北京版高考数学总复习专题2.3二次函数与幂函数（讲解练）教学讲练

1、2.3二次函数与幂函数数学 北京专用考点一二次函数考点清单考向基础1.二次函数的图象和性质2.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根的符号与系数之间的关系(1)方程有两个不相等的正实数根(2)方程有两个不相等的负实数根(3)方程有一正根一负根ac0)的两实根, f(x)=ax2+bx+c,则x1、x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.考向二次函数的最值问题考向突破例1(2019北京二中高一期中,13)已知函数f(x)=x2-6x+8,x(-,a,且函数f(x)的最小值为f(a),则a的取值范围是.解析f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,f(x)的图象关于直

2、线x=3对称,且开口向上.f(x)在(-,3)上单调递减,在(3,+)上单调递增,函数f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,x(-,a,并且函数f(x)的最小值为f(a),a3.答案(-,3考点二幂函数考向基础1.幂函数的定义一般地,形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中为常数.2.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象 y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-,0)上减,(0,+)上增增增(-,0)上减,(0,+)上减定点(0,0),(1,1)(1,1)3

3、.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的性质考向突破考向一幂函数单调性的应用例2(2019北师大附中高一期中,6)已知a=,b=,c=,则()A.acbB.abcC.bcaD.bac解析由指数的运算性质,得a=,c=,因为幂函数y=在R上是增函数,又,所以,即acb.故选A.答案A考向二幂函数的图象及其应用例3函数f(x)=-的零点个数为()A.0B.1C.2D.3解析令f(x)=0,则=,在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=与y=的图象,如图所示.由图可知两函数图象有1个交点,故f(x)的零点只有一个,故选B.答案B方法1二次函数在区间上最值问题的解法二次函数的区间最值问题一

4、般有三种情况:(1)对称轴、区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴是指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.对于(2)、(3)两种情况,通常要分对称轴与x轴交点的横坐标在区间内与在区间外进行讨论.方法技巧例1(2019北京通州运河中学月考,10)已知函数f(x)=x2-2x+3,在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是.解题导引 解析函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,当0m1时,函数f(x)在区间0,m上单调递减,则f(x)max=f(0)

5、=3, f(x)min=f(m)=m2-2m+3=2,得m=1;当12时,函数f(x)在区间0,1)上单调递减,在区间1,m上单调递增,则f(x)min=f(1)=2, f(x)max=f(m)=m2-2m+3=3,解得m=0或m=2,与m2矛盾.综上,m的取值范围是1,2.答案1,2方法2解决一元二次方程根的分布问题的方法对方程根的分布问题,一般结合二次函数的图象从四个方面分析:(1)开口方向;(2)对称轴位置;(3)判别式;(4)端点函数值.例2已知二次函数f(x)=2x2-4ax+4,在下列条件下,求实数a的取值范围.(1)一个零点比2大,一个零点比2小;(2)两个零点均小于2.解析(1)二次函数f(x)=2x2-4ax+4的一个零点比2大,一个零点比2小,f(2)=8-8a+4.(2)解法一:函数图象的对称轴为直线x=a,两个零点均小于2,解得a或a-.解法二:记函数f(x)的两个零点分别为x1,x2.则x12,x22,a0时图象经过(0,0)点和(1,1)点,在第一象限的部分“上升”;1时曲线下凹,01时曲线上凸,0,若a,bR,且a+b0,ab0,满足题意.当m=-1时,指