结构动力学精品课件

1、结构动力学第1页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三一、动力计算的特点 “静力荷载”：大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。由它所引起的内力和变形都是确定的。 “动力荷载”：大小、方向和作用位置随时间迅速变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。10-1 概述第2页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三在任意动力荷载下分析给定结构的动力响应。动力荷载动力响应结构动力响应与结构动力特性有关。动力特性大小、方向和位置随时间变化。动位移和动内力，是时间的函数，动态的。自振频率，振型和阻尼结构动力分析的目的第3页

2、，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三荷载关于时间的变化是已知的。分析过程：第1阶段:位移时间历史第2阶段: 应力、应变及内力荷载的关于时间的变化不完全已知。可以用统计学定义 (称为：随机动力荷载).（如何求？）确定性分析:不确定性分析：第4页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三P(t )tPt简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载二、动力荷载分类 （变化规律及其作用特点)1）周期荷载：随时间作周期性变化。任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载第5页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载

3、在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。 （如爆炸荷载）PtP(t )ttrPtrP第6页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三已知荷载的类型非周期荷载:建筑物上的偏心电机tF内燃机连杆tF爆破tF地震tF周期荷载:任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载简谐荷载复杂荷载第7页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参数的数目一般问题：质量连续分布，时间连续，适宜用偏微分方程描述。时间和位置是独立变量。质量连续分布：无限自由度惯性力F(t)10-2 体系振

4、动的自由度第8页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-2-1 集中质量法质量连续分布1个自由度2个自由度3个自由度6个自由度无限自由度把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。第9页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三惯性力F(t)fI1fI2fI33个集中质量，仅沿竖向位移，3个自由度再加上3个旋转自由度: 6个自由度惯性力F(t)第10页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三2个自由度y2y12个自由度自由度与质量数不一定相等mmm梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振时的计算简图单自由

5、度体系第11页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三3个自由度2个自由度1个自由度忽略楼板变形第12页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三4个自由度2个自由度xy忽略杆件轴向变形2个自由度第13页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-2-2 广义坐标法xyxyLa 是广义坐标，1个自由度a1,a2 是广义坐标，2个自由度a是广义坐标，1个自由度是通过对质体运动的位移形态从数学的角度施加一定内在约束。从而使体系的振动由无限自由度转化为有限自由度。第14页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三挠曲形状用位移函数

6、表示，其中的独立参数为广义坐标Lx第15页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三满足约束条件的一组函数广义坐标n 自由度第16页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三有限元方法应用于所有结构类型:框架，平面问题，板，壳，一般3维问题x插值函数（形函数）有限元方法适用范围最广第17页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-3 单自由度体系运动方程的建立kcmF(t)kc阻尼力弹性恢复力粘滞阻尼系数弹簧刚度系数惯性力动力荷载mFp(t)y(t)F(t)y(t)y10-3-1 刚度法第18页，共174页，2022年，5月20日，11点4

7、7分，星期三重力影响 以后忽略下标d,仍表示动位移Fp(t)y(t)mW静位移y(t)mWkcFp(t)my(t)W第19页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三Fp(t)Fp(t)lllmDBCAy例1第20页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。.m静平衡位置I(t)可得与刚度法相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。10-3-2 柔度法FDFP(t)第21页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例2l/2l/2l/2mABCyl/2第22页，共174页，2022年，

8、5月20日，11点47分，星期三例3mABCyl/4l/2l/2l/2l/2第23页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例4柔度法2llEIm第24页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例4刚度法Fp(t)l/2l/2l/2Fp(t)ABCDC第25页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-3-3 虚功法例4mABClll/2cml/2l/2l/2第26页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三支座扰动的影响cmk/2k/2等效支撑扰动荷载第27页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三 自

9、由振动：没有动荷载的作用。静平衡位置m获得初位移ym获得初速度要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼等10-4 单自由度体系的自由振动Free vibration第28页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三 一、自由振动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动1、 刚度法：m.yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+ydk力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力 W弹性力 恒与位移反向惯性力第29页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三惯性力(a)其中 kyj=W 及上式可以简化为或由平衡位置计量。以位

10、移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。2、 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。.m静平衡位置I(t)可得与 (b) 相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。第30页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三无阻尼自由振动微分方程的解改写为其中它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：积分常数C1，C2由初始条件确定m静平衡位置I(t)设 t=0 时.（d）式可以写成第31页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三 由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,则(e)式改写

11、成它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定振幅初始相位角第32页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三y0ty-yTTTyt0yt0A-A第33页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三三、结构的自振周期和频率由式及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0A-A周期工程频率园频率计算频率和周期的几种形式第34页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例1. 计算图示结构的频率和周期。mEI l /2 l /21例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IE,I1E,A1第35页，共174页，2022年，5月20日，11

12、点47分，星期三IIEI1=mhk例3.计算图示刚架的频率和周期。 由截面平衡第36页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三简谐自由振动的特性由式可得加速度为： 在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动.它们的幅值产生于时，其值分别为： 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程.惯性力为：第37页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例. 计算图示体系的自振频率。ABCDEI= l /2 l /2lkBCk.A1.A2 解：单自由度体系， 以表示位移参数的幅值, 各质

13、点上所受的力为：建立力矩平衡方程化简后得第38页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三习题课1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短.错2.单自度体系运动方程为其中未考虑质体重力,这是因为( )A.以重力作用时的静平衡位置为y坐标零点;B.重力是静力,不在动平衡方程中考虑;C.重力在弹性力内考虑了;D.重力与其它力相比可略去不计.3.已知质点m的最大竖向位移Ymax=5Y0,且初始时质点竖向位移为 Y0(Y0为静位移),则质点的初始速度为 .mEIl第39页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三4.图a所示结构周期为Ti,则图b所示体系的周期为m

14、kimk1k2k3(a)(b)5.单自由度简谐受迫振动中,若算得位移放大系数 为负值,则表示: A.不可能振动; B.干扰力频率与自振频率不同步; C.动位移小于静位移; D.干扰力方向与位移方向相反. 6.图示体系的自振频率为 .llmk第40页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三7.图示体系的动力自由度为5.EI=常数8.体系的振幅和自振频率与初始条件有关.9.图示体不计阻尼的稳态最大动位移 其最大动弯矩为 A.7Pl/3; B.Pl; C.4Pl/3; D.Pl/3. mEIl10.在图示体系中,若要使其自振频率增大,可以mEIlA.增大P; B.增大EI;C.增大

15、m; D.增大 l . 第41页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三习题1.已知质点m的最大竖向位移Ymax=5Y0,且初始时质点竖向位移为 Y0(Y0为静位移),则质点的初始速度为 .mEIl2.图示体系不计阻尼的稳态最大动位移 其最大动弯矩为 A.7Pl/3; B.Pl; C.4Pl/3; D.Pl/3. mEIl3.在图示体系中,若要使其自振频率增大,可以mEIlA.增大P; B.增大EI;C.增大m; D.增大 l . 第42页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三1、图示体系不计阻尼的稳态最大动位移 ，其最大动力弯矩为：（ ）A.7Pl/3;

16、 B. 4Pl/3; C. Pl; D. Pl/32、图示单自由度动力体系自振周期的关系为 ：（ ）A. B. C. D. 都不等习题第43页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三2、图示单自由度动力体系自振周期的关系为 ：（ ）A. B. C. D. 都不等习题1.已知质点m的最大竖向位移Ymax=5Y0,且初始时质点竖向位移为 Y0(Y0为静位移),则质点的初始速度为 .mEIl第44页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三3.在图示体系中,若要使其自振频率增大,可以mEIlA.增大P; B.增大EI;C.增大m; D.增大 l . 4.图a所示结构

17、周期为Ti,则图b所示体系的周期为mkimk1k2k3(a)(b)第45页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三5.图示体系的自振频率为 .llmk第46页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三6、试求图示体系的自振频率与周期。解mEIl/2ll/2第47页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三7、试求图示体系的自振频率与周期。mEIl/2kkl/2第48页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三6、试求图示体系的自振频率与周期。解l/2mEIl/2ll/2l/4第49页，共174页，2022年，5月20日，11点4

18、7分，星期三7、试求图示体系的自振频率与周期。解mEIl/2kkl/2第50页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三无动力作用无阻尼 c=0由初始条件确定圆频率，自振频率 (natural frequency)周期工程频率10-4-1无阻尼自由振动第51页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三初始相位角幅值 (Amplitude)第52页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例 1lBAlmk1mk2Fp 1计算自振频率第53页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三柔度lBAlFp 1l/2第54页，共174页，2

19、022年，5月20日，11点47分，星期三例4.2mEIEI2EImmmh计算自振频率柱侧移刚度EIEI2EI第55页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-4-2 有阻尼自由振动临界阻尼系统临界阻尼系数阻尼比 (damping ratio)特征方程第56页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三临界阻尼系统ty(t)第57页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三欠阻尼系统阻尼系统的自由振动频率由初始条件确定第58页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三欠阻尼系统ty(t)第59页，共174页，2022年，5月2

20、0日，11点47分，星期三有阻尼系统的自振频率大多工程实际结构第60页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三对数递减率 (logarithmic decrement)第61页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例10-7cW=mgk/2k/2(1) 刚梁有效质量1层建筑理想化为无重柱支撑刚梁88.5kN作用下位移5.08mm恢复幅值4.06mm，周期1.4秒第62页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三(2) 无阻尼自振频率(3) 阻尼性质对数衰减率阻尼比阻尼系数(4) 6周后的幅值第63页，共174页，2022年，5月20日，11

21、点47分，星期三过阻尼系统过阻尼系统动力反应与欠阻尼系统相似ty(t)第64页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三m10-5 单自由度体系的受迫振动 受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用 下的振动。ky(t)ymkyP(t )mP(t )P(t )弹性力ky、惯性力和荷载P(t)之间的平衡方程为:单自由度无阻尼体系强迫振动的微分方程第65页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三一、简谐荷载：tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=mtFyyqwsin2=+&tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(2222

22、2-=-=特解：最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。第66页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三稳态强迫振动 (steady-state harmonic vibration)伴生自由振动纯强迫振动由于阻尼的存在，振动会迅速衰减第67页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三通解可写为：设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动第68页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三平稳阶段

23、：最大动位移（振幅）为：动力系数为：1023123wqb重要的特性：当/0时,1当0 / 1，并且随/的增大而增大。当/ 1时,。振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75 / 1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。第69页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsint2m解：1)求2)求3)求ymax， Mmax第70页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例、一简支梁

24、（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：1）求自振频率和荷载频率 I22b3570cm4357039.7对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。325第71页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三2）求动力系数175.6MPa 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干

25、扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。39.71.35149.2第72页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。二、一般荷载1、瞬时冲量的动力反应P(t)tP瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。t cossin)(00www+=tvtytyt tttcossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtyty由动量定理：第73页，共174页，2022年，5月

26、20日，11点47分，星期三2、任意荷载P(t)的动力反应P(t)t时刻的微分冲量对t瞬时(t )引起的动力反应:初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:t(Duhamel 积分)（10.15）第74页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:3、几种典型荷载的动力反应1）突加荷载 P(t)tPyst=P0=P0 /m2第75页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三ysty(t)t0232）短时荷载 P(t)tPu阶段(0tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 和速度为初始条件作自由振

27、动。sincos )(00www+=tvtyty第76页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三或者直接由Duhamel积分作另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。第77页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu当0t u第78页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三ysty(t)t023T1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段2）当u T/2 最大动位移发生在阶段1/611/22动力系数反应谱(与T和u之间的关系曲线)第79页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三3）线

28、性渐增荷载 P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解: 对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：第80页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三01.02.03.04.0trP0动力系数反应谱动力系数介于1与2之间。如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。第81页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-5 单自由度体系的强迫振动1. 简谐荷载 (harmonic loading)10-5-1 无阻尼

29、强迫系统 (forced vibration without damping)第82页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三特解齐次通解第83页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三稳态强迫振动 (steady-state harmonic vibration)伴生自由振动纯强迫振动由于阻尼的存在，振动会迅速衰减第84页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三动力系数动力荷载幅值作为静力作用于体系时引起的静位移频率比Dynamic magnification factor第85页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三

30、共振区00.511.522.53012345共振前区隔震刚性方案按静力计算共振后区共振resonant柔性方案第86页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三动力荷载不作用在质点上第87页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例10-9BAEImBAEImC第88页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例10-9BAEImC第89页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例10-8lBAEI简支梁长l=2m, 截面惯性矩I4570cm4，抗弯截面系数W381cm3，弹性模量E2.1105MP，跨中一台电动机，重量G=3

31、5kN，转速n580r/min，偏心力Fp=10kN，忽略梁的重量和阻尼，验算振动时梁的强度和变形。自振频率简谐荷载频率第90页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三动力系数跨中最大挠度第91页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三柔度第92页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三2. 一般动力荷载杜哈梅积分tFptFp第93页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三（1）突加荷载最大位移首次发生在动力系数tFp(t)第94页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三（2）突加短时荷载第1阶段 0tt

32、1t1Fp(t)tt1Fp(t)tt1Fp(t)t最大位移与荷载作用时间t1有关当t1 T/2时，最大动位移发生在第一阶段，动力系数为当t1 T/2时，最大动位移发生在第二阶段动力系数为第95页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三（3）三角形冲击荷载积分结果：t1Fp(t)tt1Fp(t)tt1/T0.1751.002.002.000.390.60.731.001.051.21.421.691.761.762.00三角形冲击荷载动力系数第96页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三00.81

33、1.8200.511.522.4响应比第97页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-5-2 有阻尼强迫振动第98页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三简谐荷载作用下运动方程动力系数频率比第99页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三动力系数阻尼对简谐荷载下的动力系数影响较大，特别是在共振区附近最为显著(1)当时共振，动力系数动力系数的最大值并不恰好发生在而发生在其附近由于实际阻尼很小第100页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三相位角01230901800.050.21.00.70频率比

34、相位角00.511.522.53012345频率比动力系数(2)当时，y(t)与Fp(t)同向拟静力(3)当时，隔振y(t)与Fp(t)反向第101页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-6(增) 两个自由度体系的自由振动一、刚度法 （1）两个自由度体系m1m2y1(t)y2(t)m1m2r2r1r2r1y1(t)y2(t)11第102页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三两自由度体系自由振动微分方程设解为=常数第103页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令特征方程频率方

35、程1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。第104页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三（1）主振型（2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；m1m2Y21Y11Y12Y22最小圆频率称为第一(基本)圆频率：第二圆频率第105页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k211

36、（3）一般振动两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体系自由振动的振型分解第106页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三解：（1）求频率方程中的刚度系数k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（2）求频率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有第107页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型第108页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三（3）求主振型（2）求频率若有若 n=90则第一振型和第二振型分别为：可见当顶端质

37、点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。第109页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三层间侧移刚度mEIlEIl1 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度.EIllEIEIEI第110页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三二、 柔度法m1m2y1(t)y2(t)设解为在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位

38、移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。第111页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三此时惯性力幅值主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。m1m2Y1Y2 当然解 Y1=Y2=0，为了求得不全为零的解，令令第112页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三主振型第113页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三0.5a例. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）计算频率1a1第114页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三（2）振型10.27

39、713.61第一振型第二振型三、主振型的正交性 m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22第115页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三整理得：因 ，则存在：两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。第116页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三上式分别乘以12、22，则得：第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。第117页，共174页，2022年，

40、5月20日，11点47分，星期三7-1（a)试求图示体系的自振频率与周期。解l/2mEIl/2ll/2l/4第118页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三7-1（b)试求图示体系的自振频率与周期。解:求柔度系数：用位移法或力矩分配法求单位力作用引起的弯矩图（图a);将其与图b图乘，得第119页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三7-1（c)试求图示体系的自振频率与周期。解由右面竖杆的平衡可求出铰处约束力。由水平杆的平衡：第120页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三7-1（d)试求图示体系的自振频率与周期。解mEIlEIlm第1

41、21页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三7-1（e)试求图示体系的自振频率与周期。解mEIl/2kkl/2第122页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三7-3 试求图示体系质点的位移幅值和最大弯矩值。 已知解：mEI=常数2l2ll位移幅值第123页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三解：7-4 图示梁跨中有重量为20kN的电动机，荷载幅值P=2kN，机器转速400r/min， ,梁长l=6m。试求梁中点处的最大动位移和最大动弯矩。mEI=常数l/2l/2(b)阻尼比第124页，共174页，2022年，5月20日，11点47分

42、，星期三解：7-5 习题7-4结构的质量上受到突加荷载P=30kN作用，若开始时体系静止，试求梁中最大动位移。不计阻尼时，动力系数为2，利用上题数据，可得7-6 某结构在自振10个周期后，振幅降为原来初始位移的10%（初位移为零），试求其阻尼比。解：第125页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三试求图示梁的自振频率和振型。m2mEIaaa解令aa/2第126页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三8-2.试求图示刚架的自振频率和振型解:令第127页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三8-3.试求图示梁的自振频率和振型。按反对称振型

43、振动按对称振型振动=15l/323l/16=1l/2=1l/4第128页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三8-4.试求图示刚架的自振频率和振型。按反对称振型振动按对称振型振动=1l/2=1l/8l/8l/8=13l/165l/32l/2=1第129页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三8-2.试求图示刚架的自振频率和振型。m2m第130页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三8-6.试求图示刚架的自振频率和振型。设楼面质量分别为m1=120t和m2=100t,柱的质量已集中于楼面，柱的线刚度分别为i1=20MN.m和i2=14M

44、N.m,横梁刚度为无限大。m1m24m4m第131页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-6 多自由度体系的自由振动BAm1m2BABA假设解10-6-1 柔度法第132页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三频率方程（特征方程）第133页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三第一频率（基本频率）fundamental frequency第一振型Fundamental mode shape第二频率第二振型第134页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例10-11l/2CBEIl/2l/22mmEIA1l/4

45、1l/2第135页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例10-11(续)第136页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三第一振型10.30511.639第二振型第137页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三主振型的正交性验证第138页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三10-6-2 刚度法BAm1m2第139页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三第140页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三矩阵表示质量矩阵柔度矩阵刚度矩阵位移矩阵速度矩阵加速度矩阵无阻尼自由振动微分方程或第141页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三矩阵解答或第142页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例10-15第143页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例10-15 （续）第144页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三例10-15 （续）第145页，共174页，2022年，5月20日，11点47分，星期三一般多自由度体系运动方程柔度法第146页，共174页，2022年，