数值分析试题与答案

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 数值分析试题与答案 试题 _2022_年_2022_年第 一学期 课程名称： 数值分析 专业年级： 2022级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 B 卷 考试方式: 开卷 闭卷 一. 填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分） 1.设有节点012,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x =的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -? ?=-?-?，233x ?=?，则

2、1A ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数准确度为 。 二简答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足以下插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y 3 并估计误差。（10分） 四试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式

3、计算定积分1 011I dx x =+?。（10分） 五用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六试用Doolittle 分解法求解方程组： 12325610413191963630 x x x -?-=? （10分） 七请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324812231530 x x x x x x x x x +=?+=?-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八就初值问题0 (0)y y y y =?=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分） 数值分析（A ）卷标准答案 （202220221） 一 填空题（每题3

4、分，共12分） 1. ()1202202()()()() x x x x l x x x x x -=-； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。 二简答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分） 对于对称正定阵 A ，从21 i ii ik k a l =可知对任意k i 有|ik ii l a 。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分） 2. 解：（1）若()*x x ?=，则称*x 为函数()x ?的不动点。 （2分） （2）()x ?务必满足以下三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x

5、 ?的不动点： 1）()x ?是在其定义域内是连续函数； （2分） 2）()x ?的值域是定义域的子集； （2分） 3）()x ?在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分） 3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分） 步1：输入矩阵A ，初始向量v0，误差限，最大迭代次数N; 步2：置k:=1,:=0，u0=v0/|v0|; 步3：计算vk=Auk-1; 步4：计算 并置mk:=vkr, uk:=vk/mk; 步5：若|mk- |，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分） （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 00.50.500.50.5000.5B -?=-?-? （2分）

6、 其特征值为1230,0.5= （2分） 故有()0.51B =，因而雅可比迭代法收敛。 （1分） 八证明题（本大题共2小题，每题7分，共14分） 1. 证：该问题的准确解为0()x y x y e = （2分） 欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y +=+=+ （2分） 对任意固定的i x x ih =， 有/1/00(1) (1)i i x h x h i y y h y h =+=+， （2分） 则0()i x i y e y x = （1分） 2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2,66n n n x a x n x += + = （3分） 因迭代函数为()25,

7、66x a x x ?= +而()35,63a x x ?=+又*3x a =， （2分） 则 ()()3335 1062 3a a a ?=+=。 故此迭代格式是线性收敛的。 （2分） 数值分析参考解答 三计算题（每题7分，共42分）： 1. 设 x e x f =)(, 试构造基函数求)(x f 的2次插值多项式 )(2x P ,满足: )1()1(),0()0(),0()0(222f P f P f P =. 解 设)(2x P 的基函数为)(),(),(010 x x x ，则它们满足以下关系 （1分） x 0 1 x 0 )(2x P 1 e )(2x P 1 )(0 x 1 0 )

8、(0 x 0 )(1x 0 1 )(1x 0 )(0 x 0 0 )(0 x 1 （2分） (1) 令00200)(c x b x a x +=，则有?=+=0)0(0)1(1)0(00000000b c b a c , 即1,0,1000=-=c b a . 所以1)(20+-=x x . 或由0)1(0=，先得)(1()(0l kx x x +-=. 再由1)0(0=，得1=-l ，即1-=l . 由1)0(0 =，得0=-k l ，即1-=l k . 所以1)1)(1()(20+-=+-=x x x x . （1分） (2) 令11211)(c x b x a x +=，则有?=+=0

9、)0(1)1(0)0(11111111b c b a c , 即0,0,1111=c b a . 所以2 1)(x x =. 或由0)0()0(1 1=,先得21)(kx x =. 再由1)1(1=，得1=k . 所以21)(x x =. （1分） (3) 令22220)(c x b x a x +=，则有?=+=1 )0(0)1(0)0(20222022b c b a c ， 即 0,1,1222=-=c b a . 所以x x x +-=20)( 或由0)1()0(00=,先得)1()(0-=x kx x . 再由1)0(0=，得1=-k ，即1-=k . 所以x x x x x +-=-=20)1()( （1分） 结果得 1)2()()0()()1()()0()(20102+-=+=x x e x f x f x f x P . （1分） 2. 求 x x x x f +=2 323)( 在区间 -1,1 上的次最正确一致迫近多项式; 解 设所求的2次最正确一致迫近多项式为)(*2x P . 令)()(3 1)(*2x P x f x Q -=. （2分） 则)(x Q 的首项系数为1, 并且当)(2 1)()(31)(32*2x T x P x f x Q =-=时, )(x Q 与0的偏差最小, 即)(x f 与)(*2x P 的偏差最小