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文档简介

1、关于二次型及其规范形第1页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四定理 任一秩为r的二次型 均可经过适当的可逆线性替换 化为 其中 ， ， 。 第2页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 推论 任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式的对角矩阵 其中 。 第3页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四设 是 n元二次型，且 秩(A) = r： 1f 是复二次型 存在可逆复线性替换 把 f 化为 其中 。 再令 第4页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四则 f 被进一步变为 称上式为复二次型的规范形。 定理 任意复二次型均可经过适当

2、的可逆复线性替换化为规范形且规范形唯一。 推论 对任意一个秩为r的n阶复对称矩阵A，必存在n阶可逆复矩阵C ，使得 第5页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 例 设A、B均为n阶复对称矩阵，则 A与B在复数域上合同的充分必要条件是 2f 是实二次型 存在可逆实线性替换 把 f 化为 其中 。 第6页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四再令 则 f 被进一步变为称上式为实二次型的规范形。 定理（惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的 可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。 第7页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 推论 对任意一个秩为r的

3、n阶实对称矩阵A，一定存在n阶可逆实矩阵C，使得 其中p由A唯一确定。 定义 在秩为r的实二次型f的规范形中，系数是1(或 -1)的平方项个数 p(或 r -p )称为 f 的正(或负)惯性指数，称 2p - r为 f 的符号差。 第8页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 注 实二次型的任一标准形中，系数大于(小于)零的平方项个数即为正(负)惯性指数。 例 已知实对称矩阵 与下述三个对角矩阵 之一合同，试确定之。 第9页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四解 考虑二次型 对其作可逆线性替换 则 第10页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四由此得 f 的正、负惯性指数均为1。 而二次型 中，只有 的正、负惯性指数均为1。所以，f 只能通过非退化线性变换为 ，即 A只能与 合同。 例 设 A是n阶实对称矩阵且n为奇数。证明：若 ，则存在n维非零列向量 ，使第11页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四证明 考虑 n元二次型 用正交替换 把其化为标准型 则第12页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 因 ， ，且 n为奇数，所以 均不为零且至少有一个大于零。不妨设 。 取 n维列向量 ，则 第13页，共15页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 令 。因 可逆，故 且 第14页，共

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