时间序列分析讲义第10章协方差平稳向量过程

1、 第十章协方差平稳向量过程在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。在本章当中，我们主要讨论一些有关向量随机过程的基本概念。10.1向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者观测的实现，只是现在讨论n1维随机向量之间的动态交互作用。一个p阶向量自回归模型可以表示为VAR(p):Y，c+Y+Y+Y+t1t12t2pt-pt其中,是nn阶系数矩阵，是白噪声向量，满足：1ptg,s，tE()斗s/0,s丰t其中Q是nn阶正定矩阵。可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为：1ty，c+6y+6y+61t1t1111,

2、t-1122,t-11nn,t-1+6(2)y+6(2)y+6(2)y+111,t-2122,t-21nn,t-2TOC o 1-5 h z+6(p)y+6(p)y+6(p)y+111,t-p122,t-p1nn,t-p1t由此可见，在VAR(p)模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p阶自回归形式。一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。利用滞后算子形式，可以将VAR(p)模型表示成为：ILLi一Lpy，c+n12ptt其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：(L)，6L6Li一6(p)Lpijijijijij其中.，1,i，j，.，0,i主jijij定义10.1如果一

3、个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下述变量与初始时间t无关：E(y)和E(yy.)tttj命题10.1如果一个向量过程满足VAR(p)模型，则有：该过程的均值向量可以表示成为：卩，I1cTOC o 1-5 h zn12pVAR(p)模型可以表示成为中心化形式：(y耐,理(y1卩)+(y耐+(y卩)+t1t12t2ptpt类似于高阶差分方程情形，我们也可以将向量VAR(p)模型表示成为VAR(1)过程。定义:y“y“一61626366-wt123p1pty-“I00000t1ny-“，F，0I000，v，0t2:n:t:“000I00t-p+11-nt则向量VAR

4、(p)模型可以表示成为VAR(1)过程:g=Fg1v1t与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，也可以将VAR(p)表示成为VAR(1)的形式。为此，定义更高阶的向量：g1=(y卩,y1，,y1，)np1tt，1t，p1V=(,0,0)np1t_1231pI0000nF=0I000npxnp:n:000In0定义10.2如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下10.2向量过程的自协方差和收敛结果与标量过程类似，我们继续讨论向量过程的自协方差函数及其性质。10.2.1j阶自相关矩阵对一个协方差平稳的n维向量过程，j阶自协方差定义为下面的nxn维矩阵：r=E(y”)(y讷丿t丿我们需要注意的是，对于标量过程而言，如果该过程是协方差平稳的，则自协方差函数具有对称性，即y.=y,.。但是对向量平稳过程而言，却有：r)丰r,)。例如，矩阵r.的(1,2)位置元素是cov(y,/)，而矩阵r的(1,2)位置元素是Cov(yy)，没有理由认为1t21，j，j1t21+j这两者之间是相关的，因为y1对以前出现在y2的变化产生的反应可能与y2对以前出现在y1的变化的反应完全不同。但是，正确的关系式是：r=r为了推导出这个公式，注意到协方差平稳性意味着时刻t可以替代为任意的tj，则有:r=E(yM)(ym)=E(yM)