点圆直线圆圆圆位置关系

1、个人收集整理仅供参照学习16.3点与圆、直线与圆、圆与圆的地址关系【考纲领求】能依照给定直线与圆的方程，判断直线与圆的地址关系；能由给定的两个圆的方程，判断两圆的地址关系；会求两圆订交弦的方程、弦长、弧长，会求圆的切线方程.【命题规律】直线与圆的地址关系是本节观察的重点内容，题型为填空题，平时观察圆的切线方程、直线与圆订交的弦长、切线长、圆心角、弧长及面积的计算。圆与圆的地址关系平时观察公共弦长、公共弦的方程、对称性。解析几何中设而不求的思想方法，圆与其他知识的交汇，一般会在解答题中出现，难度适中。个人收集整理勿做商业用途【知识回顾】一、点与圆的地址关系2(y22C(a,b)，那么点P(x0,

2、y0)与圆的地址关系有：1.已知圆(xa)b)r，圆心为（1）点P在圆上(x0a)2(y0b)2r2|PC|r（2）点P在圆内(x0a)2(y0b)2r2|PC|r（3）点P在圆外(x0a)2(y0b)2r2|PC|r2.圆外一点P到圆上任一点的最大距离为|PC|r，最小距离为|PC|r.二、直线与圆的地址关系1.地址关系：相离、相切、订交，分别对应直线与圆有0个、1个、2个公共点。判断方法：（1）代数法：直线的方程消去y（或x）获取关于x(或y)的一元二次方程圆的方程b24ac0订交直线与圆有2个公共点0相切直线与圆有1个公共点这种0相离直线与圆有0个公共点由鉴识式来判断地址关系的方法，即代

3、数法，是解析几何中研究两条曲线交点问题的通法，也是一种基本方法，拥有一般性，但运算量比较大，一般不用此法。个人收集整理勿做商业用途dr（2）几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小来判断，即drdr直线与圆订交直线与圆相切直线与圆相离三、圆与圆的地址关系地址关系：外离、外切、订交、内切、内含2.判断方法：判断两圆的地址关系，利用圆心距和两圆半径的大小关系来判断设O1:(xa1)2(yb1)2r12,O2:(xa2)2(yb2)2r22，则圆心距为d12122122，|OO|(aa)(bb)1/7个人收集整理仅供参照学习dr1r2外离4条公切线dr1r2外切3条公切线则|r1r2|dr1

4、r2订交2条公切线d|r1r2|内切1条公切线d|r1r2|内含无公切线四、直线与圆相切“切线”问题求过圆上的一点P(x0,y0)的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为1，由点斜式方程可求切线方程，若切线斜率不k存在，则由图形写出切线方程xx0.个人收集整理勿做商业用途求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程（1）几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为l:yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.（2）代数方法：设切线方程为l:yy0k(xx0)，即kxyy0kx00，代入圆方程，获取一个关于x的一元二次方程，由0，求得

5、k，切线方程即可求出.（3）从圆外一点引圆的切线必然有两条，若是求出的切线斜率只有一个，则另一条切线必然垂直于x轴.五、直线与圆订交“弦长”问题、“圆系”问题直线被圆截得的弦长（1）几何方法：由半径r，弦心距22长为|AB|2rd（2）代数方法：利用弦长公式2设直线ykxm与圆(xa)B，及半弦长组成的直角三角形，利用勾股定理得弦AO22(yb)r订交于A(xA,yB),B(xA,yB)两点，将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于x的方程，求出xAxB,xAxB，则|AB|1k2|xAxB|1k2(xAxB)24xAxB,或1|AB|12|yAyB|k2.弦中点求法：（1）由直线与圆方程联立消

6、元获取关于x或y的一元二次方程，由唯达定理得x1bx1x2x2x中a2（2）由弦所在方程和过圆心且垂直于弦的直线方程组成的方程组求得交点坐标（即中点）。3.直线与圆订交时，过两圆交点的圆系方程为x2y2DxEyF(AxByC)0.六、直线与圆订交、相切、相离时的结论及方法2/7个人收集整理仅供参照学习1.过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程：x0 xy0yr2证明：方法一：kopy0，klx0yy0 x0(xx0)，即y0yy02x0 xx02，即x0 xy0yx02y02x0y0y0又P(x0,y0)在圆上，x02y02r2x0 xy0yr2方法二：设l:yy0k(xx0)，即k

7、xyy0kx00圆心到l的距离d|y0kx0|r，(y0kx0)2r2(1k2)即y02k22x0y0 x020k21即(y0kx0)20，kx0，yy0 x0(xx0)即x0 xy0yr2y0y02.过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r222DxEyF0上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 xy0yDxx0Eyy0F03.过圆xy22D,E)，y0E2y0E，2x0D证明：圆心为(kop2kl22x0D2x0D2y0E2切线方程为yy02x0D(xx0)即(yy0)(2y0E)(2x0D)(xx0)02y0EP(x0,y0)在

8、圆上22Dx0Ey0F0 x0y02x0 x2y0yD(xx0)E(yy0)2F0即x0 xy0yDxx0Eyy0F0224.从圆外一点P(x0,y0)引圆x2y2DxEyF0的两条切线，切线长dx02y02Dx0Ey0F.证明：圆心为(D,E)，PMPN225.从圆外一点P(x0,y0)引圆(xa)2(yb)2r2的两条切线，切线长d(x0a)2(y0b)2r26.从圆外一点P(x0,y0)引圆x2y2r2的两条切线，则切点弦所在直线方程为x0 xy0yr2证明：方法一：设M,N坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2)M,N在已知圆x2y2r2上，过M,N的切线方程分别为xx1yy1r2

9、，xx2yy2r2又P(x0,y0)为两切线公共点，x0 x1y0y1r2，x0 x2y0y2r2上式表示点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足二元一次方程x0 xy0y2r.直线MN方程为x0 xy0y2r方法二：设以OP为直径的圆的方程，其圆心为(x0,y0)，半径r2(op)21op2x0y012224(x)2(y)2222y2x0 xy0y022(x0y0)即x22242又xyr，x0 xy0yr7.若点P(x0,y0)2y22x0 xy0y2订交.是圆xr外一点，则直线r与该圆的地址关系是若点P(x0,y0)2y22x0 xy0y2相切.是圆xr上一点，则直线r与该圆的地址关系是

10、若点P(x0,y0)是圆x2y2r2内一点，则直线x0 xy0yr2与该圆的地址关系是相离.3/7个人收集整理仅供参照学习证明：P(x0,y0)在圆外，|OP|2x02y02r2，点O(0,0)到l:x0 xy0y2的距离dr2r2又rx02y02rr直线x0 xy0y2与圆x22r2ry订交。8.过圆C内一点A的直线l与圆交于一条弦MN，其中：当l过圆心时弦长最大，即直径；当l但是圆心但垂直于AC时，弦长最小，且MN是以A为中点，且C到l的距离最大。个人收集整理勿做商业用途9.当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr（其中d为圆心到直线的距离）七、两圆订交“订交弦直线

11、方程”“过两圆交点的圆系方程”1.设圆C1:x2y2D1xE1yF10和圆C2:x2y2D2xE2yF20订交，过两圆交点的交点弦方22D1xE1yF1)22F2)=(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0程为：(xy(xyD2xE2yC1:x2y2D1xE1yF10D2)x(E1E2)y(F1F2)0注：y2D2xE2yF20由-得(D1C2:x2当两圆是同心圆时，此直线不存在当两圆订交时，方程为公共弦（即订交弦）所在直线；（两圆订交弦的中垂线为连心线，但是连心线段的中垂线不用然是订交弦所在直线，除非两圆是等圆）个人收集整理勿做商业用途当两圆外切时，方程为两圆内公切线所在直线；当两圆内切时

12、，方程为两圆公切线所在直线；当两圆相离时，方程为与两圆连心线垂直的直线；当两圆半径相等时，方程为两圆的对称轴.过两圆交点的圆系方程：设圆C1:x2y2D1xE1yF10和圆C2:x2y2D2xE2yF20订交，过交点的圆系方程为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1).当1时，方程变为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0，它表示过两圆交点的直线.【典例解析】例1.已知圆x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR)，求证：不论m为何值，圆心在同素来线上。解:（1）证明：配方得(x3m)2y(m1)225设圆心为(x,y)，则x3m1消去mx3y30ym则不论m

13、为何值，圆心恒在直线l:x3y30上.例2.若过点A(4,0)的直线l与圆(x2)2y21有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.解：因为点A(4,0)在圆外，所以斜率必存在.设经过该点的直线方程为kxy4k0，4/7个人收集整理仅供参照学习所以有|2k04k|1,解得3k3k2133例3.已知两圆x2y22x6y10和x2y210 x12ym0.求:（1）m取何值时，两圆外切？（2）m取何值时，两圆内切？解:将两圆分别化为标准方程圆C1:(2(y3)211,圆C2:(x2(y6)2m.x1)5)61两圆圆心距C1C2(51)2(63)25，r111,r261m(1)当C1C2r1r2,即116

14、1m5,即m251011时,两圆相切.(2)当C1C2|r1r2|,即1161m5,即m251011或m251011时,由(1)知m251011两圆外切,故m251011时,两圆内切.例4.已知点P(0,5)2212y240.及圆C:xy4x若直线l过P且被圆C截得的线段长为43,求l的方程;求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解析:（1）可以用代数法将直线l的斜率k设出（优先考虑斜率不存在的情况），写出直线方程，并将其代入圆C的方程，尔后运用弦长公式d1k2|x1x2|来解决；也可以用几何法设出直线l方程：y5kx,第一注意斜率不存在情况，运用圆心到直线的距离，圆半径和一半弦长组成直角三角形

15、来解决.个人收集整理勿做商业用途（2）中点弦问题，可以考虑“代点作差法”，也可以利用“垂直于弦的直径均分弦”这一几何特色来求解.解:(1)方法一：以下列图，AB43,D是AB中点，CDAB,AD23,AC4,RtACD中，可得CD=2.设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y5kx,即kxy50,由点C到直线AB的距离公式:|2k65|2k3224k(1)当k3时,直线l的方程为3x4y200.4又直线l的斜率不存在时也满足题意，此时方程为x0.所求直线的方程为x0或3x4y200.方法二：设所求直线的斜率为k,则直线l的方程为y5kx,即ykx5,ykx52)x2(42k)x110联立直线与圆

16、的方程224x12y24,消去y，得(1kxy05/7个人收集整理仅供参照学习x1x22k4x1,x2,由韦达定理,得1k2设方程的两根为11x1x221k由弦长公式,得1k2|x1x2|(1k2)(x1x2)24x1x243将式代入，解得k3，此时直线方程为3x4y200.4又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x0.所求直线方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y)，则CDPD即CDPD0,即(x2,y6)(x,y5)0,化简得x2y22x11y300所求轨迹方程为x2y22x11y300.例5.(2009陕西改编)过原点且倾斜角为60的直线被圆220所截得的

17、弦长为.xy4y解:x2y24y0即x2(y2)24,则圆心A(0,2),OA2,所求弦长为22cos3023.例6.求过直线2x+y+4=0与圆x2y22x4y10的交点，且过原点的圆的方程.解析:可用待定系数法，由两交点坐标和过原点的条件，求出待定系数，也可用圆系方程求经过两圆交点的圆的方程.个人收集整理勿做商业用途x2y23或x11解:方法一:由2x4y10 x5,所以交点坐标为A(3,2),B(11,2)2xy40y2y2555D32F0设所求圆的方程为2y2DxEyF0,由题意得943D2EF0E17x411211D2EF0F05555方法二：设所求圆的方程为x2y22x4y1(2xy4)0即x2y22(1)x(4)y(14)0此圆过原点，14014所求圆的方程为x2y23x17y0242y22x4y10的交点且面积最小的圆的方程.例7.求过直线2x+y+4=0和圆x解:求圆的方程为x2y22x4y1(2xy4)0即x2y22(1)x(4)y(14)06/7个人收集整理仅供参照学习方法一:当半径最小时,圆面积也最小,对左边配,得x(12(y4258244)2)4()555所以当8时,此圆面积最小,故满足条件的圆的方程为(x3)2(y6)245555方法二：当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆面积最小.易求得圆