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清华大学本科生考试试题专用纸 考试课程 多元微积分 (A) 2009年 6填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！）1. 2. 3. 0 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.计算题1. 计算二重积分，其中是由两条双曲线，和两条抛物线，所围成的闭区域。解：作变换， 。 .3分 该变换将平面上的区域变成平面上的区域。是正方形。容易求得。3分于是 3分 1分2. 已知曲线积分其中为平面上绕原点一周的任意正向闭曲线，是与无关的常数，是非负可导函数且，试求出及常数A. 解 设 为任意一条不含原点的正向闭曲线， 取连接与的交点，它和与均构成包含原点的正向闭曲线，由题意，有 两式相减得 6分 取L为正向 4分3. 设函数在区间上连续，已知，求积分的值。解：交换积分次序，得于是4. 计算，其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向。解：记为平面上所围成部分的上侧，为在坐标面上的投影.由斯托克斯公式得 证明题1.(8分) 设是正实数且，是上的连续函数，且。证明：微分方程的任一解满足。证明：非齐次方程的通解为 其中 ， .3分 .3分显然，。 由已知，故， .2分即微分方程的任一解满足。2.（7分）设函数，且满足 ， 。证明：区域的体积，其中为不包含原点的单连通域。证明：利用g

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