立体几何中向量方法-求空间角和距离

1、立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离9/9立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离8-81(2018武昌调研)如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值【剖析】方法一空间向量法(1)证明以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立以下列图的空间直角坐标系C-xyz，则D(1，0，0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)设S(x，y，z)，则x0，y0，z0，且AS(x2，y2，z)，BS(x，y2，z)，DS(x1，y，z)由|AS

2、|BS|，得（x2）2（y2）2z2x2（y2）2z2，解得x1.2由|DS|1，得yz1.由|BS|2，得y2z24y10.13由，解得y2，z2.1333S1，2，2，AS1，2，2，3313BS1，2，2，DS0，2，2，DSAS0，DSBS0，DSAS，DSBS，SD平面SAB.(2)设平面SBC的法向量为n(x1，y1，z1)，则nBS，nCB，nBS0，nCB0.33又BS1，2，2，CB(0，2，0)，AB(2，0，0)，21ABn2（3）cosAB，n727.|AB|n|21故AB与平面SBC所成角的正弦值为7.方法二综合法(1)证明如图，取AB的中点E，连接DE，SE，则四边

3、形BCDE为矩形，且DECB2，ADDE2AE25.侧面SAB为等边三角形，AB2，SASBAB2，且SE3.又SD1，SA2SD2AD2，SE2SD2ED2，SDSA，SDSE，SD平面SAB.(2)过点S作SGDE于点G.ABSE，ABDE，AB平面SDE.平面SDE平面ABCD.由平面与平面垂直的性质，知SG平面ABCD.3在RtDSE中，由SDSEDESG，得132SG，解得SG2.过点A作AH平面SBC于点H，连接BH，则ABH为AB与平面SBC所成的角CDAB，AB平面SDE，CD平面SDE，CDSD.在RtCDS中，由CDSD1，得SC2.1222227在SBC中，SBBC2，S

4、C2，则SSBC222.11由VA-SBCVS-ABC，得3SSBCAH3SABCSG，即17AH11223，解得AH221.323227AH21sinABHAB7.故AB与平面SBC所成角的正弦值为217.2(2018安一检西)一个正方体的平面张开图及该正方体的直观图的表示图以下列图在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母E，F，G，H标记在正方体相应的极点处(不需说明原由)；(2)证明：直线MN平面BDH；(3)求二面角A-EG-M的余弦值【剖析】(1)以下列图，(2)证明连接AC，BD，订交于点O，则O为BD的中点，BC的中点为M，GH的中点为N，1OMCD，OM2C

5、D，1HNCD，HN2CD，OMHN，OMHN，即四边形MNHO是平行四边形，MNOH，MN?平面BDH，OH?平面BDH，直线MN平面BDH.(3)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DH所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA2，则D(0，0，0)，M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，则GE(2，2，0)，MG(1，0，2)，设平面EGM的法向量n(x，y，z)，令x2得，n(2，2，1)在正方体中，DO平面ACGE，则DO(1，1，0)是平面ACGE的一个法向量，422则cosDO，n，92322二面角A-EG-M的余弦值为3.3(2018

6、南一检云)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD平面SBC，SBSC，M是BC的中点，AB1，BC2.(1)求证：AMSD；6(2)若二面角B-SA-M的正弦值为3，求四棱锥S-ABCD的体积【剖析】(1)证明设AD的中点为N，连接MN，由四边形ABCD是矩形，得MNBC.SBSC，M是BC的中点，SMBC.平面ABCD平面SBC，平面ABCD平面SBCBC，SM平面ABCD.SMMN.直线MC，MS，MN两两垂直以M为坐标原点，MC，MS，MN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立以下列图的空间直角坐标系M-xyz，设SMa.依题意得，M(0，0，0)，A(1，0，1)，

7、B(1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，S(0，a，0)AM(1，0，1)，SD(1，a，1)AMSD110(a)(1)10，AMSD，即AMSD.(2)由(1)可得MS(0，a，0)，MA(1，0，1)设平面AMS的法向量为n1(x，y，z)，则n1MS，n1MA，令x1，则n1(1，0，1)是平面AMS的一个法向量同理可得n2(a，1，0)是平面ABS的一个法向量设二面角B-SA-M的大小为，则|cos|n1n2a.|n1|n2|2a21222a21cos12a22sin3，解得a2.四棱锥S-ABCD的体积11222VS矩形ABCDSM213.334(2018百校缔盟联考)

8、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1平面ABC，ABBC2，ACB30，C1CB120，BC1A1C，E为AC的中点(1)求证：A1C平面C1EB；(2)求二面角A1-AB-C的余弦值【剖析】(1)证明BABC，E为AC的中点，BEAC.又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BE?平面ABC，BE平面AA1C1C.又A1C?平面AA1C1C，BEA1C.又BC1A1C，BEBC1B，A1C平面C1EB.(2)方法一由平面A1ACC1平面ABC.作C1MAC于点M，则C1M平面ABC.作MNBC于点N，连接C1N，则C1NBC，CNCM由cosC1CNC

9、C1，cosC1CMCC1，CNcosNCMCM，知cosC1CNcosC1CMcosNCM，而C1CN60，NCM30，故1cosC1CM3，即cosC1CM3，2233cosA1AC3.在四边形AA1C1C中，设AA1x，则由余弦定理得2232A1Cx122x233x4x12.2232C1Ex32x33x2x3，设A1C与C1E交于点H，22则A1H3A1C，C1H3C1E，而A1CC1E，则A1H2C1H2A1C21，424x12)422x3)(23)2于是9(x9(x，即x2x60，x3或2(舍)，A1E2AA21AE22AA1AEcosA1AE，A1E2226，而A1EAEAA1，故

10、A1EAC，由平面AA1C1C平面ABC，则A1E平面ABC，过点E作EFAB于点F，连接A1F，则A1FE为二面角A1-AB-C的平面角，333由平面几何知识易得EF2，A1F2.3cosAEF211FEA1F333.2方法二以A点为原点，AC为y轴，过点A与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1x，A1AC，则B(1，3，0)，C(0，23，0)，E(0，3，0)，C1(0，23xcos，xsin)CB(1，3，0)，CC1(0，xcos，xsin)1CBCC1由cosCB，CC12，|CB|CC1|3xcos13得2x2，cos3，3636则A10，3x，3x，C10，233x，3x，36于是A1C0，233x，3x，36BC11，33x，3x，A1CBC1，33x233x6x6x0，3333即x2x60，解得x3或2(