数列公式汇总

1、数列公式汇总1010人教版数学必修五第二章 数列 重难点解析第二章 课文目录数列的概念与简单表示法等差数列n等比数列n【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、等比数列的前 n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式【难点】1n2、理解递推公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决

2、一些相关问题。4、灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.1（或首项2n 项，.数列的一般形式：1,a2,a3,an ,，或简记为an，其中an 是数列的第n项 数列的通项公式：如果数列an 的第n项an 与n之间注意：并不是所有数列都能写出其通项公式

3、，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是an 1 ，2，也可以是ancosn1|.2数列通项公式的作用：求数列中任意一项； 检验某数是否是该数列中的一项.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集1， 2，3，n）为定义域的函数an f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。23、f(2f(4数列的分类：根据数列项数的多少分：6。是有穷数列6是无穷数列根据数列项的大小分：2递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。2数列的表示方法通项公式法如果数列an 的第n

4、项与序号之间的关系可以用一如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 项数列 为例，做出一个数列的图象些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项递推公式法如果已知数列an 的第1an 与它的前一项an（或前n式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55， 8911 an2(3 n 8)4、列表法简记为典型例题：例 1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33,；(2)2,4 ,6 ,315358

5、, 10 , ；6399；(4) 1, 3,5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,.nn解 aa2nna1 (1)n ；2(2n 1)(2n 1)(4) 将数列变形为 10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, ,an ；(5) 将数列变形为 12, 23, 34, 45, 56,， an 1a 1(n例a 1(nn写出这个数列的前五n1项。解：二、等差数列 1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每（常用字母“d”表示。公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；an ,若an an1 =dn 为公差。a

6、na1 (n【或an am (n m)d 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an 的首项是1 d得：a2 d a d111a3 a2 d a3 a2 d a 2d111a4 a3 d a4 a3 d a 3dan a1 (n 1)d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1 和公差 d， 便可求得其通项an 。ama1 am (m a1 (m 1)d (n =am (m (n am (n m)d即等差数列的第二通项公式d=am anm nd am (nm)dd= an an 1d= an a1d=an amn1n m（性质）在等差数列中，若 m+n=p+q，则，am an

7、a p aq即m+n=p+q am an a p aq (m, n, p,qN )但通常由am an ap aq推不出m+n=p+q，am an amn典型例题：18，5，220-401是不是等差数列果是，是第几项？ 解：4101 2如果是，是第几项？如果不是，说明理由.例在等差数列an 中若+a6 =9, a4 =7,求a3,a9 .nnn 1S n(a1 an )n2证明：Sn a2 a3 an1anSn an an1 an2 a2a1+：2Sn (a1 an ) (a2 an1 ) (a3 an2 ) (an an )a1 an a2 an1 a3 an2 2Sn anSn n(a1 a

8、n )2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性等差数列的前n 2 n(n 1)d2用上述公式要求Sn 必须具备三个条件： n, a1 , an但ana (n 1Sn n(n 1)d21此公式要求Sn 必须已知三个条件：n,a1,d（有时比有用）1对等差数列的前n 项和公式2S na n(n 可化成式n12子：n1S d n 2 (an1d)n，当 d0，是一个常数项为零的二次式22由Sn n=1S1a1n2an =Sn -Sn1 ，即a=S1(n . nnS n对等差数列前项和的最值问题有两种方法:利用an :当an n项和有最大值可由an ，且an1 0， 求得n的值当an n项和有

9、最小值可由an ，且an1 0， 求得n的值利用Sn 由S dn2 (a d)nn212n典型例题：例等差数列前9 项的和多少？ 解：101256解例 6：已知等差数列an中，S3=21，S6=64，求数列|an|nTn例 7： 在等差数列an中，已知 a6a9a12a1534，求前 20 项之和an20S20的值9：等差数列an、bnnSn和Tn，若Sn 2n，则a100 3n1等于2B3199200C299D301分析该题是将a100 与Sn 2n 发生联系，可用等差数列的项b1001和公式Sn= n(a1 + an ) 把前n项和的值与项的值进行联系 210： 解答下列各题：(1)已知：

10、等差数列an中 a23，a617， a9；19891350， 求这几个数；an中，a4a6a15a1750，求 S20；已知：等差数列an中，an=333nSn的最大值等比数列：四、等比数列q表示（q0anan1=q（q0）1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)an 成等比数列 an1 =q（n N ,q0）an2隐含：任一项an 且q 0an an 件3q1时，an为常数。等比数列的通项公式1: a q n1 (a q 0)1由等比数列的定义，有：1a2 a1q ；a3 a2 q (a1q)q a1q 2 ；4a a3 q (a1q 2 )q a1q 3 ；4 n11na aq a q

11、 n1 (a q n11n等比数列的通项公式2: a qm1 (a q 0)mm等比数列与指数函数的关系：an 的通项公式an a q n1 (a q 0,它的图象1q是分布在曲线y a1 qx 1q当 0，q 1an 是递增数列； 当 00 q1，等比数列an 是递增数列； 当 00 q1时，等比数列an 是递减数列； 当 0，q 1an 是递减数列；当q 0 时，等比数列an 是摆动数列；当q 1 时，等比数列an 是常数列。等比中项：abGa,G，b成等比数列那么称这个数G 为a与b的等比中项.即G= ab （a,b 同号）a b Ga,G，b 成等比数列，则G G ab G ab ，a

12、GaG2 =ab,则G b a,G,b aa,G,b 成等比数列 G2 =ab（ab0）等比数列的性质：m nm+n=p+k，则a m n a p akmnpk 有什么关系在等比数列中，m+n=p+qa a mnpk 有什么关系呢？由定义得：a aqm1a a q n1aaqa a q k 1m1n1p1k1mna a a 2 qmnmn，ap a 2 q pk 21则am an1 a p ak法q1, a1 00q1, a1 0时,an 是递增数列;当,10或,10 时,an 是递减数列当1时,an 是常数列;当q0，则lga1,lga2,lga3成等差n注（1）algann（2）a 成等差aan 成等比n典型例题：例1：求和：.解：等差数列 一般地,如果等比数列一般地，如果一个数列个数列从第 2 项起，每 从第 2 项起，每一项与它定一项与它的前一项的 的前一项的比等于同一 义么这个数列就叫做等 叫等比数列这个常数叫差数列这个常数叫公 公比 差递a a a（nN* ）an1 a2（n N* ）n1n21推anan1 an dan1 q an关（n N * ）要对任意 c 1, c为等比数列.n1n 1aa2a