最小二乘法多项式拟合

1、最小二乘法多项式拟合对于给定的数据点(x,y),1iN，可用下面的n阶多项式进行拟合，即iif(x)，a+ax+ax2h，工axkTOC o 1-5 h z012kk，0为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差Il，lf(x)yIiii都较小。为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即迓()2，迓f(x)y2，min HYPERLINK l bookmark48iiii，1i，1称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式f(x)的方法即为最小二乘法多项式拟合。确定上述多项式的过程也就是确定f(x)中的系数a,0kn的过程，根据最小二乘k原则，则

2、偏差平方和应该是这些系数的函数，即S(a,a,a)，迓()2，迓f(x)y2，minTOC o 1-5 h z01niiii，1i，1为使上式取值最小，则其关于a，okn的一阶导数应该为零，即有导正2f(xi)y,0n迓f(xi)y,0亠(xi)=60i，1i，1i，1i，1Is正2xF(9yi,0n迓xF(9yi,0n迓xif(x-)正xyi1i，1i，1i，1i，1iiiii，1i，1，迓2kxkf(x)y，0n迓xkf(x)y，0n迓xkf(x)，iiiii，1i，1ki，1i，1，迓2nxnf(x)y，0n迓xnf(x)y，0n迓xnf(x)，迓xnyIaiiiiiiiiiini，1i

3、，1i，1i，1将上面各等式写成方程组的形式可有f(x)=yniii=1i=1aN+axf(x)=yniii=1i=101i2iniii=1i=1i=1i=1xf(x)=xyniiiii=1i=1ax,xf(x)=xyniiiii=1i=1ax,ax2,ax3,a0i1i2ini=1i=1i=1Xn，1i=xyiii=1xkf(x)=xkyniiiii=1i=1axk,axk,1,axk,2,a0i1i2ii=1i=1xn,kii=1=xkyiii=1xnf(x)=xnyniiiii=1axn,a0i=1N1i=1xn,1,aixn,2,a2ii=1x2n=ii=1xnyiii=1写成矩阵形式

4、有Nxii=1Nxkii=1Nxnii=1Nxii=1Nxkii=1Nxnii=1NxiNxkiNxniNx2ii=1xk,1ii=1xn,1ii=11xk,1ii=1x2kii=1xn,kii=1xnii=1xn,kii=1x2ni=1i丿ra10a1Nxyiii=1xkyiii=1xnyi=1ii丿上述方程组可以通过克莱姆法则来计算从而解出各系数ak,0kn得到拟合方程。考虑到一般情况提高拟合多项式的阶数并不能提高拟合精度，所以常用的多项拟合阶数为一阶和二阶，即线性拟合和二次拟合。两者的计算公式如下：Nxix2ii=1Nxii=Nxix2ii=1Nxii=1NxiNx2ix3ii=1Nx2

5、i=1丿Nx2iNx3iNx4i=1i丿(a)0Ia1丿(a)0a1,a丿21xyi=1ii丿ny=a+ax01Ny1iNxyiix2yi=1ii丿关于线性拟合，除上面按克莱姆法则来计算外，还可以有另一思路，下面对此进行说明。由于是线性拟合，最后得到的是一条直线，因此，直线可以由斜率和截距两个参数来确定因此，求出这两个参数即可。首先对克莱姆法的求解结果进行展开可以得到=0N迓xyi丿N为x2-iLxN迓xyi丿N为x2-iLxi=ii=丿討PXi丿i-1i=1i=!ii=丿下面考虑先计算斜率再计算截距的方法，从下图可见，斜率计算与坐标系的位置无关=0=0图中1x=Xx,_1y=Xy,Ni=ii

6、丿Ni=ii丿则在新的坐标系（x,y）下斜率的计算公式与前面的计算公式相同将其中的坐标（x，y）换成（x,y）即可得到下面的计算公式a=1NXxyLXyYXxNXx2-Xxi=!ii=!i丿由样本在新坐标系下的坐标x和y的均值为零，或者由下面推导可知iiiii=1i=1则斜率的计算公式可以简化为迓y=(y-y)=迓y-Ny=Xy-Nf丄迓yiiiiNii=1i=1i=1i=1i=1迓x=X(x-x)=Xx-Nx=迓x-Nf丄迓xiiNi丿i=1i=1i=1a=XxyXx21iiii=1i=1=001XX01XX还原为原坐标有N(xX)(yy)iiN(X一X)2i=1面推导截距的计算公式NNx2NXyiiNNNNi=1Nii=1ii=1yiNi=1Ni=1Nii=1XyiiNi=1Ni=1Ni=1NNNNi=1i=1Ni=1iyi4=1yiyiNN4=1Ni4=1XyiiNNNi=1i=1iNNXyiiNNNi=11Ni=1这样