试、探索 的机会，以活跃思维、发展个性。5 、思维的批判性指思维活动中独立分析的程度，是否善于严格地估 计思维材料和仔细地检查思维过程。我在数学教学中，鼓励学生提出不同 的甚至怀疑的意见，注意引导和启发，提倡独立思考能力的培养。 TOC o

16、1-5 h z 35例：/ ABC, sin A 一，cosB 一 ,求 cosC513大部分学生如此解：由sin A 3可得cosA4;由cosB 9可得sin B,进551313而可求 cosC 16 或 cosC 56。6565i有学生提出异议：由sin A - m可知：A 3-或A ,同理可知B 。52444“错解剖析”一一提供给学生题解过程，但其中有错误的地方。让学 生反串角色，扮演教师批改作业。换一个角度来考察学生的知识掌握情 况，寻找错误产生的原因，从而更好的加深对知识的掌握。“例题变式”一一从例题入手，变换条件寻求结论的不同之处；变换 结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，寻求多题一解；变换问 题的思考角度，寻求一题多解；以“变”来培养学生灵活的思维。“编制试卷”一一列出考查知识点、考查重点、试题类型，让学生自 己编制一份测验试卷.并给出解答。使学生站在老师的角度体验出题心 理，更好的掌握知识结构和