二次型和标准型

1、关于二次型与标准型第1页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四引言：在解析几何中，为了便于研究二次曲线把方程化为标准形的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 第2页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四上式的左边是一个二次齐次多项式。从代数学的观点看，化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题第3页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四定义1 含有n个变量 称为二次型。 的二次齐次函数例如二元及三元二

2、次型（举例）第4页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项，也就是代入能使之成为这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形 (或法式)。第5页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四如果标准形的系数只在1，-1,0三个数中取值，也就是代入 能使之成为则称上式为二次型的规范形。我们利用矩阵来解决这一问题第6页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四一。二次型与可逆线性变换的矩阵表示例1.将下列二次型表示成矩阵乘积的形式：解：先写成对称形式第7页，共30页，2022年，5月20日，18

3、点2分，星期四第8页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四利用内积写成：第9页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四令：则：第10页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四矩阵是对称矩阵，它是由二次型的系数来决定的，我们称该二次型的矩阵，而二次型称该矩阵的二次型，他们之间是一一对应的。矩阵A的秩称对应二次型的秩，写出了二次型的矩，就容易将二次型表示成矩阵乘积的形式。第11页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四将矩阵与二次型的系数比较，不难发现：1）对角元对应相应平方项的系数，2）非对角元对应相应交叉项系数的一半（另一半为其对称元素

4、）我们将矩阵与未知数的系数列成下表：其中表中数字表对应变量乘积之系数第12页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四例2.写出下列二次型对应的矩阵，并将二次型表示成矩阵乘积的形式：解:其矩阵分别为：第13页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四对应二次型分别写为：下面将可逆线性变换第14页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四利用将线性方程组表示成矩阵的方法（变量X与线性方程组中的常数项对应）可将可逆线性变换用矩阵表示如下：其中C为线性变换对应的矩阵，X,Y为变量对应的向量表示用矩阵乘积表示第15页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星

5、期四二。将二次型化成标准型：。定义5.7 设n阶矩阵A，若有可逆矩阵C使1.将可逆线性变换：代入二次型：得：则称矩阵A与矩阵B合同第16页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四显然，若A为对称阵，则也为对称阵，且R(A)=R(B)故B为对称阵。又因也可逆，由矩阵秩的性质即知。由此可知，经可逆线性变换后，二次型f的矩阵由A变成与A合同的矩阵。且二次型的秩不变。事实上因C可逆，故第17页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四矩阵等价，相似，合同是矩阵的三大关系，总结一下，各自的背景，判定条件，之间的关系，应用。矩阵合同关系是等价关系，故满足：自反，对称，传递2.用l

6、agrang配方法把二次型化标准型，第18页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四上一节我们讲了用正交变换化二次型为标准形，这个问题称主轴问题。由于正交变换有保持图形不变的性质，因此在研究几何图形中被广泛应用但在很多场合下我们只需要用一般可逆线性变换把二次型化标准形。下面我们介绍用Logrange配方法把二次型化成标准形。所用线性变换为可逆线性变换。第19页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四一、Logrange配方法的步骤起头，首先集中所有含的项进行配方，剩下部分再不含起头，则再集中所有含，情形1，如果二次型中含有平方项。不妨设以不妨设以的项的项进行配方。以

7、此类推，直至全部配成平方为止第20页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四情形2，如果二次型中不含有平方项。不妨设含则变换后即含有平方项，再按情形1进行配方即可。将以上每次新老变量的线性变换连乘，即得新变量组到终变量组间的可逆线性变量。的项，令注：通过以下例题可看到用Logrange配方法把二次型化成标准形。的步骤与过程，其一般性证明是类似的，留待读者第21页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四例5.6.1 用配方法化下列二次型为标准形，设解 ，故可先将含的各项集中并进行配平方f中含有变量平方项，例如第22页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期

8、四 令可逆线性变换第23页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四即使得显然如令上式又可化成规范型第24页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四例5.6.2 用配方法把下面二次型化为标准形解：因为f中不含有变量平方项，所以先做一个简单的可逆线性变换使新二次型出现平方项。为此设即第25页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四代入原二次型得用例5.6.1配方步骤得第26页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四令可逆线性变换代入上式，得由上面，式，得可逆线性变换即 第27页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四一般非正交变换的可逆线性变换不再保持图形形状不变，但仍保持许多好的特性。首先保持秩不变，因此当二次型用可逆线性变换化标准形时，其非零平方项的个数或独立变量个数）是不变的。不仅如此，还有如下结论定理5.9（惯性定理）设秩为r的的实二次型，经可逆线性变换化标准形时，正平方项的个数第28页，共30页，2022年，5月20日，18点2分，星期四请总结一下，用Logrange配方法把二次型化成标准形的步骤，并比较用正交变换化标准型各有什么特征，及不同。我们学过矩阵的初等变换，能否通过矩阵的初等变换将对称矩阵化