罗尔定理与拉格朗日中值定理的练习进步

1、、用罗护定理的有关方法d例1设f(对在习上连续，在(0,3)內可导,且y(0)十/(1)+/(2)二匕丁(3二L屮试证：必讎肚使八夢二E证；于在血习上连续H力在他2上连续且有最犬值Af和最小值狗一于是s/Afj.,故幣+十/(2)玉M由连续雷数介值定理可知，至少存在一点启e0:2使得/=|/(0)+/tt/(i=02证：由积外中倩定理可知，存在CEj:l,使得4对”0在心可上用罗尔罡理(三聲条件都满足)心故存在程他齡口癮亍魅)=2例斗设子在0上连续，在卫内可导/0=/(!)=0,0=1,试证z存在代G)，使。q对任意实数八存在苕亡(0仍，使得厂翳)乂找勺一勺=证明：1)令(x)=f(x)-x、

2、显魅它在0,1上连续又1)=-10,根拐介值定理，存在7e(|=l)使(肋=0即尹(力=帀心令F(x)=严鬧=ef(x)-x,它在0:胡上满足罗尔定理的条件故存在缸册，使FCS即Q严g)-4/(H=g城而(注&U的证明中相当于模型I中的情形其中取为久,八刃取肯g)=f(x)F存模型II：设丁&),茗仕)在比可上皆连续54内皆可导，且0)=0,=0,:则存在舟亡3町，使八孕卓器+/=2证：貪F(.x=则Fd)=F(b)二th显然F(x)在血b上満足罗尔定理的条件，贝佑在八使F=0,即证屮例3设FX在叮上连续山61)內可导，/(0)=0,疋揃正整数。屮求证：存在e(Cl:1)使得十矿二证：令)=(

3、x-l)。二0=1,贝”=0,(1=0,用模型H,存在M丘01)使得屮八1/十锯T严了=0心故/f(iX4-!)+)=0则绑卡财働詡廊例6莒（力在（化b）内可导，且或对H畑如,求证子（对在化内任意两个零点之间至少有一挙曆（工）的雰点屮证：反证法：设dJt=0,f（叼）=0而在（乱工訂内或为工0,贝冷F（x）=罕在西=葢訂上用罗尔定理卢VfM=/（X,）=a=.-.=卩60=唄=0屮g（斯）童山）（不妨假设肌珂）H0=苕也）H0否则结论已经成立）4则存在处（耳旳）使f空）=o,得出八嶷（-/（er（e=o与假i殳条件矛盾o所臥在街羽）内苕（X）至少有一个零点屮例7设八心或力在叵总二阶可导，且列（

4、力工又f佃）=/（&）二佃）二鼠叭二0求证？【在53内曲2”存在f巧，使孚1=竺屮gs（i）证:1）用反证法,如果存在ce（a:b）使g=0,则对S（JC）分别在0f和匚如上用罗尔定理，存在码eD使00二0,存在样3）使（壬）二o,再对（尤）在耳兀上用罗尔定理存在尼e（x1：兀）使（花）=0与假设条件（力工0矛盾。所以在（化b）內工2由结论可知即rk（i）-/（i）（4）=o,因此*令巩力=s）f（-g（x）f（x）?可以瞪证尺在gb上连续，在3町内可导f（c=丽=o满定罗尔定理的三个条件故存在红am使护=z于是沪鬆商7迪=碱蠢利用罗尔定理证明时辅助函数构造的练习设/（划在（足耐上连续，在见引

5、可导，且当丸E时,证明对任意实数应存在点歹3孑叭使厶鉴=k设在r（力。川上连续,在1）可导，mo）=tm=，求证：在内至少存在一点生使八驴二-尸设f（jc）=其中f（X）在1具有一阶连续导数，在卩力内二阶可导，且/（!）=/（2）=0,试证明存在eE（1,2）使FS=0.设爪刃可导,求证：打月的两个零点间一定有心+的零点.设卢（卫）在（YO,2）上可微；且门X）匸1?试证明方程/（X）=多有一实根数心在0J1上歸，在（M讷可导，且7（0=0,7（1）试证明：方程（i+x2）/U）=i在卩卫内至少有一个实根.设孑（工堆障止连续，在（g）內可导，且/（0）=0,对任意e（0,1）有心“证明存在“膜

6、鴛=刖设兀时在出,1上连续在他1）內可导,H/（0）=眞对仕意XeWJ）有心讥证明転心小使光严曾妙自然数）.10设门戈）在1屈上连续，在（）内可导,_/（!）证明方程,aAx）=1在（1Q内至少有一实根.11=i?设SI期（刘在卜計上连续,在（0寸讷可导，且=0?试证明方程曲xfx）=丄在J）内至少有一实根=i?7T127T设/（引在0fy上连续，在厲）内可导，且fW）=JTF试证明方程八巧=52在W伪至少有一实根13设3在0冷上连续，在（丐）内可导，且中二山证明存在一点e（0寻），使/（刃+tan（兰）/（）=0答案（先求EFM，则F（1）=D,因为/（I）=/（2）=0,由罗尔言理得：存3

7、三，m.三隹门=三二1二至三三三二乏巨4.合真：J7（A）=血芒一#曲3盘一工：*sia（1-1）A）（设八甲（八可）是/（对的两个零点，即/（2）=o,r何）=o，并设5h/z三二h二二三三二三逞（答棗把器二储于化为msw，或化为(ln/(x)r=-(ln/(l-x)f,故(h/(x)-ln=(lor/,所以8/.-Ai/.-i-A：l=C.m7.-Ai=/.Aj/.l-A)得时日（巧八刈八1-对-严伍）八1-刃=0(71In/(X)=-(lu/(L-x)J故(Lu/rt(x)-In./(I-=(lnC),.所以109/-.a)/.-.)=C10JEh(戈)=1化为/(X)=7可设FO=/(

8、jc)-lox:11(答案；把f=cosX化为/(x)-cosx=0T可12f(x)=/(x)-sinx12f(x)=/(x)-sinx)13（答案：把屮吨）氏i比为需+誥|“，刁13Lnf(x)-Lnsinx=InC设=f(x)sinx拉格朗日中值定理运用拉格朗日中值定理证明问题的一些特点+1-）皆代值的一阶或二阶导数如的等式或不等式的证明间题.常常通过对原式进行恒等变形，引迸合适的辅助函数韓Q,然后再刑用中值定理进行证明，2如果等式或不等式中含孜介值（如討的导数，则一般需要运用两次拉格朗日中值是理！3如果等式或不等式中含介值的二阶导数（如厂）,则可育濡要运用两次苴至三决拉格朋日中值定理：4

9、在运用拉格朗已中值定理进彳亍证明的问题中.有时需要结合运用连犊函隸的介值定理或秩莎中值定理3O更曲考试吧典型例羁：例匸设函数/（X在闭区间0；1止连练在开区间（QR内可导，且f（0）=0j（D=p证明:存在兵扣匚（|,1）,使得g4fM=学+贰注：年敢学二（2L）題本题满井10分）裁析：本题含双介值討需要运用两次中值定理。首先将原等式广Q十畑諾中的乙卩分咼口一优为广陆）孑=-八册-厂卜左右两边的形式相同L将/馆）-孕中艾艾得fx）-Y2=（/打订令珂对=/；屮对F（x）别在区间0f扌和+J上运用两欢拉格朗日中値定理可得所证*证：设匣数尸=/V）-*打由题意知/=-（0）=0,F（l）-0?在口m和时山上分别应用拉格朗日中值宦理，有一r（o）匸f“仏雋厂扣皿恥（弭,二弍相加，得FF=扌广-孑+了八）-刊，口口即广+广的二孑十沪侧2.己知釣麴丁在】上连练在（卽）内可导*且/（0）=0?/（l）=b证明;（I）荐在4e（0A）,&律街=1；（U）存在帝个不同的“养,便得r（?w）=L分析第一就不含导数.只渉及两数介血应该詡闲区闾上連续函数的介值轻里；第二部分为关于导数的裁介值问題.可考虑用拉格朗日中植罡理.但应注歎利用第十邯分