人教版高中数学必修五模块复习课件：第一课-解三角形-模块复习课-1-

1、第一课解三角形第一课【网络体系】【网络体系】【核心速填】1.正弦定理(1)公式表达：_.【核心速填】(2)公式变形：a=2RsinA，b=2RsinB，c =2RsinC；sinA= ，sinB= ，sinC= ；abc=sinAsinBsinC；(2)公式变形：2.余弦定理(1)公式表达：a2=_，b2=_，c2=_.(2)推论：cosA=_，cosB=_，cosC=_.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC2.余弦定理b2+c2-2bccosAa2+c2-2acco3.三角形中的常用结论(1)a+bc，b+ca，c+ab.(2)a-bc，b-ca，a

2、-cbABsinAsinB.(5)a=bA=B.3.三角形中的常用结论(6)A为锐角cosA0a2b2+c2；A为钝角cosAb2+c2；A为直角cosA=0a2=b2+c2.(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.(8)(6)A为锐角cosA0a2b2+c2；4.三角形中的计算问题在ABC中，边BC，CA，AB记为a，b，c，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则(1)ha=bsinC=_.(2)hb=csinA=_.(3)hc=asinB=_.csinBasinCbsinA4.三角形中的计算问题csinBasinCbsinA(4)(5)(4)【易错提醒

3、】解三角形中易忽视的三点(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围.(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况.(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况.【易错提醒】类型一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】(1)ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC= ，BC= ，则 等于()类型一 利用正、余弦定理解三角形(2)在ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos 2A= ，sinB=求A+B的值；若a-b= -1，求a，b，c的值.(2)在ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别【解析】(1)选C.因为AB=2，所

4、以BC2=AB2+AC2，所以A= ，所以BC为圆的直径，O为斜边BC的中点，所以CO=BO=AO= BC= ，又AC= ，设AOC=，由余弦定理得cos=则【解析】(1)选C.因为AB=2，(2)因为A，B为锐角，sinB=所以cosB=又因为cos 2A=1-2sin2A=所以sinA= ，cosA=所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB(2)因为A，B为锐角，sinB=因为0A+B，所以A+B=由知C= ，所以sinC=由正弦定理 得即a= b，c= b.因为a-b= -1，所以 b-b= -1，所以b=1，所以a= ，c= .因为0A+B，所以A+B=【方法技巧】应用

5、正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法【方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法人教版高中数学必修五模块复习课件：第一课-解三角形-模块复习课-1-人教版高中数学必修五模块复习课件：第一课-解三角形-模块复习课-1-【变式训练】在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2 ， =4，2sinBcosC =sinA，求A，B及b，c.【变式训练】在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b【解析】因为 =4，所以 =4.所以所以sinC= .又因为C(0，)，所以C= 或C=【解析】因为 =4，由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin(B+C)

6、，即sin(B-C)=0.所以B=C，所以B=C= ，A=-(B+C)=由正弦定理 ，得由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin【补偿训练】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=45，b= ，cosC=(1)求边长a.(2)设AB的中点为D，求中线CD的长.【补偿训练】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边【解析】(1)由cosC= 得sinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC由正弦定理得【解析】(1)由cosC= 得sinC=(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3 )2+( )2-23 =4，所以c=2

7、，在BCD中.由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosB=12+(3 )2-213 =13，所以CD=(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3 类型二 判断三角形的形状【典例2】(1)在ABC中，已知3b=2 asinB，且cosB=cosC，角A是锐角，则ABC的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形类型二 判断三角形的形状(2)已知在ABC中， =c2，且acosB=bcosA，试判断ABC的形状.(2)已知在ABC中， =c2，且acosB【解析】(1)选D.由3b=2 asinB，得根据正弦定理，得所以 ，即sinA=又角

8、A是锐角，所以A=60.又cosB=cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B=C，故ABC为等边三角形.【解析】(1)选D.由3b=2 asinB，得(2)由 =c2，得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3，所以a2+b2-ab=c2，所以cosC= ，所以C=60.由acosB=bcosA，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为ABC外接圆的半径)，所以sin(A-B)=0，所以A-B=0，所以A=B=C=60，所以ABC为等边三角形.(2)由 =c2，得a3+b3-c3=c2(【方法技巧】判定三角形形状的两种途径(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a=2RsinA，a2

9、+b2-c2=2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA=sinBA=B，sin(A-B)=0A=B，sin2A=sin2BA=B或A+B= 等.【方法技巧】判定三角形形状的两种途径(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=cosA= 等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=【变式训练】在ABC中，若B=60，2b=a+c，试判断ABC的形状.【解析】方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，因为B=60，所以A+C=120，A=120

10、-C，将其代入上式，得2sin60=sin(120-C)+sinC，展开整理，得 sinC+ cosC=1，所以sin(C+30)=1，所以C+30=90.所以C=60，故A=60，所以ABC是等边三角形.【变式训练】在ABC中，若B=60，2b=a+c，试判断方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，因为B=60，b= ，所以( )2=a2+c2-2accos60.所以(a-c)2=0，所以a=c，所以a=b=c，所以ABC为等边三角形.方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，【补偿训练】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 =k(kR).(1)

11、判断ABC的形状.(2)若c= ，求k的值.【补偿训练】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，【解析】(1)因为 =cbcosA， =cacosB，又因为 ，所以bccosA=accosB，所以bcosA=acosB.【解析】(1)因为 =cbcosA， =方法一：因为bcosA=acosB，所以sinBcosA=sinAcosB，即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0.因为-A-B8，所以货轮无触礁危险.过点A作ADBC.【方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.(2)明确题目中的一些名词、

12、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.【方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定【变式训练】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已

13、知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求DEF的余弦值.【变式训练】如图，为了解某海域海底【解析】如图，作DMAC交BE于点N，交CF于点M，DF=DE=EF=在DEF中，由余弦定理得：cosDEF=【解析】如图，作DMAC交BE于点N，交CF于点M，【补偿训练】如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_km.【补偿训练】如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平

14、面上B【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以B+D=，由余弦定理得AC2=52+32-253cosD=34-30cosD，AC2=52+82-258cosB=89-80cosB，由cosB=-cosD，得 ，解得AC=7.答案：7【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以B+D=，由余类型四 正、余弦定理与三角函数的综合【典例4】(2015陕西高考)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a， b)与n=(cosA，sinB)平行.(1)求A.(2)若a= ，b=2，求ABC的面积.类型四 正、余弦定理与三角函数的综合【解析】(1)因为mn，所以asinB- bcosA=0，

15、由正弦定理得sinAsinB- sinBcosA=0，又sinB0，从而tanA= ，由于0A0，所以c=3.故ABC的面积为 bcsinA=(2)方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，方法二：由正弦定理得 ，从而sinB=又因为ab，所以AB，所以cosB=所以sinC=sin(A+B)=所以ABC的面积为方法二：由正弦定理得 ，从而sinB=【方法技巧】正、余弦定理与三角函数综合应用的处理策略(1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的.(2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，

16、一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简.【方法技巧】正、余弦定理与三角函数综合应用的处理策略【变式训练】(2015武汉高一检测)如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：千米).如何设计，可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).【变式训练】(2015武汉高一检测)如【解析】设AMN=，0120，在AMN中，因为MN=2，所以AM= sin(120-)，在APM中，cosAMP=cos(60+)，AP2=AM2+MP2-2MPAMcos

17、AMP= sin2(120-)+4-22 sin(120-)cos(60+)【解析】设AMN=，0120，在AMN中，= sin2(60+)- sin(60+)cos(60+)+4= 1-cos(2+120)- sin(2+120)+4=- sin(2+120)+cos(2+120)+= - sin(2+150)，0120，当且仅当2+150=270，即=60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2 ，= sin2(60+)- sin(60+)c答：当AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.答：当AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.【补偿训练】如图，半圆O的直径为2，A

18、为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：当AOB为多少时，四边形OACB的面积最大？【补偿训练】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，【解析】设AOB=.在AOB中，由余弦定理，得AB2=12+22-212cos=5-4cos.所以四边形OACB的面积为S=SAOB+SABC= OAOBsin+ AB2【解析】设AOB=.= 21sin+ (5-4cos)=sin-所以当sin( )=1时，S有最大值.因为0，所以故当AOB= 时，四边形OACB的面积最大.= 21sin+ (5-4cos)人教版高中数学必修五模块复习课件：第一课-解三角形-模块复习课-1-Suffering is the most powerful teacher of life.苦难是人生最伟大的老师。For man is man and maste