二次曲线代数定义

1、关于二次曲线的代数定义第1页，共13页，2022年，5月20日，18点2分，星期四二、二次曲线的几何结构 4.1 二次曲线的射影定义 定理4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线.即：O(p) O(p)若A+BA+B：则的方程为第2页，共13页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 4.1 二次曲线的射影定义 注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成, 则其上点的地位平等,任意取定上相异二点为束心与上的点连线则得到两个也生成此的射影线束. 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M

2、连线可得两个射影线束二、二次曲线的几何结构 161电影网整理发布第3页，共13页，2022年，5月20日，18点2分，星期四二、二次曲线的几何结构 4.1 二次曲线的射影定义 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 证明. 设由O(P) O(P)生成.设只要证设分别以AM, BM截, 得注意到从而对应点的连线共点, 即AA, BB, KK共点于S.但是为定点, 故当M变动时, KK经过定点S. 即第4页，共13页，2022年，5月20日，18点2分，星期四二、二次曲线的几何结构 4.1 二次曲线的射影定义 定理

3、4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 推论4.1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线. 推论4.1 平面上五直线(其中无三线共点)唯一确定一条非退化二级曲线. 推论4.2 任一二阶曲线可由两个射影线束生成. 推论4.2 任一二级曲线可由两个射影点列生成. 推论4.3 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值. 推论4.3 二级曲线上四条定直线被其上任意一条直线所截得四点的交比为定值. 注：推论4.3对于解析几何中的各种二次曲线都适用.第5页，共13页，2022年，5月20日，

4、18点2分，星期四 4.1 二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义 由上述的两个定理及其推论, 我们有 定义4.3 在射影平面上, 称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线. 定义4.3 在射影平面上, 称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线. 思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的.提示：考虑透视对应、射影变换的情况.注 请自学教材例4.2, 并与2.3(P.67)习题6, 7比较.第6页，共13页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线本部分总假定：所论二次曲线为非退化的.1. 定义 定义4.4 与二阶曲线交于两个重合的点

5、的直线称为的切线.第7页，共13页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线2、切线的方程问题：已知二阶曲线求过定点P(pi)的的切线方程. 设Q(qi)为平面上任一点. 则直线PQ上任一点可表为xi=pi+qi. PQ为的切线Q为的过P的切线上的点 PQ交于两个重合的点将xi=pi+qi代入 ：S=0后只有一个解. 代入得即即第8页，共13页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线2、切线的方程为简便计, 引入记号以上述记号代入，(2)式可写为第9页，共13页，2022年，5月20日，18点2分

6、，星期四 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线2、切线的方程从而, Q(qi)在过P(pi)的切线上(3)对有二重根=0(4)式即为Q(qi)是过P(pi)的切线上的点的充要条件. 习惯地, 将其中的流动坐标qi换为xi , 得到二阶曲线过点P(pi)的切线方程为(5)式为一个二次方程, 故经过平面上一点P一般有两条切线. 如果P在上, 则Spp=0, 从而, 二阶曲线上一点P处的切线方程为第10页，共13页，2022年，5月20日，18点2分，星期四 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线2、切线的方程注：教材P.104, (4.10)(4.12)关于Sp=0常用的等价写法中在S中, 将xj(ji)视为常数, 对xi求导数, 称为S对xi的偏导数.S对xi的偏导函数在点P(p1,p2,p3)处的取值, 即把P的坐标代入.第11页，共13页，2022年，5月20日，18点2分，星期四今日作业P.110: 4(