林细细讲义第五章一般均衡

1、第五章 一般均衡理论预备知识：Brouwer不动点定理设 是非空集、紧集和凸集。设是连续映射，那么在集合中，存在至少一个的不动点。也就是说，存在至少一个，使得。前面我们分析了局部均衡，并研究了不同市场结构下的某一市场上供求相等均衡结果。在局部均衡分析中，我们假设一个市场的活动是独立于其他市场的。一般均衡分析则是考虑市场之间的相互影响的前提下，同时决定所有市场供求相等的价格与数量。交换经济的均衡1、交换效率：假定两种商品的初始配置状况决定了，两个消费者之间通过贸易能够使双方获益。这就意味着，这种初始的商品配置是经济上无效率的。2、帕累托效率(Pareto efficiency)：商品配置的一种状

2、态，在这种状态下没有人能够在不使其他人受损的情况下使自己得益。3、帕累改进：商品配置的一种状态，在这种状态下某人能够在不使其他人受损的情况下使自己得益。4、所有的无差异曲线的切点的连线构成契约线。帕累托效率点位于契约线上。交换经济：不考虑生产。消费者拥有固定数量商品的禀赋。假设消费者有第一章中的偏好，并通过交换使得自己的效用最大化。我们以两个消费者和两种商品禀赋的情况为例。假设市场上有两个消费者1和2，有两种商品和，消费者各自的禀赋为： ，其中： 下面我们通过Edgeworth可以分析交换是如何发生的以及哪一种的商品配置是有效率的，即达到帕累托效率。多种商品，多个消费者的情况：消费者集合：，有

3、种商品，第个消费者的偏好为：；初始禀赋为：；交换经济为：整个经济中的禀赋：整个经济中的配置：，其中：可行的配置集：定义5.1：帕累托效率配置：对可行配置，如果没有配置 使得对于所有的消费者，有，且至少对一个消费者有 ，则配置具有帕累托效率。在两个人两种商品的交换经济中，契约线是帕累托效率配置。帕累托改善：对可行配置，如果存在配置，使得对于所有的消费者，有，且至少有一个偏好关系是严格的，则配置是配置的帕累托改善，或者配置存在帕累托改善。 定义5.2：Blocking Coalitions（抵制联盟）表示消费者集合中的一个联盟，相对于配置，如果有配置，使得：（1） （2）对所有的中的消费者，有 ，

4、且至少有一个偏好关系是严格的，则说抵制配置。定义5.3：交换经济的核：禀赋为的交换经济的核是所有不受抵制的可行配置的集合。说明：在Edgeworth盒中，由任意两条无差异曲线的交点所形成的可行配置一定是存在抵制联盟的，它被两个消费者所形成的联盟所抵制。因为在交点所形成的凸透镜中的任何一个可行配置，对两个消费者来讲都是比交点好的。所以相切的点才不存在抵制联盟，但凸透镜以外的点又两个不同的消费者所抵制，所以是无差异曲线在凸透镜中的契约线。均衡：不存在抵制联盟的可行配制。请证明：核包含在帕累托效率配置中。（即：一个可行配置是核中的点，它一定具有帕累托效率，但反之，帕累托效率配置并不一定在核中。）完全

5、竞争市场上的一般均衡一、均衡的存在性为了简单起见，我们首先考虑一个纯交换经济的情况。假设5.1 消费者的效用函数效用函数在上连续、严格递增、严格拟凹给定价格及禀赋，消费者的问题为：该问题的解为需求函数：。定理5.1 消费者需求的基本特征如果满足假设5.1，对于每一个价格向量 ，消费者的问题有唯一的解。另外， 在空间中关于价格向量连续。证明：首先证明消费者问题存在解。根据根据假设5.1（1）由于效用函数是连续函数，其定义域是有界闭集（紧集），所以，根据Weistrass极值存在性定理，知该问题有解决。其次证明解的唯一性。：根据假设5.1（3）知。商品的市场需求函数：消费者需求函数 的加总： 商品

6、的市场供给函数：消费者供给函数 的加总：商品的过度需求函数： 有过度需求； 供需相等； 供过于求所有商品的市场需求：消费者需求函数的加总：所有商品的市场供给：消费者供给函数 的加总：总过度需求函数是向量值函数：定理5.2：总过度需求函数的特征：如果对于每个消费者，满足假设5.1，那么对于所有的，有：1、连续性：总过度需求函数关于连续；2、零次齐次性：对于所有的 ，有 3、瓦尔拉斯法则：证明：1、连续性：根据定理5.1，代表性消费者的需求函数在上连续，因此，总市场需求函数在上连续，经济中的禀赋外生给定，所以总超额需求函数为连续函数。2、零次齐次性：对单个消费者，预算集为，这与预算集 相同，消费者

7、需求不变，总过度需求不变。3、瓦尔拉斯法则： 对代表性消费者，有约束条件 ，即： 对消费者 加总，有，即：其中，为消费者对商品的过度需求。 ：对商品的总过度需求。 所以有：即：两种商品的经济中，有 ，这表明：如果第一种商品有过度需求，则在第二种有过度供给。注意：瓦尔拉斯法则并没有说在任何价格水平下，总超额需求为零，而是说，在某些商品上存在过度需求时，在其他商品上存在过度供给。下面我们寻找所有商品市场同时达到均衡即总超额需求为零的条件。定义5.5：瓦尔拉斯均衡如果有价格向量，使得，则价格向量称为瓦尔拉斯均衡。注意：瓦尔拉斯均衡为一价格向量，它使超额总需求为零。定理5.3：总超额需求与瓦尔拉斯均衡

8、假设 满足下列三个条件：1、连续性： 在上连续；2、瓦尔拉斯法则： ；3、的价格向量序列收敛于且在中某商品的价格，则对于价格的商品，与价格向量数列相对应的过度需求数列无上界。（由于价格趋于零，所以需求趋于无穷，当然过度需求数列无界）则存在向量使得证明：由于应用Brouwer不动点定理需要函数是连续的，但是，当某些商品的价格为零时，该商品的需求为无穷大，呈现不连续的特征。必须把这种情况排除除去，设法保证。为此，对固定的，定义集合：是有界集：是闭集： 是凸集：对 定义，则 （1）同时， （2）（1）+（2）是凸集。非空集：点对每一种商品，定义：，则有上界1，并且由瓦尔拉斯法则，对于，有：构造价格调

9、整函数：（之所以叫价格调整函数，当，即供不应求时，价格上升；反之，不调整。）由定义知： 同时，所以，上的映射。由于是连续函数，所以也是连续函数，进而也是连续函数，从而是定义在有界、非空、闭凸集上，从自身到自身的连续映射，由Brouwer不动点定理知：存在，使得：，或者：由此：现在让，则我们可以得到一个价格向量序列，由于是有界序列，所以由Weierstrlass定理，一定存在收敛的子序列，假设其极限为。即可能是边界上的点，也可能是内点：。下面我们将证明，一定是内点。用反证法。假设该子序列收敛于，是边界上的点，不妨假设，即商品的价格收敛于零。于是由条件（3）知：当时，无上界。两边关于取极限：右边=

10、矛盾。所以不可能是边界上的点，只可能为内点，即。两边关于取极限：等号两边再乘以并关于求和得：由于，所以有：，有此可以推出：，而又由于于是由，及，和知：定理5.4 如果消费者的效用函数满足假设5.1，各种禀赋的总数量严格为正，即，那么总超额需求满足定理5.3。证明：（1）和（2）条件，可以由定理5.2推得。下面只要证明条件（3）也满足，定理即得证。考虑一个严格为正的价格向量序列，设所以至少有一个消费者满足条件：考虑需求并且假设该需求序列是有界的，因为：，所以当时有：。定义：其中1在第个位置上。则： 由于效用函数是连续的，所以存在，使得 ，由于，所以当很大时有： 这与是最优解相矛盾。所以消费者的需

11、求一定是无界的。即至少对某一个商品的需求是无界，比如是，消费者的收入是有限的，要满足无限的需求，所以商品的价格必须为零。由于供给是有限的，所以无限的需求等价于无限的超额需求。定义：使得 的向量，叫做Walras均衡。定理5.5 如果消费者的效用函数满足假设5.1，各种禀赋的总数量严格为正，即，那么存在一个价格向量，使得：（说明：因为超额需求是零次齐次的，所以，所以消费者的选择只与相对价格有关系。）例题：有两个消费者的经济中，消费者的效用相同，都具有CES效用函数，他们的初始禀赋分别为：，求Walras均衡。解：二、效率1、瓦尔拉均衡配置（WEAs）对一些初始禀赋为e的经济而言，如果下列式子成立

12、，那么是一个瓦尔拉均衡。这里，分量i给出在价格的条件下，由消费者i所需求并接受的n维商品向量。被称为一个瓦尔拉均衡配置。引理5.1 设是初始禀赋为e的一些经济的一个瓦尔拉均衡，设是相关的瓦尔拉均衡配置（WEA），那么。引理5.2 设在上是严格递增的，消费者i的需求在时界定良好并等于，并且。如果，那么，。如果，那么，。证明：（1）反证法，即，如果此时，而，这与定义不符，产生矛盾。如果，那么，从定义来看则更加矛盾。（2）反证法，从出发，我们可以给每种所消费的商品的数量增加充分小，使得所产生的商品束满足。由于在上是严格递增，那么，同（1）矛盾。2、瓦尔拉均衡配置集（WEAs集）对于初始禀赋为e的任何

13、经济，设W（e）表示瓦尔拉均衡配置集定理5.6 核与竞争性经济的均衡考虑一个交换经济，如果每个消费者的效用函数在上是严格递增的，那么，每种瓦尔拉均衡的配置则处在核内。即证明：反证法，设，那么。如果，我们会找到一个联盟S与另一个配置y，使得并且且至少有一个取严格不等号于是由引理5.2，我们得到且至少有一个严格不等式成立。加总后得到但是矛盾故命题成立定理5.7 福利经济学第一定理在定理5.6的假说下，每个瓦尔拉均衡配置都是帕累托有效。证明：瓦尔拉均衡处于核内，一切核配置都是帕累托有效。定理5.8 福利经济学第二定理考虑一个拥有总的初始禀赋，且每个效用函数满足假说5.1的交换经济。设对于一个经济，是一个帕累托有效配置，并且禀赋被再分配，使得新的禀赋向量为。那么，是由形成的交换经济所产生的一个瓦尔拉均衡配置。 证明：由于是帕累托有效，因此也是可行