章二次根式知识点及例题

1、 /18第十六章二次根式知识点一、二次根式1定义：一般地，我们把形如丫a(a0)的式子叫做二次根式，称为二次根号，二次根号下的a叫做被开方数.注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号一”.二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0.根指数是2,这里的2可以省略不写.形如b爲(a0)的式子也是二次根式，它表示b与需的乘积.例题：下列各式中，一定是二次根式的是.(1)327(2)、：一9(3)v3a2*x2+12+2a+1(6)02x-10,y0)(5)；3a2+8x2-6x-12下列各式中，一定是二次根式的是()A.、二9B.g1(x

2、为任意实数)C.m2(m为任意实数)D.$5知识点二、二次根式有意义的条件从总体上描述：在二次根式7a中，当a0时，/a有意义，当a0;A0B0多个二次根式相加JA+4b+.+JN有意义的条件：；N0(3)二次根式作为分式的分母如(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件:二次根式作为分式的分子如寻有意义的条件：b:0例题：1当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义.(1)23x1(2)、：一1x(3)=(4)x+1+丄x2+1-1B.x-1C.x0D.xH0若有意义，则x的取值范围是.Vx-2练习：1若式子vl-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A.x3b.x3d.x2的是()

3、A.2A.2xB.x2C.3土2有意义的x的取值范围是x1知识点三、二次根式的性质(重点，难点)性质1：式子*a(a0)具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a的算式平方根,具体描述为：(1)0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不能忽略a0这一限制条件，导致类似C-41=-4的错误.性质3:07=|a|=a（a0），即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为爲T=a（a0）；l-a（a0）当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为、订=-a（a0）.注意：不要认为a一定是非负数，从而出现如頁不=-2的错误.0a为任意实数运算结果不同(

4、7Z)2=a(a0)厂IIfa(a0)7a2=|a|=-a(a0时，=（需）2例题:1.计算:(1)(語)2(2)(亦)2(3)(一3冒)2(4)(1帀)22计算:(4)2计算:(4)、：(3.14-兀)23当m3时，J(m_3)2=4.设三角形的三边长为a,b,c，试化简：丫（。+b+c）2+（a-b一c）2+；（b-a一c）2-f（c一b一a）2.练习：1计算：(1)234)2(2)(空37)2(3)：(3兀)2(4)、(4兀)2若2a0,b0).提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数;(2)a,b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的.推广：7口*牛1乙口阳=

5、abcd(a0,b0,c0,d0).21口祐=、:ab的逆运用：sb=、ab(a0,b0).例题：1.计算：迈x話6迈7x(-2扁)(121)x(196)化简：(1)9x125(2)224(1)比较3亦与伍的大小,(2)比较5J5与6J3的大小.练习：1.计算：(1)*(121)x(一196)(2)(1/3)(3+.3)(3)v4x2y3*9y2x；5x3yQ9xy化简：(116x1213v96比较6虧与4J6的大小,(2)比较8J3与3俪的大小3分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为

6、有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式有理化因式两项二次根式有理化因式1Vaa1-a+Pba、bJa+bva+bva+bVabJababm(a+nbmTanb分母有理化的方法与步骤:（1）现将分子、分母化成最简二次根式;（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式;（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：TOC o 1-5 h z1.*1化简为（）；a-x:bA.胃-ubB.着+托C.西二辿D.a-ba-b2下列各式中正确的是（）314060A.1=、込1B.-4二迈C.1000=105d.-L314060V21V505已知a=、；5+卞6，b=-，则a与b的

7、大小关系式是ab.655将下列各式分母有理化.1击112：81击112：83y12a3b25c2(4)练习:1.已知a=v3+2,b=1，则a与b的关系是（）V3-2A.a=bB.ab=lC.a=-bD.ab=-l442满足不等式-x0,b0）.提示：乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.例题：1.计算：（1八万81.计算：（1八万8仝()510七3a3b+；4ab2练习：1.计算：58f82-TI(3)8a3b2+4a3b24最简二次根式：（1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母，小数；

8、（3）分母中不含根式.例题：1下列二次根式中，是最简二次根式的是（）1A.0.2B.a2-b2C.D.4ax（2014华伦单元卷）把a：-1根号外的因式移动到根号内的结果是（）aA.ab.；ac.xad.、；a页是整数，则正整数n的最小值是（）A.4B.5C.6D.7练习：1下列根式中不是最简二次根式的是（）A.U2B.、：6C.8D.110C.12D.C.12D.”气A.x2+1B.Ia+1化简二次根式a，-的结果是（）a2A.、,；a1B.”a1c.va+1D.：a+1已知avb,则化简;a3b的结果正确的是（）A.aQ一abb.a/OKc.aVObd.aJ-ab顾是整数，则正整数n的最小

9、值是（）A.3B.4C.5D.66李明的作业本上有四道题：A.3B.4C.5D.66李明的作业本上有四道题：J16a4二4a2，（2）丁5和而=5a迈,=a，(4)i：3a、：2a=a，如果你是他的数学老师，请找出他做错的题是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）知识点五、二次根式的加减加减法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，例如和3込。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化

10、成最简二次根式后，再判断。例题：1下列计算正确的是（）A4A4朽-3占二1B.迈+朽仝C2访-=J2D.3+22二5叮23计算3计算填空(1)5&+2*匚=(2)jI4+i6(3)5j2-、汎=(4)-v27-xVl=(2)5+阿-凤+4迈练习:1.（2014.外国语学校期中卷）下列计算正确的是（）A.2xi3=v6B.2+=、5C.=4、：2D.：4、一2=v22.（2015.平南县月考卷）若i8X+2.（2015.平南县月考卷）若i8X+2、；-+2:2=10，则x的值为（）A.4B.土2C.2D.土43计算(1)75-27+込五2-6-+2打8/(3)22-3-/(3)22-3-1)-2

11、2丿+*；18(I6xJ4+沁不1xy丿2混合运算：有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.例题：1下列计算正确的是()11I1I1A.币+占=4B.R八百加=3C.5+込=用D.代=2育2下列计算正确的有()：C4)9)=、：一4x丫9=6，4)9)=：4x9=6，：5242=+4xy54=1,：5242=、：5242=1A.1个B.2个C.3个D.4个正方形的对角线长是32cm,则正方形的周长是，面积是.4计算IIII-;_(2)464一+308一24223低+5须-4背卜豆5.若3,m,5三角形的三边，化简p（2-m

12、）2、.；（m-8）2.Iijx6.化简求值:X79X-X2：石*6X“4，其中X=5-6.化简求值:练习:1下列化简或计算正确的是（）A.X32=-、KB.I：鳩=1+1=7c.氐一后L9-2晶D殛+=-42.已知a=3+5，b=3-、占，贝M弋数式;a2-ab+b2的值是（）A.24B.+2.6c.2A.24B.+2.6c.2、；石D.2、呂3.已知矩形的周长为（：48+t72）cm,边长为（、：3+辺2）cm，矩形的另一边长为，面积为.4.计算:(1)01.当x=时，式子Ux+2+X1-x一2有意义.已知y=2x5+：52x3，则2xy的值为()TOC o 1-5 h z1515A.-1

13、5B.15C.D.22(2014.华伦单元卷)若叮x1、：1x=(x+y)2,则x-y的值为()A.-1B.1C.2D.34.若实数a,b,c满足：b2a+4+ya+b5=、：c2+站2c，试求a2+b2+c2的值.3绝对值结合数轴化简:3绝对值结合数轴化简:a(a0)a(a0)1.（2014黔南州）实数a在数轴上的位置如图，化简丫（。一1）2+a=.AIIH-2a-10122.（2015春姜堰市期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：va2|a+；（cb）2|b|.若3x2，试化简：|x2+fG+3+：x210 x+25.4若、x二一x，则x0B.x0C.x0D.x2B.xVO

14、C.xx2D.x5B.a5C.0a5D.0a5把（a一D、：中根号外的（a-D移入根号内得（）.a1A.、：a1B.、：1ac.-a1D.-、：1a6.x2+y2+ax+by+c二0:配方成平方和为0的形式.1.已知x2+y2+2x4y+5二0，求x+y的值.2.已知a2弋a1+b24b+4=0，求a22ab+b2的值.7乘法公式的灵活运用.1.若x=va：b,y=x:a+-b，则xy的值为()A.2Jab.2pbC.a+bD.ab22如果了Z=详xy2yx那么上+的值等于（）xy3A.23A.2B.57(2010(2010祁门县校级模拟)计算(23)2008(2+3)2009(x2)o=.1

15、c、1、1已知a+=2，求a2+的值.，求a一的值.aa2a5.已知x5.已知x2-3x+1=0，求x2+丄-2的值.x2，求a3b+ab3的值.8整数和小数.星期天，张明的妈妈和张明做了一个小游戏，张明的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若x表示、10的整数部分，y表示它的小数部分，我这个纸包里的钱是（JT0+x）y元，你猜一猜这纸包里的钱是多少？若猜对了，这纸包里的钱全给你.”请问他妈妈包里的钱是.x、y分别为8NT的整数部分和小数部分，则2xy-y2=.（2011凉山州）已知a、b为有理数,m、n分别表示5一茁的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=.9其他（2014.英才单元卷）当=时，代数式J2a+1+1取值最小，最小值为.（2015永州模拟）设m=+1，那么m+丄的整数部分是.m（2014.十九中期末卷）仿照式子+2迂的化简方法：丫3+