柯西积分公式例题详解

1、3.2 柯西积分定理一、柯西基本定理二、闭路变形原理三、复合闭路定理四、路径无关性五、原函数1证明Green公式C - R方程D一、柯西基本定理定理设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。 则有GG P60定理 3.2 2定理设单连域 D 的边界为 C，函数 f (z)在 D 内解析，则有CD在 上连续，D一、柯西基本定理定理设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，G 为 D 内的任意一条简单闭曲线，则有GG P60注 3二、闭路变形原理 将柯西积分定理推广到二连域定理设二连域 D

2、的边界为 (如图)，函数 在 D 内解析，在 C 上连续，或Dab证明如图，作线段 a b，则二连域 D 变为单连域，由或则从而有 P61定理 3.4 4D 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。二、闭路变形原理 闭路变形原理如图，设 在 D 内解析，在边界 上连续，G 为 D 内的一条“闭曲线”，则P62 5DrCG解如图以 为圆心 r 为半径作圆，则函数 在因此有当 时，当 时。上解析，重要 其中，的一条闭曲线。计算例为包含为整数。6三、复合闭路定理 将柯西积分定理推广到多连域函数 在 D 内解析，或设多连域 D 的边界为 (如

3、图)，定理DC1C2C0C3Cn在 C 上连续，则证明(略) P62推论 7令解则奇点为(1) 当 C 为 时，C(1)(2) 其中 C 为：例计算C3210P62 例3.7 修改 8令解C1C2则奇点为(2) 当 C 为 时，令 C1： C2：则C(1)(2) 其中 C 为：例计算C32109的简单曲线，四、路径无关性定理设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，C1, C2 为 D 内的任意两条从 到证明由 可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有 P60定理 3.3 可记为因此，10计算例其中 C 为如图所示的一个半圆。xyCi2G解设 G 如图所示，处处解析，问是否可以

4、直接计算？因此有即由于 在复平面上P61 例3.6 11五、原函数设在单连域 D 内，函数 恒满足条件定义则 称为 在 D 内的一个原函数。1. 基本概念及性质函数 的任何两个原函数相差一个常数。性质设 和 是 的两个原函数，则证明其中，c 为任意常数。函数 的原函数 称为 的不定积分，定义记作 P64定义 3.2 补 12D五、原函数2. 由变上限积分构成的原函数定理若 在单连域 D 内处处解析，则 在 D 内解析，且 令 P63定理 3.5 证明(略)133. Newton-Leibniz公式定理若 在单连域 D 内处处解析， 为 的原函数， P64定理 3.6 五、原函数则其中由于 也是

5、 的一个原函数，证明有14例求解例求解例求解15解P65 例3.9 求例163.3 柯西积分公式一、柯西积分公式二、平均值公式三、最大模原理17DC一、柯西积分公式Gd定理如果函数 在区域 D 内解析，在边界 C 上连续，证明(思路)如图，以 为圆心，d 为半径作圆 G，则左边右边| 右边 - 左边 |则 P66定理 3.7 18在边界 C 上连续， 则一、柯西积分公式定理如果函数 在区域 D 内解析，DdGC证明(思路)| 右边 - 左边 |即只要 足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，由于左边与右边均为常数，与 无关，故等式成立。 P66定理 3.7 19在边界 C 上连续， 则一、柯西

6、积分公式定理如果函数 在区域 D 内解析，DdGC意义将 换成 ，积分变量 换成 ， 解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。 换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。则上式变为 P66定理 3.7 20是多连域。一、柯西积分公式注意柯西积分公式中的区域 D 可以应用 推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。比如对于二连域 D ,其边界为 ，DC1 反过来计算积分则 P67推论 2 重要21在 上解析 其中 C 为：例计算(1)(2)C1C2210(1)解(柯西积分公式)(2)(柯西积分定理)(函数 在 上解析)22C1C2令解则令 C1： C2： 其

7、中 C 如图所示。例计算C201则(复合闭路定理)(柯西积分公式)23 C203- 3解 试考虑积分路径为 的情况。P67 例3.10 部分 计算例24二、平均值公式如果函数 在 内解析，定理(平均值公式)在 上连续，qxRyC证明由柯西积分公式有则有 P67推论 1 25D三、最大模原理如果函数 在 D 内解析，且不为常数，定理(最大模原理)证明(略)则在 D 内 没有最大值。理解如图，函数 在解析区域dGdGdGD 内任意一点 的函数值是以该点为圆心的圆周上所有点的函数值的平均值，因此， 不可能达到最大，除非 为常数。 P68定理 3.8 26三、最大模原理在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值，推论 1则此函数必恒为常数。若 在有界区域 D 内解析，在 D 上连续，则推论 2在 D 的边