弹簧问题专题

1、23/23弹簧问题专题河北省张家口市宣化县第一中学 张玉鹏 一、弹簧弹力大小问题 弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内)，即F=kx,其中是弹簧的形变量(与原长相比的伸长量或缩短量,不是弹簧的实际长度）。 高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量，也不会有动能的）。 不论弹簧处于何种运动状态(静止、匀速或变速),轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。证明如下：以轻弹簧为对象,设两端受到的弹力分别为F1、F2,根据牛顿第二定律,F1+F2=a,由于=0，因此12=0，即F1.F2一定等大反向. 弹簧的弹力属于接触力,弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一端和其它物体脱离

2、接触,或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。在弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下，弹簧弹力的大小F=kx与形变量成正比。由于形变量的改变需要一定时间,因此这种情况下,弹力的大小不会突然改变,即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。（这一点与绳不同，高中物理研究中，是不考虑绳的形变的，因此绳两端所受弹力的改变可以是瞬时的.）例1质量分别为和2m的小球P、Q用细线相连,P用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止.下列说法中正确的是 A若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g B若突然剪断细线，则剪断瞬间、的加速度大小分别为0和g若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、的加

3、速度大小均为g .若突然剪断弹簧，则剪断瞬间、Q的加速度大小分别为3g和 分析与解:剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零,弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上,因此剪断瞬间的加速度为向上2g，而Q的加速度为向下；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P、Q的拉力也立即变为零，因此P、Q的加速度均为竖直向下,大小均为g.选C。例如图所示,小球P、Q质量均为m，分别用轻弹簧b和细线悬挂在天花板下，再用另一细线d、e与左边的固定墙相连，静止时细线d、水平,b、c与竖直方向夹角均为37。下列判断正确的是 A剪断瞬间P的加速度大小为.g B剪断d瞬间P的加速度大小为0.75 .剪断e前c的拉力大小为0.8g

4、D剪断e后瞬间c的拉力大小为125分析与解:剪断瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化，因此重力和弹簧拉力的合力与剪断前对P的拉力大小相等，为0。75m，因此加速度大小为05,水平向右；剪断e前的拉力大小为1.25g，剪断e后，沿细线方向上的合力充当向心力,因此c的拉力大小立即减小到0。8mg。选。 二、临界问题 两个相互接触的物体被弹簧弹出,这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经分开,也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个结论,就能分析出当时弹簧所处的状态。

5、特点：1。接触；2还没分开所以有共同的速度和加速度;.弹力为零。 这种临界问题又分以下两种情况： 1仅靠弹簧弹力将两物体弹出,那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。 例3.如图所示,两个木块A、B叠放在一起，B与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上,用竖直向下的力F压A,使弹簧压缩量足够大后，停止压缩,系统保持静止。这时，若突然撤去压力F，A、B将被弹出且分离。下列判断正确的是 A.木块、B分离时，弹簧的长度恰等于原长 B木块B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B的重力C。木块A、B分离时,弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A、的总重力 。木块、B分离时,弹簧的长度可能大于原长 分析与解：以A

6、为对象,既然已分开,那么A就只受重力,加速度竖直向下，大小为；又未分开,A、B加速度相同,因此的加速度也是竖直向下，大小为，说明B受的合力为重力,所以弹簧对B没有弹力，弹簧必定处于原长。选A。此结论与两物体质量是否相同无关。 例4.如图所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上,右端与木块B相连，木块A紧靠木块B放置,、B与水平面间的动摩擦因数均为。用水平力向左压A,使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水平力F，、B向右运动，下列判断正确的是 A.A、一定会在向右运动过程的某时刻分开 若A、B在向右运动过程的某时刻分开了,当时弹簧一定是原长 .若A、B在向右运动过程的某时刻分开了,当时弹簧一定

7、比原长短D若A、在向右运动过程的某时刻分开了,当时弹簧一定比原长长 分析与解：若撤去前弹簧的压缩量很小,弹性势能小于弹簧恢复原长过程A、B克服摩擦阻力做的功，那么撤去F后，A、B虽能向右滑动，但弹簧还未恢复原长A、B就停止滑动,没有分离。 只要A、在向右运动过程的某时刻分开了，由于分离时、B间的弹力为零,因此A的加速度是aA=g;而此时A、的加速度相同,因此的加速度aBg，即B受的合力只能是滑动摩擦力,所以弹簧必然是原长.选。例5如图所示,轻弹簧的一端固定在地面上,另一端与木块相连,木块A放在木块B上，两木块质量均为,在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态。 （1）突然将力F撤去,

8、若运动中A、B不分离，则A、共同运动到最高点时,B对的弹力有多大?（）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？ 【点拨解疑】力F撤去后，系统作简谐运动,该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解,会简单的多 （1）最高点与最低点有相同大小的回复力,只有方向相反，这里回复力是合外力在最低点，即原来平衡的系统在撤去力的瞬间，受到的合外力应为，方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下,考虑到重力的存在,所以对的弹力为。(2）力越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性最高点时，、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下,大小位g

9、.那么,在最低点时，即刚撤去力F时,A受的回复力也应等于mg,但根据前一小题的分析，此时回复力为F/，这就是说F/2=g。则F=2g.因此，使、B不分离的条件是F2mg。 除了弹簧弹力,还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不一定是原长。（弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长，但质量考虑时一定不是弹簧的原长,）可看成连接体。 例6.一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度（ag匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离.分析与解：设物体与平板

10、一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力=x和平板的支持力N作用.据牛顿第二定律有： mg-a得N=gkxma 当N0时，物体与平板分离,所以此时 因为，所以。 例7。如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计,盘内放一个物体P处于静止，P的质量=1g,弹簧的劲度系数k=300N/.现在给施加一个竖直向上的力，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在=0s内F是变力，在02s以后F是恒力,g1m/s，则的最小值是 ,F的最大值是 。分析与解：因为在t=s内F是变力,在t=.s以后F是恒力，所以在t=2s时,P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计,所以

11、此时弹簧处于原长.在002s这段时间内P向上运动的距离：=mg/k=。4 因为，所以P在这段时间的加速度 当开始运动时拉力最小,此时对物体P有N-mg+Fin=m，又因此时N=mg，所以有Fmin=240N. 当P与盘分离时拉力F最大，Fmam(a+g）=360N 例8。一弹簧秤的秤盘质量m1=1.5g，盘内放一质量为m2=105的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=80Nm，系统处于静止状态，如图9所示。现给P施加一个竖直向上的力,使从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在最初2内是变化的,在0.2s后是恒定的，求的最大值和最小值各是多少?（g=10m/) 分析与解:因为在t=2s内F是变力

12、,在t=0.2s以后F是恒力,所以在t=02s时，P离开秤盘。此时受到盘的支持力为零，由于盘的质量m1=。5kg，所以此时弹簧不能处于原长,这与例2轻盘不同。设在0_s这段时间内P向上运动的距离为x，对物体据牛顿第二定律可得: +N-m2g=m2a 对于盘和物体P整体应用牛顿第二定律可得： 令N=0，并由述二式求得，而,所以求得m/2. 当P开始运动时拉力最小，此时对盘和物体P整体有（m+m2）=72. 当P与盘分离时拉力最大,Fax=m(a+）=16. 例9如图所示,质量均为m=0g的木块A、叠放在一起，轻弹簧的劲度为k=10Nm,上、下两端分别和与水平面相连。原来系统处于静止.现用竖直向上

13、的拉力F拉，使它以a20m/s2的加速度向上做匀加速运动。求：经过多长时间A与恰好分离？上述过程中拉力的最小值1和最大值F2各多大？刚施加拉力F瞬间A、B间压力多大？ 分析与解：设系统静止时弹簧的压缩量为x1，A、B刚好分离时弹簧的压缩量为x2.k1=2g，x=010m。、B刚好分离时,、B间弹力大小为零,且aA=Ba。以B为对象,用牛顿第二定律：k2m=m，得x2=006，可见分离时弹簧不是原长。该过程A、B的位移=x1x2=0m.由，得t=0.2s 分离前以A、B整体为对象,用牛顿第二定律:kx2gm,可知随着A、B加速上升,弹簧形变量x逐渐减小,拉力将逐渐增大。开始时=1，1+k1-2m

14、g2a，得F1=2N；A、B刚分离时x=x2,2k-2gma，得F=6N 以B为对象用牛顿第二定律:x1gNma,得N=4N 三、弹簧振子的简谐运动 轻弹簧一端固定，另一端系一个小球，便组成一个弹簧振子。无论此装置水平放置还是竖直放置，在忽略摩擦阻力和空气阻力的情况下,弹簧振子的振动都是简谐运动. 弹簧振子做简谐运动过程中机械能守恒。水平放置的弹簧振子的总机械能E等于弹簧的弹性势能和振子的动能Ek之和,还等于通过平衡位置时振子的动能（即最大动能)，或等于振子位于最大位移处时弹簧的弹性势能（即最大势能），即EEp+EkEpm=Ekm 简谐运动的特点之一就是对称性。振动过程中,振子在离平衡位置距离

15、相等的对称点,所受回复力大小、位移大小、速度大小、加速度大小、振子动能等都是相同的。 例10。如图所示，木块和轻弹簧组成的弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,O为平衡位置，B。C为木块到达的最左端和最右端。有一颗子弹竖直向下射入P并立即留在P中和P共同振动。下列判断正确的是A若子弹是在C位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变 B若子弹是在B位置射入木块的，则射入后振幅不变,周期变小C.若子弹是在O位置射入木块的,则射入后振幅不变,周期不变 .若子弹是在O位置射入木块的,则射入后振幅减小，周期变大 分析与解:振动能量等于振子在最远点处时弹簧的弹性势能.在B或C射入,不改变最大弹性势能,因此不改

16、变振动能量,也不改变振幅；但由于振子质量增大，加速度减小,因此周期增大。 振动能量还等于振子在平衡位置时的动能。在O点射入，射入过程子弹和木块水平动量守恒，相当于完全非弹性碰撞,动能有损失，继续振动的最大动能减小,振动能量减小，振幅减小；简谐运动周期与振幅无关,但与弹簧的劲度和振子的质量有关。子弹射入后，振子质量增大,因此周期变大.选。 例11如图所示，轻弹簧下端固定,竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列判断中正确的是 四、弹性势能问题 机械能包括动能、重力势能和弹性势

17、能.其中弹性势能的计算式高中不要求掌握，但要求知道：对一根确定的弹簧，形变量越大，弹性势能越大;形变量相同时，弹性势能相同。因此关系到弹性势能的计算有以下两种常见的模式： 1利用能量守恒定律求弹性势能。 例1分析与解:A离开墙前A、和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧恢复原长过程,弹性势能全部转化为的动能，因此刚离开墙时刻，B的动能为E。A离开墙后，该系统动量守恒，机械能也守恒.当A、B共速时，系统动能最小，因此弹性势能最大。A刚离开墙时刻B的动量和、B共速时、B的总动量相等,由动能和动量的关系E=p22m知，A刚离开墙时刻的动能和A、B共速时系统的动能之比为3：，因此A、B共速时系统的总动能是，

18、这时的弹性势能最大，为2.利用形变量相同时弹性势能相同。 例.质量均为的木块A、B用轻弹簧相连，竖直放置在水平面上,静止时弹簧的压缩量为.现用竖直向下的力F缓慢将弹簧再向下压缩一段距离后,系统再次处于静止。此时突然撤去压力F，当上升到最高点时，B对水平面的压力恰好为零。求:F向下压缩弹簧的距离x；压力在压缩弹簧过程中做的功W。分析与解:如图、分别表示未放A，弹簧处于原长的状态、弹簧和A相连后的静止状态、撤去压力F前的静止状态和撤去压力后A上升到最高点的状态。撤去F后，做简谐运动,状态A处于平衡位置. 状态弹簧被压缩，弹力等于的重力；状态弹簧被拉长,弹力等于B的重力；由于、B质量相等，因此、状态弹簧的形变量都是l. 由简谐运动的对称性，、状态A到平衡位置的距离都等于振幅，因此x=l到过程压力做的功W等于系统机械能的增加,由于是“缓慢压缩，机械能中的动能不变，重力势能减少,因此该过程弹性势能的增加量E1=+2mgl；到过程系统机械能守恒