苏教版数学高一苏教版必修4任意角的三角函数

1、互动课堂疏导引导1.任意角的三角函数的定义如右图，已知任意角，以角的顶点O为坐标原点，以角的始边的方向作为x轴建立直角坐标系xOy，并且使xOy=90，在角的终边上取点A，使OA=1，设A的坐标为（l,m），再任取一点P(x,y)，设OP=r(r0)，由相似三角形对应边成比例得.因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得=l,=m,.不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于的大小，与点P在终边上位置无关.即当点P在的终边上变化时，这三个比值始终等于定值，因此定义：叫做角的余弦，记作cos,即cos=,叫做角的正弦，记作sin,即sin=.叫做角的正切，记作tan,即t

2、an=,依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个法则都是以为自变量的函数，分别叫做角的余弦函数、正弦函数和正切函数.以下三个函数也经常用到角的正割：sec=;角的余割：csc=;角的余切：cot=;即sec,csc,cot分别为cos,sin,tan的倒数.2.三角函数的定义三角函数定义定义域sinRcosRtan|k+,kZsec|k+,kZcsc|k,kZcot|k,kZ确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时，比值无意义这一关键，即只有当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为0.具体地讲，当=k(kZ)时，终边上的点的纵坐标

3、y为零，以y为分母的比值，如余切cot=xy和余割csc=无意义，即这个三角函数的定义域为|k,kZ;同理，可得正切tan=与正割sec=的定义域为|k+,kZ.3.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号.sin=,其中r0,于是sin的符号与y的符号相同，即当是第一、二象限的角时，sin0;当是第三、四角限角时，sin0.cos=,其中r0,于是cos的符号与x的符号相同，即当是第一、四象限角时，cos0;当是第二、三象限角时，cos0.tan=,当x与y同号时，它们的比值为正，当x与y异号时，它们的比值为负，即当是第一、三象限角时，ta

4、n0；当是第二、四象限角时tan0.规律总结 规律总结如何记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多，下面介绍两种：方法一：利用口诀：“一全正、二正弦、三两切、四余弦”.上述口诀表示，第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切、余切是正值，第四象限余弦是正值.方法二：利用课本上图112记忆，如图sin(csc)上正、下负（一、二象限为正，三、四象限为负）cos(sec)左负、右正（一、四象限为正，三、三象限为负）tan(cot)先交正，后交负（一、三象限为正，二、四象限为负）活学巧用【例1】 已知角的终边经过点P（3a,-4a）(a0),求sin,cos,tan,sec,csc,cot的值

5、.解析:在由三角函数的定义求三角函数时，应先求，由于含有参数a，而a的条件为a0，所以必须对a进行讨论，这一点不可忽视.x=3a,y=-4a,r=.(1)当a0时，r=5a,是第四象限角，sin=cos=,tan=.cot=,sec=,csc=.(2)当a0时，r=-5a,是第二象限角sin=,cos=,tan=,cot=,sec=,csc=.所以有sin=,cos=,tan=,cot=,sec=,csc=.【例2】 已知角的终边在直线y=-3x上，则10sin+3sec=_.解析:由角的终边落在直线y=-3x上，所以可设其终边上一点为P（k,-3k）（k0），再分k0与k0求解.则x=k,y

6、=-3k,r=|k|,(1)当k0时，r=,是第四象限角，sin=,sec=,10sin+3sec=10()+=-+=0.(2)当k0时，r=k,是第二象限角，sin=,sec=,10sin+3sec=10+3（）=0.综合以上两种情况，均有10sin+3sec=0.答案:0【例3】 求下列函数的定义域.（1）y= (2)y=lgsin2x+解析:(1)要使函数有意义，则须sinxcotx0,即sinx与cotx同号或cotx=0,x是第一、四象限角或终边在y轴上的角，y=的定义域为x|2k-x2k或2kx2k+,kZ.(2)要使函数有意义，则须由得，2k2x2k+(kZ),kxk+ (kZ)

7、由得，x29,-3x3由得-3x-或0 x,故y=lgsin2x+的定义域为x|-3x-或0 x.【例4】 确定下列三角函数值的符号.（1）cos250 (2)sin(-) (3)tan(-672) (4)tan解析：(1)250是第三象限角,cos2500.(2)-是第四象限角,sin(-)0.(3)-672=-2360+48,而48是第一象限角,-672是第一象限角.tan(-672)0.(4)=2+,而是第四象限角,是第四象限角.tan0.【例5】 若sin20且cos0，试确定所在的象限.解：sin20,2k22k+(kZ),kk+(kZ).当k=2n(nZ)时，有2n2n+ (nZ),为第一象限角.当k=2n+1(nZ)时，有2n+2n+32(nZ),为第三象限角.由cos0，可知在第二或第三象限，或终边在x轴的负半轴上.综上可知，在第三象限.【例6】 若sin