北京版高考数学总复习专题8.1空间几何体的表面积和体积（试题练）教学讲练

1、数学高考总复习PAGE PAGE 14学好数理化，走遍天下都不怕专题八立体几何【真题探秘】8.1空间几何体的表面积和体积探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.空间几何体的结构特征认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2019课标全国文,16空间几何体的结构特征2.空间几何体的表面积和体积理解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆)2015北京文,18空间几何体的体积直线与平面的位置关系以及平面与平面的位置关系的判定分析解读1.理解多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念,牢记它们的几何特征.2.理

2、解圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的形成过程,理解轴截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、圆台的空间问题转化为平面问题的方法.3.理解柱、锥、台、球的侧面积、表面积和体积的概念.4.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式.5.备考时关注以柱、锥与球的接、切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的试题.6.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,属于中档题.破考点 练考向【考点集训】考点一空间几何体的结构特征1.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱

3、锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案D2.如图所示,在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P,使得AP+D1P最小,则AP+D1P的最小值为.答案2+考点二空间几何体的表面积和体积3.已知四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,其中底面ABCD为正方形,PAD为等腰直角三角形,PA=PD=2,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()A.10B.4C.16D.8答案D4.已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中ABC是正三角形,AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()A.323

4、B.48C.24D.16答案A5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰直角三角形,AB=BC=1.点D为侧棱BB1上的动点.若ADC1周长的最小值为3+5,则三棱锥C1-ABC外接球的表面积为.答案36.(2020届北京人大附中月考,17)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图),设小正方形边长为x厘米,矩形纸板的两边AB、BC的长分别为a厘米、b厘米,其中ab.(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的

5、体积最大,并求出最大值.解析(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600平方厘米,故当a=90时,b=40,从而包装盒子的侧面积S=2x(90-2x)+2x(40-2x)=-8x2+260 x,x(0,20),因为S=-8x2+260 x=-8(x-16.25)2+2 112.5,故当x=16.25时,侧面积最大,最大值为2 112.5平方厘米.(2)包装盒子的体积V=(a-2x)(b-2x)x=xab-2(a+b)x+4x2,x0,b2V=xab-2(a+b)x+4x2x(ab-4abx+4x2)=x(3 600-240 x+4x2)=4x3-240 x2+3 600 x.当且仅当a=b=6

6、0时等号成立,设f(x)=4x3-240 x2+3 600 x,x(0,30),则f (x)=12(x-10)(x-30),于是当0 x0,所以f(x)在(0,10)上单调递增;当10 x30时, f (x)0,所以f(x)在(10,30)上单调递减.因此当x=10时, f(x)有最大值f(10)=16 000,此时a=b=60,x=10.答:当a=b=60,x=10时,纸盒的体积最大,最大值为16 000立方厘米.炼技法 提能力【方法集训】方法1空间几何体表面积与体积的求解方法1.(2016课标文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.323C.8答

7、案A2.(2015课标,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B3.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案44.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正

8、四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解析(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13A1B12PO1=136正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),

9、则0h6,O1O=4h(m).连接O1B1.因为在RtPO1B1中,O1B12+PO1所以2a22+h2=36,即a2于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+13a2h=133a=263(36h-h3从而V=263(36-3h2)=26(12-h2令V=0,得h=23或h=-23(舍).当0h0,V是单调增函数;当23h6时,V0,V是单调减函数.故h=23时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=23 m时,仓库的容积最大.评析本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.方法2与球有关的切、接问题的求解

10、方法5.(2017课标,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.34C.2答案B6.如图(2),在正方体盒子内镶嵌一个小球,使得镶嵌后三视图均如图(1)所示,且面A1BC1截小球所得的截面面积为23,则该小球的体积为( A.6B.43C.32答案B7.(2015课标,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256答案C8.九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都为直角三角形

11、的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A.8B.12C.20D.24答案C【五年高考】A组自主命题北京卷题组(2015北京文,18,14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.解析(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,OM平面MOC,所以VB平面MOC.(2)

12、证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,平面VAB平面ABC=AB,且OC平面ABC,所以OC平面VAB.因为OC平面MOC,所以平面MOC平面VAB.(3)解法一:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,所以AB=2,则OC=1.所以等边三角形VAB的面积SVAB=12ABBVsin 60=122232又因为OC平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于13SVABOC=3又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为33解法二:连接VO,与(2)同理,可证VO平面ABC,在等边三角形VAB中,AB=2,所以V

13、O=3.所以三棱锥V-ABC的体积等于13SABCVO=1312223思路分析(1)在ABV中,利用中位线定理得OMVB,由此证明VB平面MOC.(2)先证OCAB,再由平面VAB平面ABC证得OC平面VAB,由此证明平面MOC平面VAB.(3)解法一:通过三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,计算求解.解法二:直接求解V-ABC的体积.评析本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定,以及几何体体积的求解,考查学生空间想象能力和逻辑推理能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一空间几何体的结构特征(2019课标全国文,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代

14、表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,第二空3分)图1图2答案26;2-1考点二空间几何体的表面积和体积1.(2019课标全国,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为() A.86

15、B.46C.26D.6答案D2.(2018课标全国,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.83答案C3.(2018课标全国,12,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.543答案B4.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.答案105.(2019天津,11,5分)已知四棱锥的

16、底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案6.(2019课标全国,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案118.87.(2018天津,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱

17、锥A1-BB1D1D的体积为.答案18.(2017课标,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案149.(2017课标全国,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案3610.(2016课标全国文,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=54,O

18、D=22,求五棱锥D-ABCFE的体积解析(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.(2由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(4分)(2)由EFAC得OHDO=AEAD=14由AB=5,AC=6得DO=BO=AB所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(22)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,因为OD平面BHD,所以ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=五边形ABCFE的面积S=1268-12923=69所以五

19、棱锥D-ABCFE的体积V=1369422=232C组教师专用题组1.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.答案12.(2015课标,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长

20、方体分成的两部分体积的比值.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为973.(2015课标,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积解析(1)因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又

21、AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(5分)(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=x因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=32由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=22由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=1312ACGDBE=624x3=63.从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.(12分)【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020届山东夏季高考模拟,5)已知三棱锥S-ABC中,SAB=ABC=2,SB=

22、4,SC=213AB=2,BC=6,则三棱锥S-ABC的体积是()A.4B.6C.43D.63答案C2.(2019北京朝阳二模,7)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为线段CD和A1B1上的动点,且满足CE=A1F,则四边形D1FBE(如图所示阴影部分)在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和() A.有最小值32B.有最大值C.为定值3D.为定值2答案D3.(2019北京朝阳期末,8)以棱长为1的正方体各面的中心为顶点构成一个正八面体,再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体,那么该小正方体的棱长为() A.22B.33C.13答案C4.(2019北京海淀零模,8)如图所示,正方体ABCD-ABCD的棱长为1,E,F分别是棱AA,CC的中点,过直线E,F的平面分别与棱BB、DD交于M,N,设BM=x,x0,1,给出以下四个命题:平面MENF平面BDDB;当且仅当x=12时,四边形MENF的面积最小四边形MENF的周长L=f(x),x0,1是单调函数;四棱锥C-MENF的体积V=h(x)为常数函数.以上命题中假命题的序号为()A.B.C.D.答案C二、填空题(每小题5分,共20分)5.(2019北京石景山一模,12)若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其表面积的值可能是.(只需写出