三角(5)两角和与差二倍角公式(三)

1、三角函数的化简与证明一、知识点1、化简1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号2）化简三种基本类型：1） 根式形式的三角函数式化简2） 多项式形式的三角函数式化简3） 分式形式的三角函数式化简3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。2、证明及其基本方法1）化繁为简法2）左右归一法3）变更命题法4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。3、无论是化简还是证明都要注意：1）角度的特点2）函数名的特点3）化切为弦是常用手段4）升降幂公式的灵活应用二、范例解析例 1：（ 1）已知为第四象限角，化简：cos1s

2、insin1cos1sin1cos（ 2）已知 270360 ，化简1111 cos 22222解：（ 1）因为为第四象限角(1sin) 2sin(1cos) 2所以原式 = cossin 21cos211sinsin1cos1sin1coscossincossincos（ 2） 270360 ，cos0, cos02所以原式 =111 cos211cos21coscos22cos2222222思路点拨：根式形式的三角函数式化简常采用有理化如（1）或升幂公式如（2）例 2、 P(55 例 1) 试求函数 Y=sinx+cosx+2sinx cosx +2 的最大值 ,最小值 .若 x0, 呢?

3、2解：练习： a,b 为何值时，函数yab sin 2 xab cos2x 的值为 2？ (a=3,b=1)2x2与 x2思路点拨：注意角度关系，先化简整理。例 3(P57 例 1)_ 求证 : sin(2)2cos()sinsinsin练习、求证： tan2x cot 2 x2 3cos 4x1cos 4x思路点拨：要据角度x 与 4x 的特点和函数名的特点，可采用化切为弦，并用倍角公式证明。证：左边 =sin 2xcos2 xsin4x cos4xsin 2 xcos2 x22 sin 2 x cos2 x4 2 sin 2 2xcos2xsin 2 xsin 2 x cos2 x122x

4、sin2 2xsin4右边 =2 31 2sin 2 2x2 42 sin 2 2x4 2 sin 22x112 sin 2 2x2 sin22x2sin 22x所以左边 =右边，即等式成立。本题采用了左、右归法，从左到右或从右到左见书本。例 5、综合P57例 2P 是以 F1, F2为焦点的椭圆上一点,且PF F, PFF21221求证 :椭圆的离心率 e=2cosa-145 cos2C.预备： 例 6 在 ABC 中，设 tanA+tanC=2tanB, 求证 cos(B+C-A)=4 cos2C5证明：tan( AB)tan(C )tan Ct anAt a nBt a nA t a n

5、Bt a nCt a nA t anBt a nCt a nC1 t a nA t a nB由条件得 tan Atan Btan C3 tan B3 tan Btan A tan B tanC而 tan B0, tan C0 ， tan A3tan C又 cos(BC A)cos2A1tan2 A1tan2 A321tan2 CtanC9329tan2 CtanC1451tan2 Ctan2 C而45cos 2C1tan2 C954cos 2C4 1tan2 C9tan 2 C51tan2 Ccos(B+C-A)=三、小结5cos2C5 4 cos2C1、化简的三种基本类型：根式形式；分式形；多项形式2、化简方法：用公式；化同角；化同名；化切割为弦；3、证明等式