立体几何中的轨迹问题

1、立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规那么运动，构成各式各样的轨迹， 探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于根本轨迹转化.对于较为 复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加 以分析判定，也可转化为平面问题.对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性 与完备性.立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问 题.其一般方法有：1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算 它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定 函数解析式，利用函数的单调性、有界性，

2、以及不等式的均 值定理等，求出最值.轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面ASCD内及其边界上运动，并且总是保持 PEAC.那么动点P的轨迹与SCD组成的相关图形最有可A 能的是 （）C.C.解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD.设AC与BD 的交点为0,连结SO,那么动点P的轨迹是SCD的中位线FG.由正四棱锥可得SBXAC，EFXAC .又.EGSBZ.EGXAC.AC平面 EFG，.PeFG，Ee平面EFG，.ACPE.另解:此题可用排除法快速求解.B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PE AC；nC中P点所在的轨迹与C

3、D平行，它与CF成云角，显然不满足PEAC； D于中P点所 在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角为锐角，显然也不满足PEAC.评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点表达了在解析几 何与立体几何的知识交汇处设计图形.不但考察了立体几何点线面之间的位置关系， 而且又能巧妙地考察求轨迹的根本方法，是表现最为活泼的一种创新题型.这类立 体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直问题，很在程度上是找与定直线垂直的 平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹.【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCDABCD中，E、F、G、H分别是CC、CD、 DD、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形1EFGH及

4、其内部运动，那么M满足 时：有MN平面BBDD.正方体ABCD1ABCD中，P在侧面BCCB及其边界上运动，且总保持APXBD，那么动点P的轨迹是1 1线段BC .1 1正方体ABCDABCD一中，分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF，P 为EF的中点，那么点P的轨迹是 线段MN(M、N分别为前右两面的中心).1正方体ABCD ABCD的棱长为1，在正方体的侧面BCCB上到点A距离为11111 1假设将“在正方体的侧面BCCE上到点A距离为写的点的集合改为，在正方体外表上与点A距离为善3的点的集合那么这条曲线的形状又是，它的长3度又是【例3假设将“在正方体的侧面BCCE上到点A距离为写的点

5、的集合改为，在正方体外表上与点A距离为善3的点的集合那么这条曲线的形状又是，它的长3度又是【例3】(1)(04北京)在正方体ABCD-ABCD中，P是侧面BBCC 11111 1内一动点，假设P到直线BC与直线C1D1的距离相等，那么动点？ 的轨迹所在的曲线是(D )a A直线B.圆C-双曲线D.抛物线变式：假设将“P到直线BC与直线CD的距离相等改为“P 到直线BC与直线C1D1的距离之比为1： 2(1或12： 1)，那么动点P 的轨迹所在的曲线是:椭圆_ (双曲线).(06北京)平面a的斜线AB交a于点B，过定点A的动直 线l与AB垂直，且交a于点C，那么动点C的轨迹是(A )A. 一条直

6、线 B. 一个圆 C. 一个椭圆。.双曲线的一支 解：设l与祯是其中的两条任意的直线，那么这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内， 故动点C都在这个平面与平面a的交线上，应选A.正方体ABCDABCD的棱长为1，M在棱AB上，且AM=j，11113点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，那么点P的轨迹为抛物线.（4）正方体ABCD A B C D的棱长为3,长为2的线段MNP的轨迹为抛物线.（4）正方体ABCD A B C D的棱长为3,长为2的线段MN点一个 端点M在DD1上运动，另

7、一个端点N在底面ABCD 上运动，那么MN n 的中点P的轨迹与正万体的面所围成的几何体的体积为 百.6 -【例4】（04重庆）假设三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到 底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，那么动点P的轨迹与AABC 组成图形可能是：（D ）aDA3M2一CB一CB3A【例5】四棱锥P-ABCD, AD面PAB, BC面PAB,底面ABCD为梯形，AD=4,BC=8, AB=6，ZAPD=ZCPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）圆B.圆B.不完整的圆C.分析：.ADL面PAB，BC平面PAB .ADBC 且 ADLPA，CBPB VZAPD=ZCPBtanAPD

8、=tanCPB AD CBPA=PB抛物线D.抛物线的一局部PB=2PA在平面APB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 那么 A（-3，0）、B（3，0），设 P（x，y）（y#Q），那么（x-3）2+y2=4（x+3）2+y2】（yN0）即（x+5） 2+y2=16（y#0）.P的轨迹是（B）立体几何中的轨迹问题教师版1.在正方体ABCD-A BCD的侧面AB内有一点P到直线AB与到直线B C的距离相等，1111111那么动点P所在曲线的形状为D.线段 B. 一段椭圆弧双曲线的一局部D.抛物线的一局部简析 此题主要考察点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义.因

9、为B1C1面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹 为抛物线的一段，从而选D.2.在正方体ABCD-A BCD的侧面AB内有一点P到直线AB的距离与到直线B C的距1111111第3页离之比为2： 1,那么动点P所在曲线的形状为B.A.线段 B. 一段椭圆弧双曲线的一局部D.抛物线的一局部在正方体ABCD-A BCD的侧面AB内有一点P到直线AB的距离与到直线B C的距111111 1离之比为1： 2,那么动点P所在曲线的形状为C.A.线段 B. 一段椭圆弧双曲线的一局部D.抛物线的一局部在正方体ABCD-A BCD中，E为AA的中点，点P在其对角面BB

10、D D内运动，假设1111111EP总与直线AC成等角，那么点P的轨迹有可能是A.A.圆或圆的一局部B.抛物线或其一局部双曲线或其一局部 D.椭圆或其一局部简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BBDD所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一局部. 1 1正方体ABCD - ABCD的棱长为a，定点M在棱AB上但不在端点A，B上，点1111P是平面ABCD内的动点，且点P到直线rD1的距离与点P到点M的距离的平方差为 a2，那么点P的轨迹所在曲线为A.A.抛物线 B-双曲线 C.直线 D.圆简析在正方体ABCD - ABCD中，过P作PF

11、 AD，过F作FE1AD，垂足分11111 1别为 F、E，连结 PE.那么 PE2=a2+PF2，又 PE2-PM2=a2，所以 PM2=PF2，从而 PM=PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线.在正方体ABCD - ABCD中，点P在侧面BCC B及其边界上运动，总有AP1BD，11111 11那么动点P的轨迹为.简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD 1面ACB1，所以满足Bq 1AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而第4页条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在

12、平面ACB1 与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C.此题的解题根本思路是：利用升维， 化“动为“静，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹.在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面 SCD内及其边界上运动，总 有PE1 AC，那么动点P的轨迹为.答案线段MNM、N分别为SC、CD的中点假设A、B为平面a的两个定点，点P在a夕卜，PB顼，动点C不同于A、B在以 内，且PC 1 AC，那么动点C在平面内的轨迹是.除去两点的圆假设三棱锥ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相 等，那么动点P的轨迹与 ABC组成的图形可能是：D简析 动点

13、P在侧面ABC内，假设点P到AB的距离等于到棱BC的距离，那 么点P在ZABC的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P 到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的 距离，故动点P只能在ZABC的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D.P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等， 那么动点P的轨迹所在的曲线是B.A.圆B.椭圆 口双曲线 D.抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内， 利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等.正方体ABCD - A B C

14、D的棱长为1，在正方体的侧面BCC B上到点A距离为矣3的iiii1 13点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度为.简析以B为圆心，半径为买且圆心角为土的圆弧，长度为土. TOC o 1-5 h z 326长方体 ABCD - ABC D 中，AB = 6, BC = 3，在线段 BD、A C 上各有一点 P、Q，PQ 11111 1上有一点M，且PM = 2MQ，那么M点轨迹图形的面积是.提示轨迹的图形是一个平行四边形.棱长为3的正方体ABCD - ABC D中，长为2的线段MN的一个端点在DD上运动， 11111另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面

15、所围成的几何体的体积.简析 由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动为“静，结合动 点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球 心，1为半径的球面在正方体内的局部，所以点P的轨迹与正方体的外表所围成的几 何体的体积为球的体积的L即1 X 4 KX 13上.88 3614.平面a /平面p，直线1 ua，点P e l，平面a、P间的距离为4,那么在p内到点P 的距离为5且到直线1的距离为9的点的轨迹是2A. 一个圆B.两条平行直线C.四个点D.两个点简析：如图，设点P在平面p内的射影是0,那么OP是a、p的 公垂线，0P=4.在p内到点P的距离等于5的

16、点到0的距离等于3， 可知所求点的轨迹是p内在以0为圆心，3为半径的圆上.又在p内到直线1的距离等 于9的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点0的距离都等于9)2-42 =叵 3，222所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点.因此所求点的轨迹是四个点，应选C.在四棱锥P-ABCD中，AD面 PAB，BC面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4, BC=8,AB=6,ZAPD = ZCPB， 满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是AB=6,A.圆 B.不完整的圆 C.抛物线 D.抛物线的一局部简析：因为ad面 PAB, bc面 PAB，所以 AD/BC，且/dap = zcbp = 90

17、。-又 ZAPD = ZCPB, AD = 4,BC = 8，可得tanZAPD = AD = CB = tanZCPB，即得竺=竺=2 PA PBPA AD在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么A-3, 0、B3, 0.设点Px，y，那么有甄=检3)2+y2 = 2，整|PA| t(x + 3)2 + y2理得 X2 + y2 + 10 x + 9 = 0由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B.如图，定点A和B都在平面a内，定点 P Wa,PB 项,C是a内 异于A和B的动点.且pc AC，那么动点C在平面a内的轨迹是 一条线段，

18、但要去掉两个点一个圆，但要去掉两个点一个椭圆，但要去掉两个点半圆，但要去掉两个点简析：因为AC PC，且PC在a内的射影为BC，所以AC BC，即ZACB = 90。.所以 点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，应选B.如图，在正方体ABCD A B C D 中，P是侧面 BC 内一动点， /,假设P到直线BC与直线CD的距离相等，那么动点P的轨迹所DIJ在的曲线是A.直线 B.圆 口双曲线D.抛物线简析：因为P到C1D1的距离即为P到C1的距离，所以在面BC1内，P到定点C1的距 离与P到定直线BC的距离相等.由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，应选D.19.正方体ABCD- A

19、1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AC内的动点，假设点P到直线A1D1 的距离等于点P到直线CD的距离，那么动点P的轨迹所在的曲线是A.抛物线B-双曲线C.椭圆 D.直线简析：如图4，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系.设Px，y），作pe 1 ad于 E、pf 1A1D1 于 F，连结 EF，易知ipf|2=ipe|2 + ief|2= x2+1又作 PN 1 CD 于 N，那么 I pn |=| y -11 .依题意 |PFI=IPNI，艮叭* =|y - 1|，化简得 x2 y2 + 2y = 0故动点P的轨迹为双曲线，选B.如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，假

20、设点P在平面a内运动，使得 ABP的面积为定值，那么动点P的轨迹是）A）圆B）椭圆C） 一条直线（第 ICS）D）两条平行直线 分析：由于线段AB是定长线段，而 ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB的距 离也是定值.由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上.又P在平面内运动，所 以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱（AB是平面的斜线段），得到的切痕是椭 圆.P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线.如图，动点P在正方体ABCD - ABCD的对角线BD上.过点P作垂直于平面BBDD 1111111的直线，与正方体外表相交于M，N .设BP = x，MN = y，那么函数y = f （x）的图象

21、大 致是）分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x 一次函数.异面直线a, b成60。角，公垂线段MN的长等于2,线段AB两个端点A、B分别 在a, b上移动，且线段AB长等于4,求线段AB中点的轨迹方程.图5简析：如图5,易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面a上，直线a、b为 平面a内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，AA a于A，BBb于B，那么 ABcAB=P，且P也为AB的中点.由 MN=2, AB=4，易知 AA=1,AP = 2,得 AB = 25那么问题转化为求长等于2初的线段AB的两个端点A、B分别在a、b上移动时 其中点P的轨迹.现以ZAOB的角平分线为X轴

22、，O为原点建立如图6所示的平面直 角坐标系.图6设P（x,y）， IOAI= m,IOBl= n，那么 A（?m，2m）,B（W3n,- jn）消去m、n,得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为号+ y2=i.点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在 一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力.立体几何中的轨迹问题在正方体ABCD-A BCD的侧面AB内有一点P到直线AB与到直线B C的距离相等， 111111 1那么动点P所在曲线的形状为A.线段B. 一段椭圆弧C-双曲线的一局部 D.抛物线的一局部在正方体ABCD-A BCD的侧面AB内有一点

23、P到直线AB的距离与到直线B C的距111111 1离之比为2： 1,那么动点P所在曲线的形状为A.线段 B. 一段椭圆弧C-双曲线的一局部 D.抛物线的一局部在正方体ABCD-A BCD的侧面AB内有一点P到直线AB的距离与到直线B C的距1111111离之比为1： 2,那么动点P所在曲线的形状为A.线段 B. 一段椭圆弧C-双曲线的一局部D.抛物线的一局部在正方体ABCD-A BCD中，E为AA的中点，点P在其对角面BB D D内运动，假设1111111EP总与直线AC成等角，那么点P的轨迹有可能是A.圆或圆的一局部B.抛物线或其一局部双曲线或其一局部D.椭圆或其一局部正方体ABCD AB

24、CD的棱长为a，定点M在棱AB上但不在端点A，B上，点1111P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为 a2，那么点P的轨迹所在曲线为A.抛物线 B-双曲线C.直线D.圆假设三棱锥ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，那么动点P的轨迹与a ABC组成的图形可能是DP是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等， 那么动点P的轨迹所在的曲线是A.圆B.椭圆口双曲线D.抛物线平面a/平面P，直线l ua，点P或，平面a、P间的距离为4,那么在p内到点P 的距离为5且到直线l的距离为9的点的轨迹是2A. 一个圆B.两条平行直线C.四个点 D.两个点在四棱锥P- ABCD 中，ad面 PAB，BC面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4, BC=8, AB=6, Zapd = zcpb，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是A.圆B.不完整的圆 C.抛物线 D.抛物线的一局部如图，定点A和B都在平面a内，定点 P wa,PB 项,C是a内 异于A和B的动点.且PC AC，那么动点C在平面a内的轨迹 是 一条线段，但要去掉两个点一个圆，但要去掉两个点一个椭圆，但要去掉两个点半圆，但要