专升本高等数学测试题

1、专升本高等数学测试题1.函数y1sinx是（D）（A）奇函数；（B）偶函数；（C）单一增添函数；（D）有界函数分析因为1sinx，即sinx2,所以函数y1sinx为有界函数1012.若f(u)可导，且yf(ex)，则有（B）；A）C）dyf(ex)dx；（B）dyf(ex)exdx；dyf(ex)exdx；（D）dyf(ex)exdx分析yf(ex)能够看作由yf(u)和uex复合而成的复合函数由复合函数求导法yf(u)exf(u)ex，所以yydxf(ex)exdxd3.exdx=(B);0(A)不收敛;(B)1;(C);(D)0.分析0exdxex01104.y2yy(x1)ex的特解形

2、式可设为（A）；(A)x2(axb)ex；(B)x(axb)ex；(C)x2(ax)e；(D)(axb)xb分析特点方程为r22r10，特点根为r1=r2=1=1是特点方程的特点重根，于是有ypx2(axb)ex5.x2y2dxdy(C)，此中D：1x2y24；D242dr；24(A)dr(B)drdr；0101222dr；22(C)dr(D)drdr0101分析本题观察直角坐标系下的二重积分转变为极坐标形式xrcos时，dxdyrdrd，因为12y24D1r202当，表示为，yrsin，故x2y2dxdyrrdrd222drdrDD016.函数y=1arcsin(x1)的定义域3x22解由所

3、给函数知，要使函数有定义，一定分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可成立不等式组，并求出联立不等式组的解.即3x0,3x3,3x20,推得4,x11,0 x2即0 x3,所以，所给函数的定义域为0,3).7.求极限lim2x2=x22x解：原式=lim(2x2)(2x2)x2=limx221=.4x(2x)(2x2)12恒等变换以后“能代就代”）sintdt8.求极限lim1=x11cosx解：此极限是“0”型不决型，由洛必达法例，得0 xxlim1sintdt(1sintdt)=limsinlim(1)11cos=lim(1xx1x1x1sinxx1x

4、cosx)xt,9.曲线t3在点（1，1）处切线的斜率y,解：由题意知：1t,t1,1t3,dyt1(t3)t13t2t13,dx(t)曲线在点（1，1）处切线的斜率为310.方程y2yy0,的通解为解：特点方程r22r10,特点根r1r21,通解为y(C1C2x)ex.11.交织级数(1)n111)的敛散性为n1n(n（4）(1)n111)=1,n1n(nn1n(n1)而级数1收敛，故原级数绝对收敛.n1n(n1)12.lim(112)x.（第二个重要极限）xx1)x(11)x1)xlim(11)x1解一原式=lim(1lim(1=ee11，xxxx0 xxx解二原式=lim(11(x2)(

5、1)012)x=exx13.lim11ln(1x)x0 xx2型，不可以直接用洛必达法例，通分后可变为0或解所求极限为型.011xln(1x)11ln(1x)1xlimx2limx2lim2xx0 xx0 x0lim1x1lim11.x02x(1x)x02(1x)214.设f(x)xex，求f(x).解：令yxex,两边取对数得：lnyexlnx,两边对于x求导数得：即yxex(exlnxex).x15.求f(x)x3+3x2在闭区间5,5上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：f(x)3x26x,令f(x)0,得x10,x22,f(x)6x6,f(0)60,f(2)60,f(x)的极大值为f

6、(2)4，极小值为f(0)0.f(5)50,f(5)200.比较f(5),f(2),f(0),f(5)的大小可知：f(x)最大值为200，最小值为50.116.求不定积分11xdx.解：令1xt,则xt21,dx2tdt,于是原式=2tdt=2t11dt=2dtdt=2t2ln1tC11t1tt=21x2ln11xC.17.求定积分41x.01dxx解:（1）利用换元积分法，注意在换元时一定同时换限令tx，xt2，dx2tdt，当x0时，t0，当x4时，t2，于是4xdx=2t2tdt=22t4dt114101x01t0t18.求方程(exyex)dx(exyey)dy0的通解；解整理得ex(

7、ey1)dxey(ex1)dy，用分别变量法，得eydyexdx，ey1ex1两边求不定积分，得ln(ey1)ln(ex1)lnC，于是所求方程的通解为ey1C1，ex即eyC11ex19.uexsinxy,求u,ux(0,1)y.(1,0)解：因uexsinxyexcosxyyex(sinxyycosxy),xexcosxyx,yuxuye0(sin0cos0)1,(0,1)e(cos01)e.(1,0)02dy22fx,ydx的积分地区D并互换积分序次.20.画出二次积分4y224y解：D：0y2,y24y2x24y2的图形如右图，由图可知，D也可表为0 x4,O240y4xx2,x所以互换积分序次后，得4x4xx2fxydy.0d0,21.求平行于y轴，且过点A(1,5,1)与B(3,2,3)的平面方程.解一利用向量运算的方法。重点是求出平面的法向量n.因为平面平行于y轴，所以nj.又因为平面过点A与B，所以必有nAB.于是，取n=jAB,ijk而AB=2，7，4，所以n=010=4i2k，274所以，由平面的点法式方程，得4(x1)0(y5)2(z1)0，即2xz30.解二利用平面的一般式方程。设所求的平面方程