数据、模型与决策课件：第八章 时间数列模型应用：由历史数据预测未来数据

1、授课目的：通过时间数列模型的构建达到 由历史数据预测未来的目的要求：1.掌握时间数列与预测的基本原理 2.利用不同公式对时间数列进 行动态描述并基于其进行预测 3.掌握移动平均法和指数平滑法 4.掌握复合型时间数列的预测方法第八章 时间数列模型应用：由历史数据预测未来数据本章要点时间数列与预测基本知识时间数列的动态描述移动平均法和指数平滑法复合型时间数列的预测本章要点联系图第一节 时间数列与预测基本知识 1.不同类别的预测方法2.时间数列的特征和预测方法概说3.预测误差的测度不同类别的预测方法决策者所掌握的数据都是描述当前现象和历史状况的，而决策者要做的是对未来行动做出决策，因而需要关于未来的

2、数据。未来数据不是凭空想象的，它建立在对现实和历史数据规律的基础上。根据现实和历史数据规律导出关于未来的数据，这就是预测。不同类别的预测方法预测人员根据自己所了解的情况，结合自身的经验和专业知识水平，对所关注的现象发展前景的性质、方向和程度进行综合分析，做出判断。经常使用的方法有头脑风暴法和德尔菲法。定量预测的前提是预测人员掌握较为完整的数据，依据数据内在的规律，建立模型，推知未来。定量预测方法分为时间数列方法和计量经济方法。前者仅凭借所预测现象自身的时间数列数据，后者需要所预测现象的数据和与之有关联的其他现象的数据所构成的拼纳数列。定性预测定量预测时间数列的特征和预测方法概说从数理角度和经济

3、角度研究时间数列的特征，有不同的表述。平稳性时间数列和非平稳性时间数列时间数列的四因素构成时间数列预测方法概说平稳性时间数列和非平稳性时间数列如果一个时间数列只表现为随机波动，不存在明显的持续增长或下降的趋势，其波动幅度在不同的时间也没有明显的差异，这个时间数列属于平稳性时间数列。反之，如果一个时间数列存在持续增长或下降的趋势，或者其波动幅度在不同的时间存有明显的差异，这个时间数列属于非平稳性时间数列。平稳性时间数列非平稳性时间数列从数理角度研究时间数列，将其特征分为平稳性（stationary）和非平稳性（non-stationary）。时间数列的四因素构成从经济研究角度，根据影响现象发展变

4、化的因素的性质和作用不同，把它们归纳为四类：长期趋势季节变动循环变动不规则变动时间数列的四因素构成长期趋势（secular trend）是指经济现象由于受到某些决定性因素的作用，在较长一段时间内呈现的稳定运动态势，记为T。季节变动（seasonal variation）是指经济现象因受自然条件、社会风俗习惯等原因的影响，在一个年度内随季度（月份）呈现的周期性波动，记为S。循环变动（cyclical variation）又叫周期性波动，它指经济现象在若干年时间内高涨谷峰低落谷底再高涨的周而复始的商业景气循环，记为C。不规则变动（irregular variation）是指经济现象受临时的、偶尔的

5、因素或不明的、突发性原因影响而呈现的无规则、非周期变动，记为I。可以把时间数列观察值看成是四因素交互相乘结果，即：Y=TSCI。时间数列的四因素构成循环变动虽然也是一种周期性变动，但周期长短不像季节变动那样有明确的长度。如果所观察的时间间隔不够长，很难测定周期变化。出于以上考虑，从平稳性和非平稳性的角度来构建时间数列模型，开展预测。非平稳性时间数列的趋势性（trend），既包括长期趋势，也包括循环变动的因素。非平稳性时间数列中的第二种波动在一个较长时间段内不同间隔上呈现有规律的起伏涨落，即是季节性（seasonality）。时间数列预测方法概说因为其不存在明显的趋势或者季节性，使用简单的平均方

6、法进行预测有季节变动外加于趋势延伸和在回归模型中植入季节因素两种预测方法平稳性时间数列具有趋势和季节性的非平稳性时间数列只具有趋势的非平稳性时间数列使用复杂的平均方法进行预测，也可以使用最小二乘法建立预测变量对于时间变量的回归模型进行预测预测误差的测度在实际应用中，一个现象的预测，往往不只使用一种预测方法，而是使用若干种预测方法，择其中优者取之。两预测方法相比较，预测误差小者为优。预测误差的测度使用若干对观察值和预测值之间的综合差距作为预测误差的测度量数具体有4种均方误差根均方误差绝对离差均值绝对百分误差均值预测误差的测度均方误差（mean square error） 根均方误差（root m

7、ean square error） 绝对离差均值（mean absolute deviation） 绝对百分误差均值（mean absolute percent error） 第二节 时间数列的动态描述1.增长量2.动态比率和增值率3.同比分析4.基于动态描述量数的预测增长量增长量（increment）是两个前后时间观察值相减的差额，用以反映现象在这段时期内发展水平提高或降低的绝对量。计算公式为逐期增长量和累计增长量根据对比的基期不同，增长量分为逐期增长量和累计增长量。 逐期增长量是报告期数值与前一期数值之差，说明本期与上期相比增长或降低的绝对量。其计算公式为逐期增长量和累计增长量如果从初始期

8、后第一年开始连续计算逐期增长量，可以分别得到 。逐期增长量在数理上称为（一级）差分。一个平稳性时间数列的各项差分值，大致是围绕0上下随机分布，一般绝对值不会很大。一个非平稳性时间数列的各项差分值，绝大多数在0的一侧，其数值呈现一定规律性。逐期增长量和累计增长量累计增长量是报告期数值与某一固定时期数值(通常是初始期数值)之差,说明本期比某一固定时期增长或降低的绝对量，反映某一段较长时期内的增长量。其计算公式为逐期增长量和累计增长量如果从初始期后第一年开始连续计算逐期增长量，可以分别得到 。一个非平稳性时间数列的累计增长量，相对于同一时期各个逐期增长量之和，体现“累计”一词的意义。即一个平稳性时间

9、数列的累计增长量，与其同时期的各个逐期增长量相比，规模上不会有变化，因此累计无意义。例8-120032007年某公司手机产量如超链接所示，在此基础上可计算手机产量的逐期增长量（置于第3列）和累计增长量（置于第4列），并计算年平均增长量。.例题数据例8-1.xls平均增长量平均增长量各个逐期增长量的动态平均数，用以说明所研究现象在一定时期内平均每期增长的绝对数量。对于时期数列 ，平均增长量计算公式为 = = 平稳性时间数列的平均增长量接近于0，而非平稳性时间数列的平均增长量明显地有别于0。动态比率和增值率动态比率增长率平均增长率动态比率动态比率（dynamic relative）是以相对数的形式

10、表现的动态描述量数，它是两个不同时期相关数值对比的结果。动态比率可用来说明客观现象发展变化的快慢程度，表明报告期水平已发展为基期水平的多少倍或者百分之多少。计算公式为：动态比率对于一个时间数列计算动态比率，由于基期的不同而分为环比动态比率定基动态比率动态比率基期随着报告期的变动而变动，前后相差一期说明现象逐期的变化幅度，用符号表示为基期固定（通常固定在初始期数值）说明现象在一较长时间内的变动程度，因此又叫某一时间内的总动态比率，用符号表示为环比动态比率定基动态比率例8-219972006年全国私人汽车保有量，在此基础上可计算手机产量的环比动态（置于第3列）和定基动态比率（置于第4列），并计算年

11、平均增长率。.例题数据例8-2.xls动态比率一个非平稳性时间数列的环比动态比率，绝大多数在1的一侧其数值呈现一定规律性其定基动态比率，相对于同一时期各个环比动态比率之积一个平稳性时间数列的各个环比动态比率，大致是围绕1上下随机分布一般数值不会很大其定基动态比率，与其同时期的各个环比动态比率相比，规模上不会有变化非平稳性时间数列平稳性时间数列增长率增长率亦称增长速度（growth rate），是根据增长量与基期数值对比求得，用于说明报告期数值比基期数值增长了若干倍（或百分之几），用公式表示为：增长率 r= = 增长率环比增长率，用符号表示为定基增长率，用符号表示为环比增长率定基增长率由于基期的

12、选择不同，增长率也有环比增长率和定基增长率之分。平均增长率计算平均增长率得先求平均动态比率。平均动态比率是各时期环比动态比率的几何平均数，计算公式为： =式中: 表示为平均动态比率； 表示为各个时期环比动态 比率， ， 为连乘符号。平均增长率由于各期环比动态比率的连乘积等于最后一期的定基动态比率，因此上式又可表示为： =平均增长率上述两个公式可以根据所掌握的数据不同选择运用。如果只有各期的环比动态比率资料，可用前一个公式计算；如果所掌握数据为最初水平和最末水平，可用后一个公式进行计算。平均增长率 平均增长率有正负，分别表示平均递增程度和平均递减程度。同比分析对于按月（季）度排列的时间数列，通常

13、使用与上一个年份同一月（季）度的水平进行环比的分析方法，称为“与去年同期相比”，简称“同比”。对于含有季节性非平稳时间数列，既可以使用“同比”方法，也可以使用环比方法，但两者从不同角度描述增长，有不同意义。基于动态描述量数的预测基于动态平均数进行预测 使用时期数列的动态平均数进行预测 使用时点数列的动态平均数进行预测基于平均增长量进行预测基于平均增长率进行预测基于动态平均数进行预测一个平稳性的按年度观察的时间数列，没有趋势变化，仍然假设其未来还不会有趋势变化，因此其预测值就等于动态平均数。使用时期数列的动态平均数进行预测一个含有n项数值的时期数列的动态平均数，按下述公式计算得到使用时点数列的动

14、态平均数进行预测时点数列的情况通常在各时间段末观察和记录数值。为了计算动态平均数，需要先将数列的数值对准各时间段中点。具体办法是以两个相邻时段的段末数值的平均数作为段中数值。使用时点数列的动态平均数进行预测如果有时点数列 ，则转化成对准段中的数列各项分别为 。将数列的对准段中的各项相加，除以项数，即得到该时点数列的动态平均数。公式如下： 这个公式可称为“首尾折半平均法”。例8-1例81基于平均增长量进行预测如果一个非平稳性数列的各项差分值出入不大，可以用平均增长量预测其未来值。例8-31999年2006年我国高速公路通车里程。根据这个数列预测2011年通车里程。.例题数据例8-3.xls基于平

15、均增长率进行预测如果一个非平稳性数列的逐年动态比率（或增长率）各项值出入不大，可以用平均增长率预测其未来值。例82第三节 移动平均法和指数平滑法1.移动平均法2.指数平滑法3.二次移动平均和二次指数平滑移动平均法移动平均法（moving average method - MV）依照时间顺序，对数列中若干期观察值求算术平均数作为下一期的预测值，随时间逐项推移，每推进一步，舍弃一个历史远期数值，纳入一个近期数值，保持平均数所含观察值个数恒定。移动平均法设时间序列为： ，移动平均公式为 （ ）式中： 是第t +1期的预测值； 为第 t期的移动平均数； n 为每次移动平均包含的观察值个数，称为步长。若

16、一时间数列观察值围绕一个水平线呈小幅度上下波动，其短期预测宜采用移动平均法。指数平滑法某期的平滑值相当于本期及以前各期观察值 的加权平均。其权数分别是 ， 为平滑系数，公式是由于权数符合指数规律，又具有平滑波动的功能，故称为指数平滑。指数平滑法上式可以转换为以某期的平滑值作为下期的预测值，有指数平滑法进行指数平滑预测，需要指定初始预测值 。当时间数列较短时，以初始观察值作为该期预测值；当时间数列较长时，取开头若干项观察值的平均数；当时间数列充分长时，可任意确定。指数平滑法值代表了预测模型对时间序列数据变化的反应速度。 的值应根据时间序列的具体情况，在01之间做出选择。较大的 值，能够使得平滑结

17、果对数列近期变化有较为敏感的反应。较小的 值，让数列中早期数值对平滑结果发挥较多的影响。二次移动平均和二次指数平滑对一次移动平均形成的新数列再做一次移动平均，即所谓二次移动平均（double moving average）。此法利用移动平均滞后偏差的规律建立直线趋势预测模型对含有直线趋势的数列进行预测。同理，也可以做二次指数平滑，对含有直线趋势的数列进行预测。二次移动平均二次移动平均法主要适用于时间数列呈现直线升降趋势的经济现象的预测。将公式 改写为 式中 表示第t期的一次移动平均数。再以 表示第t-1期的一次移动平均数，以下依次类推。二次移动平均则第t期的二次移动平均数为二次移动平均在一次移

18、动平均数和二次移动平均数的基础上按下式求出二次移动平均预测模型的系数 （k =1,2, ）式中： t为当前时期数； 为第（t+k ）期的预测值； 、 均为线性预测模型中的参数， 为截距， 为斜率。例8-4我国北方某旅游城市2001年2010年入境旅游人次数.例题数据例8-4.xls据此数据使用二次移动平均法预测2011年和2012年的入境旅游人次数。二次移动平均法预测模型中的系数值随期数不同而改变，因此它仅适宜作短期预测。进行中、长期预测，可能会产生较大的误差。二次指数平滑当时间数列的变动呈现直线升降趋势时，用一次指数平滑法进行预测，会出现明显的滞后偏差。因此，也必须加以修正。修正的方法是，在

19、一次指数平滑的基础上，再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律来建立直线趋势模型,这就是二次指数平滑法。二次指数平滑分别用 表示t期的一次平滑值和二次平滑值，有公式二次指数平滑二次指数平滑法的预测模型是二次指数平滑截距 和截距 分别由以下二式确定：例8-520002010年某商场的啤酒销售额资料。.例题数据例8-5.xls使用二次平滑指数法预测20112013年该商场的啤酒销售额。二次指数平滑法很重视近期数据，当得到了一个新的实际数据，就能很快地计算出直线趋势方程中 和 的值，及时调整趋势直线的截距和斜率，使得趋势方程比较接近实际。但是，直线趋势方程系数的值也不可能长久不变，因此，利用趋势方程只适

20、宜作短期的直线趋势预测。第四节 复合型时间数列的预测1.基于趋势拟合与预测2.趋势外加季节变动的预测3.内含季节因素的趋势拟合预测基于趋势拟合与预测首先以时间为自变量，数列观察值为因变量，使用最小二乘法拟合趋势模型。然后沿时间外推，得到时间数列预测值。最常见的趋势方程有线性、指数曲线和抛物线。基于趋势拟合与预测判断一个时间数列用哪一种趋势方程拟合，一般有两种方法：一种是根据线形图的态势，另一种是根据对时间数列观察值的预分析计算。基于趋势拟合与预测若一时间数列观察值的逐期增长量称为一阶差量大致为一常数，宜使用直线方程拟合。若一时间数列观察值的逐期增长量称为二阶差量大致为一常数，宜使用抛物线方程拟

21、合。需要注意的是，有些时间数列从散点图上不呈现抛物线的极大（小）值态势，但是只要其二阶差量趋于常数，仍然是用抛物线方程拟合。若一时间数列观察值的环比动态比率大致为一常数，宜使用指数方程拟合。直线趋势方程的拟合直线趋势（linear trend）方程为使用第七章的回归方程解法，求得方程的系数。系数b表示平均增减量，即每向前推进或 后退一个时间单位趋势值的变动量。b0为增加量，b0为减少量。系数 表示时间编码的0年的趋势值。指数曲线趋势设指数曲线趋势（exponential trend）方程为确定了系数 与b的值就确定了指数曲线方程。根据最小二乘法原理，首先把指数曲线两边取对数化成直线型，有将上式

22、中的（ ）视为一个随时间t 而变化的新因变量，（ ）和（ ）视为该线性回归方程的截距和斜率。解得：然后用反对数即可求出系数值，有抛物线趋势抛物线趋势（quadratic trend）方程为本书第七章有关于抛物线回方程的解法和例题，此处只是以时间作为自变量，其他都一样。趋势外加季节变动的预测趋势外加季节变动的预测，就是先测度时间数列的趋势，然后再测度其季节性，以此外推做预测。例8-5.例题数据例1-4.xls先将表1.4的数据整个按纵向排列，并加编时间编码。于是形成屏8.6的A1D41，其中第一行书写列标题，A列为年份；B列为季度，14反复出现10次；C列为时间编码140；D为观察值即实际入境人

23、次数。为了预测2011年的数据，在A42C45填写相应数据，其中重要的是C列的时间编码4144。经过折线图观察，该数列呈线性趋势。E2=TREND（$D$2$D$41，$C$2$C$41，C2）,拷贝至E3E45。于是得到20012010年线性趋势值和2011年预测值。在F列计算观察值对趋势值的比率简称“观趋比”，以百分数形式列出，这是为了从观察值中剔除趋势成分，其剩余部分仍含有季节性和随机性。把F列的数据转换成年季的行列格式，可以看出：差不多每个年份四个季度的观趋比都呈现“高低高低”的起落，但是起落的幅度各不相同。这种起落有序由数列的季节性决定，而起落幅度不等则是受随机性因素扰动的结果。对1

24、0个年份同一季度的观趋比求平均数，就剔除掉随机扰动，得到对季节性的测度量数季节指数。季节指数的计算在电子表格的J1K5区域进行。首先在J1J5复制B1B5的内容，在K1单元格写“季节指数”，K2K5留给计算结果。实现对表8.12第2列第一季度10个观趋比求平均数的计算，在电子表格中使用下面的函数K2 =SUMIF($B$2:$B$41,J2,$F$2:$F$41)/COUNTIF($B$2:$B$41,J2) 该函数分子部分的关键是在F列寻找符合条件的数值求和，其条件是拿J2的数值1与B列中所有数值对照，凡B列等于1的那一行的观趋比参加求和计算。分母部分是点数B列等于1的数值的数目。两者相除，

25、即得到第一季度的季节指数。将此函数拷贝至K3:K5，就得到第二至四季度的季节指数。这4个季节指数分别是100.2%，97.3%，106.4%和96.1%，它们测度各季节入境人次数的一般波动幅度。最后一步是计算10个年份每个季度的预测值，它们由10个年份每个季度的趋势值乘以相应季度的季节指数得到。计算在电子表格的G列进行，G2=E2*VLOOKUP(B2,$J$2:$K$5,2)，拷贝至G3:G45。其中使用了查找函数VLOOKUP(B2,$J$2:$K$5,2)。在B列存放的是反复出现的季度号码14，具体B2单元格存放的是1.在$J$2:$K$5区域查找与B2单元格数据相等的数值，则该数值（J2=1）