与圆有关的动点问题

1、与圆有关的动点问题23华诚教育项老师4华诚教育项老师2）设 PH=x ， PC=y，求 y 关于 x 的函数关系式；3）当 PH 与 O 相切时，求相应的 y 值5、如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 是 BC 的中点， P 是线段 MC 上的一个动点 （不与 M 、 C 重合），以 AB 为直径作 O，过点 P 作 O 的切线，交 AD 于点 F，切点为 E（ 1）求证： OF BE；（ 2）设 BP=x， AF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（ 3）延长 DC、 FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线 DC 与 H （图 2），问是否存在

2、点P，使EFO EHG （E、F、O 与 E、 H 、G 为对应点）？如果存在，试求（ 2）中 x 和 y 的值；如果不存在，请说明理由5华诚教育项老师6、如图， O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交 O 于 C、D 两点，直径 AB CD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、 O、D 的一个动点， AM 所在的直线交于 O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM=PN 1）当点 M 在 O 内部，如图一，试判断 PN 与 O 的关系，并写出证明过程；2）当点 M 在 O 外部，如图二，其它条件不变时，（ 1）的结论是否还成立？请说明理由；3）当点 M 在 O 外部，如图

3、三， AMO=15 ，求图中阴影部分的面积答案：1、解：（ 1）连接 AC，如图所示：AB=4，OA=OB=OC=AB=21。2又 AC=2， AC=OA=OC。 ACO为等边三角形。6华诚教育项老师 AOC=ACO=OAC=60， APC=1 AOC=30。2又 DC与圆 O相切于点 C， OCDC。 DCO=90。 ACD=DCO ACO=9060=30。2）连接 PB，OP，AB为直径， AOC=60， COB=120。当点 P 移动到弧 CB的中点时，COP=POB=60。 COP和 BOP都为等边三角形。AC=CP=OA=OP。四边形 AOPC为菱形。3）当点 P与 B 重合时， A

4、BC与 APC重合，显然 ABC APC。当点 P 继续运动到 CP经过圆心时， ABC CPA，理由为：CP与 AB都为圆 O的直径， CAP=ACB=90。在 RtABC与 RtCPA中， AB=CP，AC=ACRtABCRtCPA（ HL）。7华诚教育项老师综上所述，当点P与 B 重合时和点 P 运动到CP经过圆心时， ABC CPA。2、解：（1）证明：连接 DE，过点 D 作 DN BC，垂足为点N。四边形 ABCD是菱形，BD平分ABC。 D 与边 AB 相切于点 E， DEAB。DN=DE 。 D 与边 BC 也相切。2）四边形 ABCD 是菱形，AB2 3，ADAB2 3。又

5、A60o， DE ADsin6003，即D 的半径是 3。又 HDF 1 HADC 60o，DH DF，2 HDF 是等边三角形。过点 H 作 HG DF，垂足为点 G，则 HG033。3sin60 2SHDF1339，60323。2343 S扇形 HDF36022 S阴影S扇形 HDFS HDF39 369 3 。244（3）假设点 M 运动到点 M 1 时，满足 S HDF 3MDF ，过点 M 1作 M 1DF，垂足为点，SPP则913 M1P，解得 M P=34 33 22 。8华诚教育项老师M 1 P= 1 DM 1 。 M 1DF30o。 2此时动点 M 经过的弧长为： 30180

6、32 。过点 M1作 M1M2DF 交D 于点 M2，则满足 S HDF =3S M1DF3S M2DF ，此时M2，动点M经过的弧长DF150o为：15035。18023解：（1）半径为 2cm的与 O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，当点 A 在 O 上时，过点 B 作的一条切线 BE ，E 为切点，OB=4 ，EO=2 ， OEB=90 ， EBA 的度数是： 30；如图 2，直线 l 与 O 相切于点 F， OFD=90 ，正方形 ADCB 中， ADC=90 ，OFAD ， OF=AD=2 ，四边形 OFDA 为平行四边形， OFD=90 ，平行四边形 O

7、FDA 为矩形，DA AO ，9华诚教育项老师正方形 ABCD 中， DA AB ，O，A ，B 三点在同一条直线上；EAOB ， OEB= AOE ， EOA BOE ，OA OE，OE OBOE2=OA?OB ，OA （2+OA ）=4，解得： OA=-1 5 ，OA 0， OA= 5 -1；方法二：在 Rt OAE 中， cos EOA= OA OA ，OE2在 Rt EOB 中， cos EOB= OE2，OBOA2 OA2，2OA2解得： OA=-1 5 ，OA 0， OA= 5 -1；方法三：OEEB ，EA OB ，由射影定理，得OE 2=OA?OB ，OA （2+OA ）=4，

8、10华诚教育项老师解得： OA=-1 5 ，OA 0， OA= 5 -1；2）如图 3，设 MON=n ， S 扇形 MON = 360n 22= 90 n（cm 2），S 随 n 的增大而增大， MON 取最大值时， S 扇形 MON 最大，当 MON 取最小值时， S 扇形 MON 最小，如图，过 O 点作 OKMN 于 K， MON=2 NOK ，MN=2NK ，在 Rt ONK 中， sin NOK= NKNK ，ON2 NOK 随 NK 的增大而增大， MON 随 MN 的增大而增大，当 MN 最大时 MON 最大，当 MN 最小时 MON 最小，当 N，M，A 分别与 D，B ，O

9、 重合时， MN 最大，MN=BD ，MON= BOD=90 ，S 扇形 MON 最大 =（cm 2），当 MN=DC=2 时， MN 最小，ON=MN=OM ，11华诚教育项老师 NOM=60 ，S 扇形 MON 最小=32 （cm 2），2S MON 扇形4、（ 1）连接 AO、 DO设 O 的半径为 r在 RtABC 中，由勾股定理得AC=4，则 O 的半径 r= （AC+BC AB）= （4+35）=1；CE、CF 是 O 的切线， ACB=90， CFO= FCE= CEO=90 ， CF=CE ，四边形 CEOF 是正方形，CF=OF=1 ；又 AD、AF 是 O 的切线，AF=A

10、D ；AF=AC CF=AC OF=41=3，即 AD=3；2）在 RtABC 中， AB=5，AC=4 ，BC=3， C=90， PH AB，12华诚教育项老师 C=PHA=90 ， A=A， AHP ACB，= =，即 =， y= x+4，即 y 与 x 的函数关系式是 y= x+4；（3）如图， PH 与 O 相切 OMH =MH D=HDO=90， OM=OD ，四边形 OMH D 是正方形，MH =OM=1 ；由（ 1）知，四边形 CFOE 是正方形， CF=OF=1 ，PH =PM+MH =PF+FC=P C，即 x=y；又由（ 2）知， y= x+4，y= y+4，解得， y=

11、5、（ 1）证明：连接 OEFE、FA 是 O 的两条切线 FAO=FEO=90 13华诚教育项老师在 RtOAF 和 RtOEF 中，RtFAORtFEO （HL ）， AOF= EOF= AOE ， AOF= ABE，OFBE，2）解：过 F 作 FQBC于 QPQ=BPBQ=x yPF=EF+EP=FA+BP=x+y在 Rt PFQ 中FQ2+QP2=PF222+（xy）2=（x+y） 2化简得： ，（ 1x2）；3）存在这样的 P 点，理由： EOF= AOF ， EHG= EOA=2 EOF ，当 EFO= EHG=2 EOF 时，即 EOF=30 时， Rt EFO Rt EHG ，此时 Rt AFO 中，y=AF=OA ?tan30=，14华诚教育项老师当时， EFO EHG 6、（ 1）PN 与 O 相切证明：连接 ON，则 ONA= OAN ，PM=PN ， PNM= PMN AMO= PMN ， PNM= AMO PNO= PNM+ ONA= AMO+ ONA=90 即 PN 与O 相切2）成立证明：连接 ON，则 ONA= OAN ，PM=PN ， PNM= PMN 在 RtAOM 中， OMA+ OAM=90 ， PNM+ ONA=90