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1、 第十三章 函数列与函数项级数 1一致收敛性 一函数列及其一致收敛性若数列(2)收敛,则称函数列()在点 设 (1)是一列定义在数集E上的函数,称定义在E上的函数列,简记为(2)收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在发散。若数列(1)在 第十三章 函数列与函数项级数 1一或或 总有例证明它的收敛证:(3) 总有例证明它的收敛证:(3)它显然是发散的,所以函数列例2 设 证明它的收敛域为极限函数为 =0。证：由于对任何实数都有 故，对任意给定的，就有它显然是发散的,所以函数列例2 设 证明它的收敛域为极限函定义1所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些

2、点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。定义1所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列一致收敛于f 的几何意义:不一致收敛于f 的几何意义: 函数列在D上不一致收敛的定义：一致收敛于f 的几何意义:不一致收敛于f 的几何意义: 函数定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则)(4)定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则)(4)证: 必要性充分性一点都收敛，记其极限函数为(5)证: 必要性充分性一点都收敛，记其极限函数为(5定理13.2证: 必要性由上确界的定义有由此证得（6）式成立。充

3、分性有由（7）式得（6）（7）定理13.2证: 必要性由上确界的定义有由此证得（6）例3证明证：于是， 但由于 因此 ， 该函数列在 上不一致收敛。例3证明证：于是， 但由于 因此 ， 该函数列在 上不一致二. 函数项级数及其一致收敛性称为定义在上的函数项级数，为函数项级数的部分和函数列。级数的和函数：即若收敛，则称为的收敛点。若发散，则称为的收发散点。也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性。二. 函数项级数及其一致收敛性称为定义在上的函数项级数，为当当定理13.3（一致收敛的柯西准则）或推论：定义2.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例4当当定理13.3（一致收敛的柯西准则）或推论：定义2.)(定理13.4由此可知我们来看例4中的级数若仅在-a，a（aN时，对一切有（1）的部分和数列在I一致有界；（2）对每个是单调的；（3）所以 于是由一致收敛性的柯西准则，级数在区间I上一致收敛 。例6 函数项级数在0，1上一致收敛。因为记时，由阿贝耳判别法即得结果。例7 若数列单调且收敛于零，则级数在上一致收敛 。证：因为在上有所以 于是由一致收敛性的柯西准则，级数在区间I上一致收敛 所以级数的部分和数列

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