初等数学研究1自然数基数理论课件

1、初等数学研究第一讲自然数初等数学研究第一讲自然数自然数的基数理论与序数理论第一节 人类认识和表达自然数的历史第二节 自然数的基数理论和序数理论第三节 数学归纳法自然数的基数理论与序数理论第一节 人类认识和表达自然数的人类认识和表达自然数的历史自然数的基数理论和序数理论怎样定义自然数怎样定义自然数的大小关系怎样定义自然数的加法和乘法自然数运算的性质人类认识和表达自然数的历史数、十进制、位值制中国数字春秋时期创造了算筹计数法，表示数目一到九的算筹有纵横两种形式：纵式 横式 在表示多位数时，顺序是从右向左，一纵一横，遇有零数则空着不放筹 325107应摆成算盘罗马数字 每个符号与它所在的位置无关 X

2、 L C D M XXIII 十 五十 一百 五百 一千 二十三 两个罗马数字相加，须先合并再化简 希腊数字 数字单词 J K L M N P S T X Z & XPE 10 20 30 40 50 70 100 200 600 800 900 675数、十进制、位值制中国数字代数学在代数学的早期历史上，中国有不少成果九章算术有正负数加减法则，正系数的二次方程的数值解法唐初有正系数的三次方程的数值解法宋有高次多项式方程的一般数值解法金、元提出了根据应用问题条件列方程解方程的天元术元给出了高阶等差级数论和多元联立方程组解法代数学在代数学的早期历史上，中国有不少成果中小学数的教学安排第一学段（1

3、-3年级）：认识万以 内的数、小数、简单的 分数和常见的量第二学段（4-6年级）：认识亿以内的数，了解分数、百分 数、负数的意义、字母表示数第三学段（7-9年级）：认识有理数、实数高中文、理选修：数系扩充与复数中小学数的教学安排第一学段（1-3年级）：认识万以 内的数、数系的扩展数的历史发展（添加法）自然数 添正分数正有理数 添零非负有理数 添负数有理数 添无理数实数 添虚数复数 实际上是交错发展的数的理论架构（逻辑构造法）有了自然数集，可以构造整数集（自然数对） 可以构造有理数集 可以构造实数集 可以构造复数集 数系的扩展数的历史发展（添加法）自然数的两种作用计数（有几个） 自然数的康托尔基

4、数理论排序（第几个） 自然数的皮亚诺序数理论自然数的两种作用计数（有几个）自然数的基数定义怎样定义自然数？“表示物体个数的一种数”？物体：集合（具有某种属性的一些对象组成的一个整体）个数：基数（等价集合在数量上所具有的共同特征）非空有限集的基数叫做自然数，所有等价于 的集合的基数，用符号“1”表示，即 1“5”是什么？五只羊的集合、a,b,c,d,e等都是等价的集合，这类集合的基数就是5自然数的基数定义怎样定义自然数？非空有限集的基数叫做自然数，定义自然数的大小关系 集合间的包含关系两个自然数： a b 非空有限集的基数定义自然数的大小关系 大小关系的定义如果非空有限集A、B的基数分别是a、b

5、，A、B分别是A、B的真子集，那么当AB时，就说 ab当AB B时，就说 ab大小关系的定义如果非空有限集A、B的基数分别是a、b，A、自然数大小关系的性质定理：自然数的相等关系具有反身性、对称性、传递性；自然数的顺序关系具有全序性、对逆性、传递性 证明等价关系、集合的性质自然数大小关系的性质定理：自然数的相等关系具有反身性、对称性 2)对任何a，b，c N，若ab，bc，则ac 2)对任何a，b，c N，若ab，bc，定义自然数的加法和乘法 不交的集合的并 并集的基数a + b = c非空有限集的基数 b个两两不交的等价集合的并 并集的基数a b = c定义自然数的加法和乘法 自然数的加法和

6、乘法定义如果非空有限集A、B的基数分别是a、b，且 那么a+b=c设Ai（i1，2，b）是b个两两不交的等价集合，它们的基数都是a，且 那么，ab=c 因为b1,所以补充规定a1=a 自然数的加法和乘法定义如果非空有限集A、B的基数分别是a、b11个运算定律（1）加法有五个基本定律：1a+b 仍然为一个数，即正数加正数总是可能的2a+b是单值的3结合律成立：(a+b)+ca+(b+c)因此完全可以脱去括号4. 交换律成立: a+bb+a5. 单调律成立: 若证明70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+48411个运算定律（1）加法有五个基本定律：证明70+14=7011个运算

7、定律（2）乘法有六个基本定律：1ab仍然为一个数2ab是单值的3结合律：a(bc)(ab)c=abc4交换律：abba5. 单调性定律：若ac，则abbc6分配律:a(b+c)ab+ac证明紧扣定义借用集合的运算律712=7(10+2)70+14证明11个运算定律（2）乘法有六个基本定律：证明紧扣定义712自然数加法有单调律设a、b、c分别是非空有限集A、B、C的基数，且 由已知，AB ，或者存在非空有限集B，使ABB.当AB时，当ABB时，显然自然数加法有单调律设a、b、c分别是非空有限集A、B、C的基排序：自然数的序数理论该理论是从自然数列构成的特点中抽象出来的只有一个数不跟随任何其他的数

8、，它就是1在每一个数的后面都紧跟着唯一的一个数除了1以外，每一个数都有唯一的一个先行的数没有两个相等的数排序：自然数的序数理论该理论是从自然数列构成的特点中抽象出来自然数的序数定义（皮亚诺定义）如果有一个集合N，在它的元素间有一个基本关系“后继”（用符号或表示），并满足下列公理，那么这个集合N的元素叫做自然数：“5”是什么？是满足上述五条公理的一个集合的元素，排在1后面后面后面的后面自然数的序数定义（皮亚诺定义）如果有一个集合N，在它的元素间定义自然数的加法和乘法加数是1还是某一个自然数b的后继自然数1还是自然数某一个自然数b的后继222+1后继2221定义自然数的加法和乘法加数是1还是某一个

9、自然数b的后继22为什么 235？为什么236？为什么 235？为什么236？证明自然数的乘法交换律用基数理论证明用序数理论证明设使abba成立的所有a组成的集合为M，1M假定a M，则a M，即a bb a 所以MN左右是等价的集合a b = b ab个两两不交的基数为a的集合的并集a个两两不交的基数为b的集合的并集证明自然数的乘法交换律用基数理论证明左右是等价的集合定义自然数的大小关系“相等”在自然数定义中已经说明若a与b相同，则ab“大于”借助加法定义若a，bN，且存在k N，使得abk，则称ab，也说ba定义自然数的大小关系“相等”在自然数定义中已经说明证明自然数的全序性对任何a，b

10、N，在ab中有且只有一个成立有：取定a，设使它们总有一个成立的一切b组成的集合为M，说明1M假定b M，则b M （分三种情况都有b M ）只有一个转化为至多有一个：反证：若ab, a=b同时成立，推出矛盾。同理拿其他两个也不行。紧扣归纳公理证明自然数的全序性对任何a，b N，在ab, a=b, 用序数理论证11个运算定律练一练证明：加法结合律 a+(b+c)=(a+b)+c用序数理论证11个运算定律练一练自然数集的其他几个性质自然数集的离散性：在任意两个相继的自然数a与a之间不存在自然数b，使aba+ 反证 ab 任何一个 确定的数b，使用任何一个单位a去度量它，总是可以在经过n次度量之后，

11、得到的na大于b 最小数原理:自然数集的任一非空子集中必存在一个最小数 最小数原理与归纳公理等价自然数集的其他几个性质自然数集的离散性：在任意两个相继的自然归纳公理最小数原理（反证）假设自然数集N有一个非空子集A，A中没有最小数，所以1肯定不属于A；令所有小于A中任何一个数的自然数组成的集合为M，设法证MN；1M，若m M，要证m M（反证）假设m不属于M，设法证m也不属于M，即在A中找到比m小的数因为A非空，有一个元素t，tt 矛盾。归纳公理最小数原理（反证）假设自然数集N有一个非空子集A，最小数原理归纳公理设（反证）若M不是N，令B是NM，所以B是N的非空子集，有最小数b，b不能属于M，所以b不是1，是某一个自然数c的后继，所以cb，c不能属于B，属于M，根据归纳公理条件，所以c的后继（b）属于M，这与b不属于M矛盾最小数原理归纳公理设扩大的自然数集：含0在基数理论中，把空集的基数定义为“零”，在序数理论中把“零”作为1的先行数，这样便构成了扩大的自然数集。赞成：0并不难接受；加进去不难，也说得通；联系正负数的桥梁，序关系