主成分分析法实例

1、-让每一个人相同地提高自我1、主成分法：用主成分法找寻公共因子的方法以下：假设从有关阵出发求解主成分，设有p个变量，则可找出p个主成分。将所得的p个主成分按由大到小的次序摆列，记为Y1，Y2，YP，则主成分与原始变量之间存在以下关系：Y111X112X2.1pXpY221X122X2.2pXp.Ypp1X1p2X2.ppXp式中，ij为随机向量X的有关矩阵的特点值所对应的特点向量的重量，因为特点向量之间互相正交，从X到Y得变换关系是可逆的，很简单得出由Y到得变换关系为：X111Y121Y2.p1YpX212Y122Y2.p2Yp.Xp1pY12pY2.ppYp对上边每一等式只保存钱m个主成分而

2、把后边的部分用i取代，则上式变为：X111Y121Y2.m1Ym1X212Y122Y2.m2Ym2.Xp1pY12pY2.mpYmp上式在形式上已经与因子模型相一致，且Yi（i=1,2，m）之间互相独立，且Yi与i之间互相独立，为了把Yi转变成适合的公因子，此刻要做的工作但是把主成分Yi变成方差为1的变量。为达成此变换，必然将Yi除以其标准差，由主成分分析的知识知其标准差即为特点根的平方根i。于是，令FiYi/i，11,22,.,mm，则式子变成：1-让每一个人相同地提高自我X1a11F1a12F2.a1mFm1X2a21F1a22F2.a2mFm2.Xpap1F1ap2F2.apmFmp这与

3、因子模型完满一致，这样，就获得了载荷A矩阵和初始公因子(未旋转)。一般设A为样真有关矩阵R的特点根，1,2,.,p为对应的标准正交化特点向量。设mp,则因子载荷矩阵A的一个解为：A=(11,22,.,mm)共同度的预计为：2a2a2.a2hi1i2imi下边用主成分法分析以下数据：步骤：第一步，把Excel中的数据导入到SPSS中：FileOpenData；第二步，数据标准化：AnalyzeDescriptiveStatisticsDescriptives如图：2-让每一个人相同地提高自我第三步，查验数据：如图：获得结果以下：KMO和Bartlett的查验取样足够度的Kaiser-Meyer-

4、Olkin胸怀。.754Bartlett的球形度查验近似卡方df36Sig.0003-让每一个人相同地提高自我Sig小于，因此该数据可用；第四步,用主成分法分析数据：AnalyzeDimensionReductionFactor如图：4-让每一个人相同地提高自我获得结果以以下列图：有关矩阵Zscore:Zscore:Zscore:Zscore:Zscore(Zscore(Zscore:Zscore:100固定100元固Zscore:100元工100元销每吨标准每千瓦时全员劳动100元流财产原值定财产原100元资业总产值售收入实煤实现工电力实现生产率动资本实实现值值实现利金实现利实现利税现利税业

5、产值工业产值（元/人.现产值（%）税（%）税（%）（%）（%）（元）)（元）)年）（元）相Zscore:100固.869.770.211.920.899.795.896关定财产原值实现值（%）Zscore:100元.869.978.387.472.886.804.814.849固定财产原值实现利税（%）Zscore:100元.770.978.523.531.797.736.740.811资本实现利税（%）Zscore:100元.387.523.323.115.125.051工业总产值实现利税（%）Zscore:100元.211.472.531.323.175.260.371.317销售收入实现

6、利税（%）Zscore(每吨标.920.886.797.115.175.877.815.768准煤实现工业产值（元）)Zscore(每千瓦.899.804.736.260.877.757.818时电力实现工业产值（元）)Zscore:全员.795.814.740.125.371.815.757.715劳动生产率（元/人.年）Zscore:100元.896.849.811.051.317.768.818.715流动资本实现产值（元）5-让每一个人相同地提高自我Communalities此中Communalities给出了该次分析从每个原始变量中提取的信息，表格下边注示表示，该次分析是用Facto

7、ranalysis模块默认的信息提取方法即主成分分析达成的。可以看到除100元工业总产值实现利税，100元销售收入实现利税和全员劳动生产率之外，主成分几乎包含了各个原始变量最少80%的信息。6-让每一个人相同地提高自我解说的总方差初始特点值提取平方和载入成份共计方差的%积累%共计方差的%积累%123.6974.3185.1906.1167.029.3248.024.2709.002.027提取方法：主成份分析。由输出结果看到，前面2个主成分y1，y2的方差和占所有方差的比率为%.我们就采纳y1为第一主成分，y2为第二主成分，且这两个主成分之方差和占所有方差的%，即基本上保留了本来指标的信息，这

8、样由本来的9个指标转变成2个新指标，起到了降维的作用。ComponentMatrixaComponent12100固定财产原值实现值（%）.931100元固定财产原值实现利税.976.163（%）100元资本实现利税（%）.931.322100元工业总产值实现利税.232.863（%）100元销售收入实现利税（%）.433.596每吨标准煤实现工业产值（元）.923每千瓦时电力实现工业产值.897（元）全员劳动生产率（元/人.年）.871100元流动资本实现产值（元）.899ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.a.2componentsext

9、racted.7-让每一个人相同地提高自我成份得分系数矩阵成份12Zscore:100固定财产原值.213实现值（%）Zscore:100元固定财产原.114.156值实现利税（%）Zscore:100元资本实现利.072.256税（%）Zscore:100元工业总产值实现利税（%）Zscore:100元销售收入实现利税（%）Zscore(每吨标准煤实现工业产值（元）)Zscore(每千瓦时电力实现工业产值（元）)Zscore:全员劳动生产率（元/人.年）Zscore:100元流动资本实.567.406.186.198.148.005.172现产值（元）提取方法:主成分分析法。旋转法:拥有Ka

10、iser标准化的正交旋转法。组成得分。由上表获得两个主成分，y1,y2的线性组合为：y10.213x10.114x20.072x30.155x40.065x50.186x60.198x70.148x80.172x9y20.153x10.156x20.256x30.567x40.406x50.08x60.128x70.05x80.051x9成份得分协方差矩阵成份121.0002.0008-让每一个人相同地提高自我成份得分协方差矩阵成份121.0002.000提取方法:主成分分析法。旋转法:拥有Kaiser标准化的正交旋转法。组成得分。2、主轴因子法：假设m个公因子只好解说原始变量的部分方差，利用

11、公因子方差（或共同度）来取代有关矩阵对角线上的元素1，并以新获得的这个矩阵为出发点，对其分别求解特点根与特点向量并获得因子解。在因子模型中，不难获得以下对于X的有关矩阵R的关系式：1,2,.,m式中，A为因子载荷矩阵；为一对角阵，其对角元素为相应特别因子的方差。则称RRAA为调整有关矩阵，明显R的主对角元素不再是1，而是共同度hi2。分别求解R的特点值与标准正交特点向量，从而求出因子载荷矩阵A。此时，R有m个正的特点值。设12.m为R的特点根，1,2,.,m为对应的标准正交化特点向量。mp，则因子载荷矩阵A的一个主轴因子解为：A=（11,22,.,mm）用轴因子法分析上述数据：AnalyzeD

12、imensionReductionFactor如图：9-让每一个人相同地提高自我只要在这步把Methoct选择为Principalaxisfactoring（主轴因子法），其余的方法与主成分法一致。获得的结果以以下列图:有关矩阵Zscore:Zscore:100元固Zscore:Zscore:100固定定财产Zscore:100元工100元销财产原原值实100元资业总产售收入值实现现利税金实现值实现实现利值（%）（%）利税（%）利税（%）税（%）Zscore(Zscore(每吨标每千瓦Zscore:Zscore:准煤实时电力全员劳100元流现工业实现工动生产动资本产值业产值率（元/实现产（元）

13、)（元）)人.年）值（元）相Zscore:100.869.770.211.920.899.795.896关固定财产原值实现值（%）Zscore:100.869.978.387.472.886.804.814.849元固定财产原值实现利税（%）Zscore:100元资本实现利税（%）Zscore:100元工业总产值实现利税（%）Zscore:100元销售收入实现利税（%）Zscore(每吨标准煤实现工业产值（元）)Zscore(每千瓦时电力实现工业产值（元）)Zscore:全员劳动生产率（元/人.年）Zscore:100元流动资本实现产值（元）.811.051.317.768.818.715.7

14、1510-让每一个人相同地提高自我此中Communalities给出了该次分析从每个原始变量中提取的信息，表格下边注示表示，该次分析是用Factoranalysis模块默认的信息提取方法即主成分分析达成的。可以看到除100元销售收入实现利税和全员劳动生产率之外，主成分几乎包含了各个原始变量最少80%的信息。11-让每一个人相同地提高自我解说的总方差初始特点值因子共计方差的%积累%123.6974.3185.1906.1167.029.3248.024.2709.002.027提取方法：主轴因子分解。由输出结果看到，前面2个主成分y1,y2的方差和占所有方差的比率为%.我们就采纳y1为第一主成分

15、，y2为第二主成分，且这两个主成分之方差和占所有方差的%，即基本上保存了本来指标的信息，这样由本来的9个指标转变成2个新指标，起到了降维的作用。3、极大似然法：假如假设公因子F和特别因子遵照正态散布，则可以获得因子载荷和特别因子方差的极大似然预计。设X1,X2,.,Xp为来自正态整体N,的随机样本，此中AA。从似然函数的理论知：n11/2tr1(xjxxjxnxx)L,n/2ej1np/22它经过依靠于A和。但上式其实不可以独一确立A，为此，增添以下条件：A1A这里，是一个对角阵，用数值极大化的方法可以获得极大似然预计?和A。极大似然预计?，?和?,将使?1?为对角阵，且使上式达到最大AXAA

16、化。12-让每一个人相同地提高自我用极大似然法分析上述数据：AnalyzeDimensionReductionFactor如图：只要在这步把Methoct选择为Maximumlikelihood(极大似然法)，其余的方法与主成分法一致。获得的结果以以下列图：有关矩阵Zscore:Zscore:Zscore:Zscore:Zscore(Zscore(Zscore:Zscore:100固定100元固Zscore:100元工100元销每吨标准每千瓦时全员劳动100元流财产原值定财产原100元资业总产值售收入实煤实现工电力实现生产率动资本实实现值值实现利金实现利实现利税现利税业产值工业产值（元/人.现

17、产值（%）税（%）税（%）（%）（%）（元）)（元）)年）（元）相Zscore:100固.869.770.211.920.899.795.896关定财产原值实现值（%）Zscore:100元.869.978.387.472.886.804.814.849固定财产原值实现利税（%）Zscore:100元.770.978.523.531.797.736.740.811资本实现利税（%）Zscore:100元.387.523.323.115.125.051工业总产值实现利税（%）13-让每一个人相同地提高自我Zscore:100元.211.472.531.323.175.260.371.317销售收

18、入实现利税（%）Zscore(每吨标.920.886.797.115.175.877.815.768准煤实现工业产值（元）)Zscore(每千瓦.899.804.736.260.877.757.818时电力实现工业产值（元）)Zscore:全员.795.814.740.125.371.815.757.715劳动生产率（元/人.年）Zscore:100元.896.849.811.051.317.768.818.715流动资本实现产值（元）14-让每一个人相同地提高自我此中Communalities给出了该次分析从每个原始变量中提取的信息，表格下面注示表示，该次分析是用Factoranalysis

19、模块默认的信息提取方法即主成分分析达成的。可以看到除100元工业总产值实现利税，100元销售收入实现利税和全员劳动生产率之外，主成分几乎包含了各个原始变量最少80%的信息。解说的总方差初始特点值提取平方和载入旋转平方和载入因子共计方差的%积累%共计方差的%积累%共计方差的%积累%123.6974.3185.1906.1167.029.3248.024.2709.002.027提取方法：最大似然。由输出结果看到，前面2个主成分y1,y2的方差和占所有方差的比率为%.我们就采纳y1为第一主成分，y2为第二主成分，且这两个主成分之方差和占所有方差15-让每一个人相同地提高自我的%，即基本上保存了本来

20、指标的信息，这样由本来的9个指标转变成2个新指标，起到了降维的作用。FactorMatrixaFactor12100固定财产原值实现值（%）.950100元固定财产原值实现利税.977.196（%）100元资本实现利税（%）.928.364100元工业总产值实现利税.222.864（%）100元销售收入实现利税（%）.380每吨标准煤实现工业产值（元）.924每千瓦时电力实现工业产值.875（元）全员劳动生产率（元/人.年）.827100元流动资本实现产值（元）.903ExtractionMethod:MaximumLikelihood.a.2factorsextracted.15iterationsrequired.因子得分系数矩阵因子1Zscore:100固定财产原值实.909现值（%）Zscore:100元固定财产原值.100实现利税（%）Zscore:100元资本实现利税（%）Zscore:100元工业总产值实现利税（%）Zscore:100元销售收入实现利税（%）Zscore