2003年考研数学数学二真题及答案解析

1、2003年考研数学（二）真题评注64. 10) 1xsinx与 （） 若xax2.42lnx y（） xy4 . 2xn（） y（） . .x e (a 0) 2 从 0 的a1 1 1 1 1 1（） 设 为3是 . 若 TT 1 1 1 =.T2 AB E（6） 阶 满足 A B，其中 E 为三阶单位矩阵，若1 0 1A 0 2 0 B.2 0 1 6 4 . （a ,b ,c lima 0 limb 1 limc ,nnnnnnnnn bb cn an.n.nnnlima climb c . .nnnnnn3na x1 x limna（, 1 n1nn2nn0n33e) 1e ) 1.2

2、.1233e ) 1e) 1.21.21xyxx( )yy ( ) 的解，则（ ylnxxyy2yx2.2 .）x2x2x2 .y2y2（在(,)有 . . . .yOx x x I 4（I, 则4x01x20 I 1.1 I I . I I12212 I 1.1 I I .121 , , , , , ,（：12r12s sr sr s 当r. 当.I. s 当rI. 当三 ax )3,x x xarcsinx(x) fe x ax1ax2x ,xxsin42问a在a是四 9t12 ,x2d2yt .euuy 2lnt2x91五 9xearctanx. x )322六 (,)y x x(y)在

3、是.d2xdx(ysinx)( ) 0 3dy2dy3 y(0) y(0) 七 .2 4lnxk y 4xln4 x与 . y八 2 1( , ) y 2 2 被x. 在0, ll九 x 2 (y)(y 0)绕ym /3/m.2(y) tt与 (y) x .3m十 ( ) 0.设函数 在闭区间上连续，在开区间内可导，且 f x若极限f(2xa)xalimxa 内 b2a2；f)f(x)dx ba 中 ) ( ) .f x bfb2a2aa十 2 2 0 8 2 a A a P 使0 0 6P1 . 8l : c 0，1l : a 0，2l : 2b 0.3bc a14 )2lim1 注xxx0

4、4.110) 1 2，xsinx x 当x22.4411 ax2ax )1244limlim a 1xsinx4x2x0 x0 . .2lnx y xy4x2y 4y3 y ，x将 y1.y11(xx y .(0) n f ( )nf( )(0)n.x n! 2 ln2 2 (ln2), 2 (ln2) y， y2，y(x)xxxny( )(0) nny( )(0) (l.x nnn! .1 ) d . 利用极坐标下的面积计算公式S22 112 e d0 ) d S22a2101 (e .4 a= e2a4a4a0 . . T.51 1 111 1 1 1 11 1 1 1，知 由=T 1 1

5、 1 1 1 1 1 1 1 1 3.T 1 a1 a b b b .n nAA2 12 a n . .2 AB E 由A B(A2 E)B A E(AE)(AE)B AE(AE)B E.，AEB 1，0 0 112E 0 1 0 22 0 0B A, . . . 6 4 . 【分析】 lima c 0； 是nnnlimb c 1限属.nnn212b 1n( )【详解】 a，cn nnnn. 完 . 6323nna nxn1 1 x =1 x d x )n1nn1nn2n0011n323nn10 x ) () =，nn 2nnn1n33limna () e ) 1.=1 2n2n1nnn .x

6、u) 将 y lnxx( ).yxyxy ( ) ylnxxylnx1 11 (lnx)(lnx) .ln x lnxln x221xy2u) ( ) .令 =u2yx2 . 4. 3 . ( ) f x . ,I I 12tanxx11，从而有【详解】 因为当 时，有 ，于是，xtanx tanx x ，I 1 ， I 44x42x0407 II I且1224 I11. 【分析】 I： , , , , , ,rs2：I.12r1s , , , , , ,：212r1ss组Ir. .010 , , 0 0 , 0011 1 2 11212011 , , , 线(A)； 0001 2 1 121

7、1110 , , , ；， 1 0011 1 2 121 定理11.三 f(0 f(0) f(00). )33f(00) f(x) xxxxx0 x0 x0axax22lim lim=11x 1x01x021x22lim 6.1 x2x02e xax12f(0 lim f(x) limxx0 x0 xsin48e x1 2xa24 4 2a 4.=22xx2x0 x0(00) f(00)6a 2a 4a 1 a 2 或 .令 f2当limf(x)6 f(0)在.x0当limf(x)12 f(0)是.x0 . , . . 当 t.e1 2ln22dxt t， 12lnt t 12lnt dtdy

8、2etdy12lnttedtdx,得dx2lnt)dtdy d 1 e12 1 2 ( ) =2 2ln ) t t2t2e.=t 2lnt)221t当x2及得 故d2yee .dx2t22lnt)22ln2)2x9t2 ,.1x2 t 设xtant xearctanx ett= sintdt. = e2 x )3 t)322229又 esintdt e dcosttt(e cost e costdt)=tte cost e sint e sintdt，ttt1e s in e ( s ic o C.tdt故tt21x1xearctanx(= e)Cx2 x )31x1x2222(xearct

9、anxC.=2 1 x2 xearctanxx=x x )31 x222xearctan earctanxx=1 x3 x )222xearctan1x=dearctanx1 x1 x22xearctanearctanx xearctan ，xx1 x1 x3 x )2222(xearctanx xearctanxC.= x )32 1 x222x t或 dydx 11 将=ydydxd2x d dx d 1 ( ) ( )=2dy dy y dy y 1 y=.y( )3yy210. 1 yd2x d dx d ( )21 y 1( ) y=dy dy y y.y( )dy2y3 sin .

10、y yx( * ) 0 (*y yY C e C e .xx12(*y Acosx Bsin x，11AB sinxy y sinx (* y*221y Y yC eC ex sin.*x2123由 y(0) y(0) C C 1 . 2121y e e s i.xx2 .ln x4lnx4xk 0. 4 x.(x) ln x4lnx4xk 设，y44(ln3x1 x)( ) x.x( )是 x .O1x0 x1 (x)0(x) (x) 0(x)当 4k(x)增加，故.当(x) 011( ) 0当 x当 lim (x) limlnx(ln x4)4xk ；3x0 x0lim (x) limln

11、x(ln x4)4xk ，3xx( ) 0)故 x与. . . 被x . bx y .s22a 1Y y (X x)，y. 令xY y，yxy 故Qy12x(y y ) 02 0.yx22y C21由 y知22x2x2 2y2 1. ， 2l 1 cosxdx1cos xdx.2220012x c o0t .22y s it,211sin t cos tdt 1sin tdt，故 s222222200 u令t211s 0u du1cos ( ) 1cos2udu222 202l2l.=42 2 0到 22 .从0到 ./ mt22 t ( )2t与y t.【详解】 设在 t 时刻，液面的高 y

12、，则由题设知此时液面积为 ( ) tt (y)4.2 y, 2 ( )y3 ( ) 12. y y u t220y ( ) ( ( ) ( ) ( ).y 2 y yy y(y) Ce yC6由(0)2知x 2ey.6 13 .f(2xa)lim 由 要xaxa . .f(2xa)limlim f(2xa) f(a) 0.xaf (x) 0又 ， xaxaf(x) f(a) x(a,b).(x) ft)(a x b)( ) ( ) 0( ), ( )F x g x 满2 x 设 x ,g, 则g xf xa内存在点 Fb)F(a)gb)g(a)ba(x )222，baxft)dt ft)dt

13、( ft)dt) xaaabb2a2即.f)f(x)dxa) f) f(0) f) f(a)a, 因 f(a, )f) f a) bb2a2，)( )faf(x)dxab ) b af(x).f22aa b abb22 ) f(x) fb2a2)( )aaff(x)dxaa f) f )a（ ） f) f(a) f )a，在区间a,. 】 14. A A P. A 220EA 8 2( 6)( 2) 16a 200 6(6) (2)=，2 6, 2.故A123 6 A 123r(6E ) 2r(6E ) 1.4 2 0 2 1 0 6E A 8 4 a 0 0 a由， 000 0 0 0知 6

14、 1201 0 2 .， 1210 2当34 2 0 2 1 0 2E A 8 4 0 0 0 1， 00 8 0 0 0 1 2x x 12 2 2 . x 333 0 0 1 1 0 2 2 .PP1令P1 0 0 .15 ,l ,ll123axby c,2cy a,bxcx2ay b,a ba b c b cA b 2c a A 2 2 c a 2 3 c abA 0.a b c b 2c a 6(abc)a b c bc A222c 2a b3(abc)(ab) (bc) (ca) 2 ,=22(ab) (bc) (ca) 0222abc bc 0A 0( ) 3. Aaa bb 2c 2(acb ) a(ab)b 22123=ab) b 0，224秩(A),l ,l有唯一解，即三直线l.123x 0 (x ,y ) y 为 000