证明不等式的基本方法-比较法

1、第二讲证明不等式的基本方法课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法一授课目的（一）知识目标1）认识不等式的证明方法比较法的基本思想；2）会用比较法证明不等式，娴熟并灵巧地选择作差或作商法来证明不等式；3）明确用比较法证明不等式的依照，以及“转变”的数学思想。（二）能力目标1）培养学生将实诘问题转变成数学识题的能力；2）培养学生观察、比较、抽象、归纳的能力；3）训练学生思想的灵巧性。（三）德育目标1）激发学习的内在动机；2）养成优秀的学习习惯。二授课的重难点及授课方案（一）授课要点不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的（二）授课难点借助与0或1比较大小转变的数学思想，证明

2、不等式的依照和用途（三）授课方案要点情境设计用糖水加糖更甜，实质是糖的质量分数增大这个生活知识设置问题情境，激发学生学习动机，经过将实诘问题转变成不等式大小的比较，引入新课。授课内容的办理1）补充一系列不一样样种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。2）补充一组证明不等式的变式练习。3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。3.授课方法独立研究，合作沟通与教师引导相联合。三教具准备水杯、水、白糖、调羹、粉笔等四授课过程(一)、新课学习：作差比较法的依照：abab0abab0abab0作差比较法的步骤：作差变形（化简）定号（差值的符号）得出结论作商比较法

3、的原理和步骤：精选a,bRaba1baba1baba1b作商比较法的步骤：作商变形（化简）判断（商值与实数1的关系）得出结论(二)、典型例题：例1、已知a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明：采用差值比较法：(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(a2b2)(ab)(ab)2(ab)（因式分解）Qab,a,b0(ab)20,ab0(ab)2(ab)0a3b3a2bab2假如没有已知a,b都是正数这个条件，结论又该分几种情况进行谈论？例2、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.证明：采用差值比较法：3(1x2x4)(1xx2

4、)2=33x23x41x2x42x2x22x3=2(x4x3x1)=2(x1)2(x2x1)精选=2(x1)2(x1)23.（配方法）24x1,从而(x1)20,且(x1)230,242(x1)2(x1)230,243(1x2x4)(1xx2)2.若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3假如用白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为ab若在上述溶液中再增加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到am.bm将这个事实抽象为数学识题，并给出证明.解：能够把上述事实抽象成以下不等式问题：已知都是正数，并且ab,则amaa,b,mbmb下面给出证明.将不等式两边相减，得amam(ba)(通分)

5、bmbb(bm)Qab,ba0;又都是正数，所以(ba)0,(bm)0Qa,b,mmbm(ba)即ama0b(bm)0mbbamabmb例4、已知a,bR,求证：aabbabba.证明：注意到要证的不等式对于a,b对称，不如设ab0差值比较法无效采用商值比较法：ab0,1,abaabbaabb(ab)(a)ababbab精选当aaab1时（）bb当aba1,ab（aab1时，）0b0,b当ba时，0a1,a（aab1）0bb0,baabbabba故原不等式得证.abc例5.若abc0，求证aabbcc(abc)3.证：Qabc0则ab,bc,ac0aba同时,1aabbccaabc()(abc

6、)3bb3(b)cc3(a)cac1即aabbccabc(abc)3(三)、讲堂练习：1已知a1.求证：（1）a22a1;（）2a21a21.2.已知a,b,c是正数，求证a2ab2bc2cabcbcacab五、课时小结：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论。“变形”是解题的要点，是最重要的一步。作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形为几个因式的乘积，或其他可判断符号的形式，作商变形主要判断商值与1的大小关系，大部分情况如上面例4、5最后可化为指数函数形式利用指数函数的单一性与性质来进行判断较简单.六、部署作业：课本23页第1、2、3题。（要求：依照讲堂上老师演示做题的形式和格式，解题过程中做到有逻辑性、条理性、步骤要有理有据)七板书设计精选作差法依照作商法依照比较法证明不等式：（见上面）（见上面）作差、作商的基本步骤作差变形的方法：结果大部分化成指数函（见上面）因式分解法、通分法、数的形式，用指数函数的配方法性质与单一性，比较最后最后比较差与0的大小关结果与1的大小关系系八后记情境创办调换了学生学习的积极性，讲堂比较活跃，也激励了我的授课