概率论及数理统计考试题及答案

1、-一、填空题(每题 3 分,共 30 分) , B, C中至少有一个不发生这一事件可以表示为.2、设P()0.7,P(AB)0.3 ,则P(A B)_.3、袋中有 6 个白球,5 个红球,从中任取 3 个,恰好抽到 2 个红球的概率.a4、设随机变量X 的分布律为 (P X k ), ( 1,2, ,8),k 则a _.85、设随机变量 在X 内服从均匀分布,则P(2X .6、设随机变量 的分布律为X则Y X2的分布律是.7、设随机变量X 服从参数为的泊松分布,且E(X X 2), 则 .8、设X ,X , ,X 是来自正态总体N( 的样本,X 是样本均植,则X 服从的129分布是. X b

2、p ,X ,X , ,X 是来自总体X 的样本,则参数 p 的矩估计量12n为.1110、设估计,则X ,X ,X 是来自总体X 的样本, X X X 是 ( ) 的无偏E X23123123 .二、(此题 12 分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的 60 件产品中有 12件是次品,乙企业生产的 50 件产品中有 10 件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1 件进展检验.求:(1)求取出的产品为次品的概率;(2)假设取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.三、(此题 12 分)设随机变量X 的概率密度为kx, 0 x3x(1)确定常数k; (2)求X 的分

3、布函数F(x);f(x)2 , 3 x420,7(3)求.P1 X 2.z.-四、(此题 12 分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为试求:(1) 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立为什么a五、(此题 12 分) 设随机变量X 的概率密度为, 0 x1, x 求E X ,D X . f x 2x,1 x2,0, .六、(此题 12 分)设离散型随机变量X 的分布律为 e x P(X x), x0,1,2, ,0 x!其中 为未知参数,为一组样本观察值,求 的极大似然估计值., , ,x x1x2n 10 分)*种零件的尺寸方差为数据(毫米):1.21,对一批这

4、类零件检查 6 件得尺寸 232.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是 32.50 毫米( 0.05)(附: 5 2.5706,t 6 2.4469,t 7 2.3646,z 1.65,zt1.96, 6 2.450.0250.0250.0250.050.025一、填空题(每题 3 分,共 30 分)4C C2161、或A B C2、0.63、或 或 0.36365C31111Xp0 1 41 3 15 5 5X214、17、15、 6、3k8、N(9、110、6二、(此题 12 分)甲乙两家企业生产同

5、一种产品.甲企业生产的 60 件产品中有 12件是次品,乙企业生产的 50 件产品中有 10 件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1 件进展检验.求:(1)求取出的产品为次品的概率;(2)假设取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.解 设A ,A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产 , 表示取出的零件为B12次品,则由有.z.-60 6 ,P(A )110 1150 512 1 ,P(B| A ) .2 分60 5 50 510 1P(A) ,P(B| A)110 111212(1)由全概率公式得6 1 5 1 1P(B) P(A)P(B| A)P(A )P(

6、B| A ) .7 分11 5 11 5 51122(2)由贝叶斯公式得5 1P(A )P(B A )511 51.12 分P(A B)22P(B)1125三、(此题 12 分)设随机变量 的概率密度为X72(1)确定常数 ; (2)求 的分布函数; (3)求.P1 X kXF(x)解 (1)由概率密度的性质知1故k . .3 分6(2)当x0时, ( )( )0;F x f t x11当0 x3时,当3 x4时,;F(x)F(x)ft)dt ft) tdtx2xx61120t 1 ;3x2 x 2x3x2624301t 2当时,1;x4F x( )f t ( ) 34x6230故X 的分布函

7、数为0,x01x2,0 x312.9 分F(x)1 x 2x3 ,3 x42 41,x477 2 1 (3).12分P1 X FF 2 四、(此题 12 分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为试求:(1) 的值; (2)X 和Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立为什么a解 (1)由分布律的性质知故a 0.3 .4分(2)(X,Y)分别关于X 和Y 的边缘分布律为X 012.6分p 0.4 0.3 0.3.z.-Y 12.8分p 0.4 0.6 (3)由于P X 0,Y 1 0.1,P X 0 P Y 1 ,故所以 与 不相互独立. .12分XY五、(此题 12 分) 设随机变量X

8、的概率密度为 求E X ,D X .1x32 1解.6 分E(X)(x)dx x x xx)dx x x 122323301017 .9 分(X ) x f(x)dx 1x x2x (2x)dx E22326011D(X) E(X )E(X) .12 分226六、(此题 12 分)设离散型随机变量X 的分布律为 e x P(X x), x0,1,2, ,0 x!其中 为未知参数,为一组样本观察值,求 的极大似然估计值., , ,x x1x2n解 似然函数1 e nxn.4 分nxiLie nx !i1x!ii1i1i对数似然函数1 nn.6 分L x x !iii1i1nxdlnLi.8 分n

9、i1dlnL1解似然方程n.10 分0得 x xidni1所以 的极大似然估计值为 x. .12分 10 分)*种零件的尺寸方差为 2数据(毫米):1.21,对一批这类零件检查 6 件得尺寸32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是 32.50 毫米( 0.05) (附:t5 2.5706,t6 2.4469,t7 z z ) 0.0250.0250.0250.050.025解 总体, ,总体方差,检验总体期望值 是否等于 32.50.X N2(1) 提出待检假设 32.50; : 32.50. .1分H : H 0010X (2) 选取统计量,在H 成立的条件下Z N.2 分Z 0