复数知识点精心总结文档

1、复数集C全体复数的会集，一般用字母两个复数相等的定义：复数知识点考试内容：复数的看法复数的加法和减法复数的乘法和除法数系的扩大考试要求：1）认识复数的相关看法及复数的代数表示和几何意义2）掌握复数代数形式的运算法规，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算3）认识从自然数系到复数系的关系及扩大的基本思想1.复数的单位为i，它的平方等于1，即i21.复数及其相关看法：复数形如a+bi的数（其中a，bR）；实数当b=0时的复数a+bi，即a；虚数当b0时的复数a+bi；纯虚数当a=0且b0时的复数a+bi，即bi.复数a+i的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意，b都是实数）baab

2、icdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.两个复数，若是不所有是实数，就不能够比较大小.注：若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（）z1,z2为复数，而不是实数2若z1z2，则z1z20.（）若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立）复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.曲线方程的复数形式：zz0r表示以z0为

3、圆心，r为半径的圆的方程.zz1zz2表示线段z1z2的垂直均分线的方程.zz1zz22a（a0且2az1z2）表示以Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.zz1zz22a（02az1z2），表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.绝对值不等式：设z，z2是不等于零的复数，则1z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（，且0），右边取等号的条件是Rz2z1（，0）R.z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（，0）z1（R，0）.R，右边取等号的条件是z2注：A1A2A2A

4、3A3A4An1AnA1An.共轭复数的性质：zzz1z2z1z2zz2a，zz2bi（za+bi）zz|z|2|z|2z1z2z1z2z1z2z1z2z1z1（z20）zn(z)nz2z2注：两个共轭复数之差是纯虚数.（）之差可能为零，此时两个复数是相等的4复数的乘方：znzzz.z(nN)n对任何z，z1,z2C及m,nN有zmznzmn,(zm)nzmn,(zz)nznzn1212注：以上结论不能够拓展到分数指数幂的形式，否则会获取荒诞的结果，如i21,i41若由11i2(i4)2121就会获取11的错误结论.在实数集成立的|x|x2.当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不能够采

5、用两边平方法.常用的结论：i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1inin1in2in30,(nZ)(1i)22i,1ii,1ii1i1i若是1的立方虚数根，即13i，31,2,1,120,nn1n20(nZ)22则.复数z是实数及纯虚数的充要条件：zRzz.若z0，z是纯虚数zz0.模相等且方向相同的向量，不论它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z|z|.6.复数的三角形式：zr(cosisin).辐角主值：适合于02的值，记作argz.注：z为零时，argz可取0,2)内任意值.辐角是多值的，都相差2的整数倍.设

6、aR,则arga0,arg(a),argai,arg(ai)3.22复数的代数形式与三角形式的互化：abir(cosisin)，ra2b2，cosab,sin.rr几类三角式的标准形式：r(cosisin)rcos()isin()r(cosisin)rcos()isin()r(cosisin)rcos()isin()r(sinicos)rcos()isin()22复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题：当a,b,cR时，若0，则有二不等实数根x1,2b；若=0，则有二相等实数根2axb；若0，则有二相等复数根x1,2b|i（x1,2为共轭复数）.1,22a2a当a,b,c不全为实数时，不能够用方程根的情况.不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：r1(cos1isin2)r2(cos2