线性代数重要公

1、线性代数重要公作者：日期：21、队列式1.n队列式共有n2个元素，睁开后有n!项，可分解为2n队列式；代数余子式的性质：、Aij和aij的大小没关；、某行（列）的元素乘以其余行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAijAij(1)ijMij4.设n队列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得队列式为n(n1)D1，则D1(1)2D；将D顺时针或逆时针旋转90o，所得队列式为n(n1)D2，则D2(1)2D；将D主对角线翻转后（转置），所得队列式为D3，则D3D；将D主配角线翻转后，所得队列式为D4，则D4D

2、；5.队列式的重要公式：、主对角队列式：主对角元素的乘积；、副对角队列式：副对角元素的乘积n(n1)(1)2；、上、下三角队列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积n(n1)(1)2；、拉普拉斯睁开式：AOACAB、CAOA(1)mgnABCBOBBOBC、范德蒙队列式：大指标减小指标的连乘积；、特点值；对于n阶队列式A，恒有：EA证明A0的方法：、AA；nkknk，此中k为k阶主子式；(1)SSk1、反证法；、结构齐次方程组Ax0，证明其有非零解；、利用秩，证明r(A)n；、证明0是其特点值；12、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：0（是非奇怪矩阵）；r(A)n（是满秩矩阵）的行（列）向量

3、组线性没关；齐次方程组Ax0有非零解；Rn，Axb总有独一解；与E等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特点值全不为0；ATA是正定矩阵；A的行（列）向量组是Rn的一组基；是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：AA*A*AAE无条件恒建立；3.1*11TT1*T(AT*(A)(A)(A)(A)(A)(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1矩阵是表格，推导符号为波涛号或箭头；队列式是数值，可求代数和；5.对于分块矩阵的重要结论，此中均A、B可逆：A1若AA2，则：OAs、AA1A2LAs；A111A21；AOAs1、OOBABOCOB11AO1；（主对角分块）OB1B1O

4、；（副对角分块）A1O11A1CB1AOB1；（拉普拉斯）2、AO1A1O；（拉普拉斯）CB11B1BCA一个的：3、矩阵的初等变换与线性方程组mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是独一确立ErO；FOOmn等价类：所有与A等价的矩阵构成的一个会合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)A:B；行最简形矩阵：、只好经过初等行变换获取；、每行首个非0元素一定为1；、每行首个非0元素所在列的其余元素一定为0；初等行变换的应用：（初等列变换近似，或转置后采纳初等行变换）r可逆，且XA；A1、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变为A

5、1B，即：c(A,B)(E,A1B)；、求解线形方程组：对于个未知数个方程Axrnnb，假如(A,b):(E,x)，则A可逆，且xA1b；初等矩阵和对角矩阵的观点：、初等矩阵是行变换仍是列变换，由其地点决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1、2，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的On各列元素；111、对换两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，比如：11；11、倍乘某行或某列，符号E(i(k)，且E(i(k)1E(i(1)，比如：k31110)；k(k1k1、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)1E(ij(k)，如：1k1k10)；11(k1

6、1矩阵秩的基天性质：、0r(Amn)min(m,n)；、r(AT)r(A)；、若A:B，则r(A)r(B)；、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B)；（）、r(AB)r(A)r(B)；（）、r(AB)min(r(A),r(B)；（）、假如A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（）、B的列向量所有是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；、r(A)r(B)n、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；6.三种特别矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：必定能够分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量

7、）的形式，再采纳联合律；1ac、型如01b的矩阵：利用二项睁开式；001二项睁开式：(ab)nnCnmambnm；Cn0anCn1an1b1LCnmanmbmLCnn1a1bn1Cnnbnm0注：、(ab)n睁开后有n1项；、Cnmn(n1)LL(nm1)n!m)!Cn0Cnn11g2g3gLgmm!(n、组合的性质：Cnmn11；CnnmCnm1CnmCnm1Cnr2nrCnrnCnrr0、利用特点值和相像对角化：4陪伴矩阵：、陪伴矩阵的秩：r(A*)nr(A)n1；1r(A)n0r(A)n1、陪伴矩阵的特点值：A(AXX,A*AA1A*XAX)；、A*AA1、A*An18.对于A矩阵秩的描

8、绘：0，n1阶子式所有为0；（两句话）、r(A)n，A中有n阶子式不为、r(A)n，A中有n阶子式所有为0；、r(A)n，A中有n阶子式不为0；线性方程组：Axb，此中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数同样，即方程组Axb有m个方程；、n与方程组得未知数个数同样，方程组Axb为n元方程；10.线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只好使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：a11x1a12x2La1nxnb1、a21x1a22x2La2nxnb2；LLLLLLLLLLLam1x1am2x2

9、Lanmxnbna11a12La1nx1b1、a21a22La2nx2b2Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，MMOMMMam1am2Lamnxmbm个未知数）、x1a1a2Lanx2Mxna1x1a2x2Lanxnb1（所有按列分块，此中b2）；Mbn（线性表出）、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）54、向量组的线性有关性1.m个n维列向量所构成的向量组A：1,2,L,m构成nm矩阵A(1,2,L,m)；T1m个n维行向量所构成的向量组B：1T,2T,L,mT构成mn矩阵BT；2MTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；、向量组的线性有关、没关Ax0有

10、、不过零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb能否有解；（线性方程组）、向量组的互相线性表示AXB能否有解；（矩阵方程）3.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必需条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14)4.r(ATA)r(A)；(P101例15)5.n维向量线性有关的几何意义：、线性有关0；、,线性有关,坐标成比率或共线（平行）；、,线性有关,共面；线性有关与没关的两套定理：若1,2,L,s线性有关，则1,2,L,s,s1必线性有关；若1,2,L,s线性没关，则1,2,L,s1必线性没关；（向量的个数加加减减，两者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个重量，构成n

11、维向量组B：若A线性没关，则B也线性没关；反之若B线性有关，则A也线性有关；（向量组的维数加加减减）简言之：没关组延伸后仍没关，反之，不确立；向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性没关，则rs(二版P74定理7)；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示AXB有解；r(A)r(A,B)（P85定理2）向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推论）68.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,L,Pl，使AP1P2LPl；、矩阵行等价：rPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解AB、矩阵列等价

12、：cAQB（右乘，Q可逆）；AB、矩阵等价：ABPAQB（P、Q可逆）；对于矩阵Amn与Bln：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组拥有同样的线性有关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10.若AmsBsnCmn，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组Bx0的解必定是ABx0的解，考试中能够直接作为定理使用，而无需证明；、ABx0只有零解Bx0只有零解；、Bx0有非零解ABx0必定存在非零解；12.设向

13、量组Bnr:b1,b2,L,br可由向量组Ans:a1,a2,L,as线性表示为：（P110题19结论）(b1,b2,L,br)(a1,a2,L,as)K（BAK）此中K为sr，且A线性没关，则B组线性没关r(K)r；（B与K的列向量组拥有同样线性有关性）（必需性：Qrr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可看作定理使用；Pmn，存在nm，m13.、对矩阵AQAQEr(A)m、Q的列向量线性没关；（87）、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEnr(A)n、P的行向量线性没关；14.1,2,L,s线性有关存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks，

14、使得k11k22Lkss0建立；（定义）x1(1,2,L,x20有非零解，即Ax0有非零解；s)Mxsr(1,2,L,s)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：7r(S)nr；16.若*为Axb的一个解，1,2,L,nr为Ax0的一个基础解系，则*,1,2,L,nr线性没关；（P111题33结论）5、相像矩阵和二次型正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTiaj、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘掉施密特正交化1ij0i(i,j1,2,Ln)；j；和单位化；施密特正交化：(a1,a2,L,ar)b1a1；b1,a2b2a2b1,b1gb1LLLbrarb1,argb1b2,argb2Lbr1,argbr1;b1,b1b2,b2br1,br1对于一般方阵，不一样特点值对应的特点向量线性没关；对于实对称阵，不一样特点值对应的特点向量正交；4.、A与B等价A经过初等变换获取B；PAQB，