线性代数精品课件

1、关于线性代数第一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月行列式矩阵线性方程组向量空间矩阵的特征值二次型1.教材内容:2.学习方法与要求;预习+课堂学习+小组讨论 本期应完成:15次作业、6个报告、2次考试 第二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月线性代数(Linear Algebra)简介加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。 一.代数:是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。1.初等代数 代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比伦人。 初期的代数主要源于解方程. 我国古代的九章算术中就有方程问题。第三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月初等代数研究的对象:代数式的

2、运算和方程的求解。 整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。 四则运算，乘方和开方运算,通常称为初等代数的代数运算.初等代数的十条规则: (1)五条基本运算律： 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律； (2)两条等式基本性质: 第四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月等式两边同时加上一个数，等式不变； 等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；(3)三条指数律： 同底数幂相乘，底数不变指数相加； 指数的乘方等于底数不变指数相乘； 积的乘方等于乘方的积。人们在解方程的研究过程中发现了无理数、负数和复数，从而使数的概念得到了扩充。第五张，PPT共六十二页，创作于2022年6

3、月2、代数的基本定理1799年高斯（Gauss）证明： 复数域上任意一个一元n次（n0）方程任何一个一元n次方程在复数域上有且仅有n个根（重根按重数计算）至少有个根,这就是说,至少有个复数x满足这个等式； 第六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月3.多项式方程的代数解问题方程的代数解是指:方程经过有限次代数运算得到的解。 例如：的解. ， 阿贝尔（Abel）(18021829)证明了五次方程不可能有代数解第七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月4、方程根与系数的关系韦达定理:设一元二次方程在复数域上的两个根为,则有 一般地:设在复数域上的n个根为,则有 第八张，PPT共六十二页，创

4、作于2022年6月2.高等代数 1832年法国数学家伽罗瓦运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此代数转变成为研究代数运算结构的科学.第九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月二.线性代数“线性”的含义是指未知量的一次式。 例如: y=ax表示变量y是变量x的一个线性函数， y=ax1+bx2表示变量y是x1，x2的线性关系。 一个线性表示不能包含诸如x2和x1x2的二次项，这些二次项是非线性的。 线性代数的研究对象:线性方程组、线性空间和线性变换。 行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具.第十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月1、求解线性方程组例1：明代程大为著

5、的算法统宗中记载：100个和尚分100个馒头。大和尚一人3个，小和尚3人一个，刚好分完。问大、小和尚各多少人？解：设有大和尚x人，小和尚y人，于是有用代入法求得：，代入，解出：第十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例2：中国古代算书张丘建算经记载百鸡问题：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问：在这一百鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？解：设有公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，则有有（2）3（1）得 第十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月因为y是整数，可设 代入得：又y0,可知k=1,2,3,由此得或或第十三张，PPT共六十二页，创作

6、于2022年6月例3求解下列线性方程组(1)(2)(3)解:由(2)-(1)得(3)方程组与下列方程组同解 (4)(5)由(5)2(4):k是任意常数令:第十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月解:利用高斯（ Gauss ）消元法求解.将1,2两个方程互换位置得第十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月由第1个方程分别乘-2,-2,-3,后与2,3,4方程相加,得同理:将2,3方程互换位置,得把第3,4两个方程分别加上第2个方程的-4,-1倍,得第十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月同理;得 从第3个方程回代 第十七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月利用高斯消元

7、法求解线性方程组解:原方程组 无解.若我们进一步变换可得: 第十八张，PPT共六十二页，创作于2022年6月从以上例题可以看出,线性方程组的解有3种情况:唯一解、无穷解和无解。 当未知量或方程组的个数增多时, 常用高斯消元法求解方程组. 一般地,方程组可表示为:它是线性代数的主要研究对象。第十九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例:总收入问题某地区有1个工厂,生产甲,乙,丙3种产品,xi(i=1,2,3),表示工厂生产这3种产品的数量,ai(i=1,2,3)表示第i种产品的单价,y表示这3种产品的总收入,则有:若某地区有1,2,3,4个工厂,生产甲,乙,丙3种产品,xki(k=1,2,

8、3,4;i=1,2,3)是k工厂生产i种产品的数量,ai(i=1,2,3)表示i种产品的单价,yk表示k工厂的总收入,则有:2、线性代数的数学模型第二十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月在一个经济系统中,一个企业既是生产者又是消费者,作为生产者,它有产出,作为消费者它有投入,企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线性方程组来表示,这就是列昂节夫(诺贝尔经济学奖获得者)的投入产出数学模型.第二十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例全球定位系统GPS 要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用GPS系统.这个系统是由24颗高轨道卫星组成,卡车从其中3颗卫星接受信号,接受器里的软件利用线

9、性代数方法来确定卡车的位置. 当卡车和一颗卫星联系时,接受器从信号往返的时间能确定卡车到卫星的距离,例如14000公里,从卫星来看,知道卡车位于以卫星为球心,半径为14000公里的球面上的某地.设卡车位置(x,y,z),第一颗卫星位置(a1,b1,c1)即第二十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月同理 假设第2,3颗卫星的位置分别是(a2,b2,c2)和(a3,b3,c3)距卡车的距离分别是17000和16000公里,则有这些关系式不是线性关系式,要求(x,y,z)由(1)减(2),(3)得:第二十三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例:动画问题动画设计中常常用到坐标变换如:平

10、移 旋转等设平面上的点为(x,y)平移变换后为则:设平面上的点为(x,y)旋转变换后为则:(x,y)r第二十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月1 n阶行列式的定义的主要内容是:一.2阶行列式和3阶行列式的定义(一)2阶行列式的定义(二)3阶行列式的定义二.n阶行列式的定义第二十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月行列式简介行列式出现于线性方程组的求解。 它是数学语言上的改革, 它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。 P.S.Laplace是一种速记表达式. 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家 关孝和提出来的(1683 年 ) Vandermonde 首次对行列式理论进行系统

11、的阐述 成为行列式理论的奠基人. 第二十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月用消元法解二元线性方程组一.2阶行列式和3阶行列式的定义(一)2阶行列式的定义第二十七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月方程组的解为由方程组的四个系数确定.第二十八张，PPT共六十二页，创作于2022年6月 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即第二十九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式第三十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第三十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月则二元线性方程组的解为注

12、意 分母都为原方程组的系数行列式.第三十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例1解第三十三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月(二)三阶行列式的定义解三元一次方程组 由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得 第三十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月由二元一次方程组可知:若系数行列式: 即:第三十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月那么:第三十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月三元线性方程组:若系数行列式不等于零,有解:第三十七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月(二)三阶行列式的定义定义记（1）式称为数表所确定的三阶行列式.第三十八张，PP

13、T共六十二页，创作于2022年6月(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标第三十九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月(2)对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 第四十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例 解按对角线法则，有第四十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月二.四阶行列式与n阶行列式的定义不适用对角线定义.第四十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月1+1三阶行列式的沙路法和对角线法不适用四阶行列式二.四阶行列式与n阶行列式的定义第四十三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例:求x

14、4=?(1)(2)(3)(4)由(2)+(3)得:得:103第四十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月观察2阶和3阶行列式:=?第四十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月三阶行列式:+1232313121322133210个2个2个偶排列1个1个3个奇排列记:为排列的逆序数总数.第四十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月规定=行列式的一般项定义.第四十七张，PPT共六十二页，创作于2022年6月补充说明:行列式的一般项定义中列标可按自然顺序排列.例如:第四十八张，PPT共六十二页，创作于2022年6月n阶行列式的一般项定义行列式的一般项简记 其中aij是行列式的元数.第

15、四十九张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例1计算对角行列式分析展开式中一般项中的元素积:所以 只能等于 , 同理可得解即行列式中不为零的项为第五十张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例如3或2阶行列式的按第1行展开式归纳如下:四阶行列式与n阶行列式按行展开式定义.第五十一张，PPT共六十二页，创作于2022年6月按照这一规律观察2阶:=规定:第五十二张，PPT共六十二页，创作于2022年6月在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素 的代数余子式例如 的余子式和代数余子式1.余子式与代数余子式第五十三张，PPT共六十二页，创作于2022年6月第五十四张，PPT共六十二页，创作于2022年6月 的余子式和代数余子式第五十五张，PPT共六十二页，创作于2022年6月定义:由n2个数aij(ij=1,2,n)组成的n阶行列式n阶行列式按第1行展开的定义 是一个算式.当n=1时,定义D=当n2时,定义为 其中:第五十六张，PPT共六十二页，创作于2022年6月例1=40按第1行的元素展开第五十七张，PPT共六十二页，创作于202