罗尔中值定理的内容及证明方法

1、罗尔中值定理的内容及证明方法定理的证明证明：因为函数f(x)在闭区间la,b 1上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M和m表示，现在分两种情况讨论：若M二m,则函数f (x)在闭区间la,b 1上必为常数，结论显然成立。若M .m，贝U因为f(a)二 f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在a,b内某点处取得，从而是f(x)的极值点，由条件f(x)在开区间a,b内可导得，f(x)在处可导，故由费马定理推知：f(J=O。罗尔中值定理类问题的证明罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理 的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。形如“在a,b内至少存在一点，使t)=k ”

2、的命题的证法。当k =0时，一般这种情况下，我们只需验证f (x)满足罗尔定理的条件，根据 罗尔定理来证明命题。在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的 条件并不是显而易见的。例1设f (x)在闭区间0,11上连续，开区间0,1内可导，f(0)=3 f(x)dx。123证明：=三 |： 0,1,使 f( J = 0分析：由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的，而且这个问题 涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在0,1中找到一个区 间0,，在0,中运用罗尔中值定理去证明。证：因为 f(0) =3 f (x)dx =3(1-Z)f( ) = f( ),-,1

3、3,3显然f(x)在闭区间0,上连续，在开区间0,内可导根据罗尔定理，“三0,1,使f( J =0当k =0时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：f,(J-k=0的形式，构造辅助函数F(x)，我们就可以运用(1)中的方法证明命题。我们在构造辅助 函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数k法等等。例2设函数f(x)在闭区间a,b 1上连续，在开区间a,b内可导，证明：在a,b内 至少存在一点，使 2* (b) -f (a)J (ba)f ()证：要证明 2f(b) f(a)l-(b )f() TOC o 1-5 h z 2 a2只需证 2f(b) f(a)】一(b a)f() = 0

4、22故令g(x) =x(f (b) - f (a) - (b- a) f (x),则g(x)在闭区间a,b】上连续,在开区 222间a,b内可导，且g(a) =g(b)故，三 i： a,b，使得 g.() = 2 (f(b)- f(a) -(b2-a2)f( ) = 0即：2f(b) - f(a)L(b -a)f()22应用罗尔定理来讨论方程的根：解决这类问题首先要构造一个函数，使该函 数的导数是结论中的函数。例3证明方程4ax33bx2 2cA (a b c)在0,1内至少有一实根。分析：若令f (x)二4ax3 3bx2 2cx-(a b c)，贝U f (0)， f的符号不易判别，所 以

5、不适合运用介值定理，因此我们采用罗尔中值定理来证明。证：令 f (x)二 ax4 bx3 cx2 - (a b c)x，贝 U f (x)在 0,1 】上连续，在 0,1 内可导，且f(0)= f(i) = 0。由罗尔中值定理可知：V三(0,1,使f() =0。即 4ax 3bx 2cx - (a b c) = 0所以方程4ax3 - 3bx2 2cA (a b c)在0,1内至少有一实根例4若f(x)可导，试证明在f(x)的两个零点之间，一定有f(x) - f.(x) =0的零点。分析：要证f(x)f.(x)=0存在零点，我们需要构造一个辅助函数F(x)，使得F.(x) = f(x)f.(x

6、)，将问题转换为F.(x)的零点存在问题。证：令 F(x) =exf (x)，设 X1，X2为 f (x)的两个零点，即 f (%) = 0，f(X2) = 0O 则有F(xJ = F(X2)二 0o假设为：X2,有F(x)在“1 X1上连续，在X1X内可导。由罗尔中值定理可得，“三(X1,X2,使F.( J =0,即e f ( ) e f.( ) =0，又因为e -0,故 f( ) f. J =0O所以，在f(x)的两个零点之间，一定有f(x) f.(xA0的零点。广义的罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是证明拉格朗日中值定理和 柯西中值定理的基础。下面我们对广义的罗尔

7、定理进行讨论。广义的罗尔定理 有多 种形式，它们的特点就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后得到广义的罗尔中值 表达式。广义的罗尔定理有多种形式。形式1：若函数f(X )在a,:：内可导，且lim f(x) lim f (x)，则在a,：:内ja十 。心至少存在一点c,使fc) = 0。证：若f(x)三入，则结论显然成立。若f (x) = A，不妨设 x0- (a，:)，使 f由 xm+f(x2xx)=A(xj : A,知：对客 0= A f%)，mX a 勺, 6 cx0 a，当 xaX, (a,a + 6)时，有f(x) - A f(x。) - A，则 f(x) f(x。)。又 f(x)在

8、a、，X 1 上连续，故必存在最小值 m，&。la r,X 1,使 f(c) =m。又当 x X，x - (a,a ,)时，都有f(x) _ f(x) _ m = f (c)，贝 U f (c)二 m 也是 f(x)在-：，：上的最小值。0故由费马定理知，f(c)=0 例5设函数f (x)在区间0, 上可导，且有0 _ f (x) x，证明0，1 + x证：令 F(x) x)L又因为 lim,所以 lim f(x)=0。证：令 F(x) x)L又因为 lim,所以 lim f(x)=0。：Xlim.F(x) lim (f (x)x1x而 lim F (x) = lim (f (x)xx )=0

9、,所以 lim F(xA lim F(x)，故 F(x)在 0,可xx j0 x)=0，2X导。由广义的罗尔中值定理，-i0, 即+2)21 2，使 F(x) =0，形式2:若函数f (x)在-：:,b内可导，且lim f (x) = lim f (x)，则在:,bI皿Ab内至少存在一点c,使f(c) = 0。证明方法与形式1类似。1 1 例6求证函数f(x)在-：,-1内至少存在一点c，使得f4 证：显然函数f(x)= x独开区间：i-匚片-1内可导，且有lim f(x)=0, lim f(x) =0。则由形式2可知，在-：，-1内至少存在一点c，使f(c)=0 x 4 而 f(x)=(12

10、)2Jx因为 0 (x)i 一，所以 f(0lxmDf (x)(12)2Jx因为 0 (x)i 一，所以 f(0lxmDf (x) = 。 +xxx xx形式3:若函数f (x)在a, b内可导，且lim . f (x) lim_f(x)=A(A为有限数,x axb或二),则在(a,b)内至少存在一点c，使f(c)=0证：若A为有限数，当f(x)二 A,显然结论成立。若 f(x) = A,必 x。a,b,使 f(x )= A。不妨设 f (x。) A,R,使得 A一f(X0)。而 lim f(x)=lim f(x)=A，由局部保号性，必 X.(a,a*),x_+ x _使 f(X) ；: :;

11、:f(x)，X2(b-. ,b)，使,&2,XO 连续。由介值定理，TGW凶,Xo, c2X2,XO, f(x)在 q,c1f(X2) ； :,: ；： f(x)。利用罗尔中值定理，十 C,C2i二 ia,b，使 因为f (x)在(a,b)可导，所以f (x)在X1, x0使 f (G ) = f (C2)七。得 f (c) = 0O若 A=; d，由 lim f (x) = lim f (x), f (xo) = A,知 a,b，使得f(x) : A X1 (a,a J，使 f(xj 人，则有 f (x) : A : f (xj-% (b-、2,b)，使 fg A,则有 f (x) : :

12、A : : f(X2)。再由 f (x)在(a,b)连续，C2 X0,X2,有f(G)二 f) = A,在匕心利用罗尔中值定理，有f(c)=0。例7求证函数f(x)二 1(X-1)(X-3)在1,3内至少存在一点c，使f (c) = 0o使 f(c) = 0使 f(c) = 0lim f (x) = lim f (x)，则在X X :lim F (t) lim f (x) = A， t” 0XR21证：显然函数f (x)-在1,3内可导，且有lim f (x)=-:，(x-1)(x-3)i1lim f(x)-。则由形式3可知，在1,3内至少存在一点c， x)3 -吊J / E 1(T2册，故有?=0而 f (x)=(x-1)(x-3) cd +oC形式4:若函数f (x)在-:;:内可导，且i- “内至少存在一点c，使f (c) = 0证：令十ant)，由题设知：lilim F(t) =xlim rf(x)二 A，且 F.(t)二 f.(tant) sech 存在由形式 3 可知，于】-一，)，使 F =f (tant) sec21 = 0，而 sec21 = 0， 2 2 故 f(c)