圆锥曲线综合类型分类

1、16/16圆锥曲线综合题目分类种类一：三角形面积已知椭圆x2y21（ab0）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍.（）b2a2求椭圆C的方程；（）设O为坐标原点，椭圆C与直线ykx1订交于两个不一样样的点A,B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为1，求OAB的面积.练习1：已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(2，0)的直线l与圆x2y21交于P，Q两点（I）若OPOQ1，求直线l的方程；2（）若OMP与OPQ的面积相等，求直线l的斜率1圆锥曲线综合题目分类种类二：与圆的知识联合例2：已知椭圆x2y21(ab0)的长轴为4，且点(1,3)在该椭圆上。a2b22（I）求椭圆的方

2、程；（II）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆径的圆经过原点，求直线l的方程。练习2：已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：ykxmk0与椭圆交于不一样样的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右极点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右极点A求证：直线l过定点，并求出定点的坐标2圆锥曲线综合题目分类种类三：中点问题例3：若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点与左右焦点F1、F2构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3.()求椭圆C的方程；()过点F2作直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M,

3、求直线MF1的斜率k的取值范围.3xOyP1Px1，设动点P44的轨迹为曲线C，直线l:ykx1交曲线C于A,B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N（）求曲线C的方程；（）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；（）若曲线C上存在对于直线l对称的两点，求k的取值范围3圆锥曲线综合题目分类种类四：与向量知识联合例4：已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（3，0），右极点为（2，0）.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l:ykx2与椭圆C恒有两个不一样样的交点A和B，且OAOB2(此中O为原点)，求k的取值范围.练习4：在直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2y21(ab0)的左、右焦

4、点分别为122a2b2F、F.此中F也是抛物线C2：y24x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|5.3（1）求C1的方程；（2）平面上的点N知足MNMF1MF2，直线lMN，且与C1交于A、B两点，若OAOB=0，求直线l的方程.4圆锥曲线综合题目分类种类五：最值问题例5：已知椭圆C的中心在座标原点，离心率e33,0，一个焦点的坐标为2（I）求椭圆C方程；（II）设直线l:y1xm与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直均分线交x轴于点T当m变化2时，求TAB面积的最大值练习5：（东城一模）已知椭圆y2x21(ab0)的离心率为2，且两个焦点和短轴的一个端点是a2b22一个等腰

5、三角形的极点斜率为k(k0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆订交于P，Q两点，线段PQ的垂直均分线与y轴订交于点M(0,m)（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）试用表示MPQ的面积，并求面积的最大值5圆锥曲线综合题目分类6圆锥曲线综合题目分类例1：解：（）由题意c1,a2b，又a2b21，因此b21，a22.3分因此椭圆的方程为x2y21.4分2（）设A(0,1)，B(x1,y1)，P(x0,y0)，联立x22y22,消去y得(12k2)x24kx0（*），6分ykx1解得x0或x4k，因此x14k，12k22k21因此B(4k,12k2)，P(2k,1)，8分12k212k212k212k

6、2由直线OP斜率为，则11，解得k1（知足（*）式鉴别式大于零）10分12k2O到直线l:y1x1的距离为2，因此ABx12(y11)225，253练习1l的斜率存在，：解：（）依题意，直线因为直线l过点M(2,0)，可设直线l：yk(x2)因为P、Q两点在圆x2y21上，因此OPOQ1，因为OPOQ1，因此OPOQOPOQcosPOQ122因此POQ120因此O到直线l的距离等于12因此|2k|1，得k15k21215因此直线l的方程为x15y20或x15y206分（）因为OMP与OPQ的面积相等，因此MQ2MP，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，因此MQ(x22,y2)，MP(x12,

7、y1)因此x222(x12)x22(x11)（*）；y22y1即2y1y2因为P，Q两点在圆上，因此x12y121x22y2217圆锥曲线综合题目分类x12y121x17，把（*）代入，得，因此8因此4(x11)24y12115y18直线l的斜率kkMP15159，即k9.13分因此OAB的面积为12522.13分2353例2：解：（）由题意：2a4，a2所求椭圆方程为x2y214b2又点(1,3)在椭圆上，可得b1所求椭圆方程为x2y215分24（）由（）知a24,b21，因此c3，椭圆右焦点为(3,0)因为以AB为直径的圆过原点，因此OAOB0若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x3

8、直线AB交椭圆于(3,1),(3,1)两点，OAOB310，不合题意224若直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为yk(x3)由yk(x3),可得(14k2)x283k2x12k240 x24y240,因为直线AB过椭圆右焦点，可知0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x283k212k2414k2,x1x214k2，y1y2k2(x13)(x23)k2x1x23(x1x2)31k24k2因此OAOBx1x212k24(k211k24y1y222)1214k14k4k由OAOB0，即11k240，可得k24,k21114k21111因此直线l方程为y211(x3)14分11

9、练习2：解:（）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则8圆锥曲线综合题目分类2c2,a2,2b23,解得3,a2b2c,2b椭圆C的标准方程为x2y2414分3）由方程组x2y21消去y，得34k2x28kmx4m21206分43ykxm由题意8km2434k24m2120，整理得：34k2m207分设Mx1,y1、Nx2,y2，则x1x28km，x1x24m2128分34k234k2由已知AMAN，且椭圆右极点为A(2,0)x12x22y1y2010分即1k2x1x2km2x1x2m240，也即1k24m212km238kmm240，34k24k2整理得7m216mk4k20解得m

10、2k或m2k，均知足11分7当m2k时，直线l的方程为ykx2k，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当m2k时，直线l的方程为ykx2，过定点(2,0)，777故直线l过定点，且定点的坐标为(2,0)13分7例3：解：()设椭圆C的方程为x2y21(ab0)1分a2b2a2c由ac3a23,c3,b3.4分a2b2c2因此，椭圆C的方程为x2y21.15分129()F1(3,0)、F2(3,0)，当直线l的斜率不存在时，AB的中点为F2，直线MF1的斜率k0；6分当直线l的斜率存在时，设其斜率为m，直线AB的方程为ym(x3)7分2124m2)x283m2x12m2360由联立消去y并整理得：

11、(39圆锥曲线综合题目分类设M(x0,y0)，则x043m2m(x03)33m10分34m2,y034m2当m0时，AB的中点为坐标原点，直线MF1的斜率k0；11分当m0时，ky03m8m2，x033|k|3|m|1168m23818|m|182|m|m|33|m|660.13分k且k88综上所述，直线MF1的斜率k的取值范围是66148,.分8:练习3：（）解：由已知，动点P到定点F(0,1)的距离与P到直线y1的距离相等44由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线所44以曲线C的方程为yx23分（）证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)由yx2,得x

12、2kx10因此x1x2k，x1x21ykx1,设M(x0,y0)，则x0k因为MNx轴，因此N点的横坐标为k22由yx2，可得y2x因此当xk时，yk2因此曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行8分（）解：由已知，k0设直线l的垂线为l：y1bxk代入yx2，可得x21xb0（*）k若存在两点D(x3,y3),E(x4,y4)对于直线l对称，则x3x41，y3y41b22k22k2又x3x4y3y4)在l上，因此1bk(1)1，b11(2,22k22k22k210圆锥曲线综合题目分类*(1)24b01220kk2k212k2k213k22241a2,c32ba2c243=1xy2142A

13、(x1,y1),B(x2,y2)x22(14y1k2)x222kx10ykx24x1x222k,x1x211*(22k)24(1k2)01k2k2444k1或k122OAOB2x1x2y1y22x1x2(kx12)(kx22)2(1k2)x1x22k(x1x2)0*(1k2)12k(22k)0412k201k21k214k2443k333k的取值范围是：-3k11k33或2324C2y24xF2(10)，1M(x1，y1)MC2MF25x1152y1263x133311圆锥曲线综合题目分类481，MC1C1c19a23b25b2a21.b29a437a240a2a13x2y27C1143MF1

14、MF2MNMF1NF2O26lMNlOMlk3623ly6(xm)83x24y2，9x216mx8m24010yy6(x，m)A(x1，y1)B(x2，y2)x1x216m8m24.11x1x299OAOBx1x2y1y20 x1x2y1y2x1x26(x1m)(x2m)7x1x26m(x1x2)6m278m246m16m6m21(14m228)012999m2(16m)249(8m24)0ly6x23y6x23145ICx2y21(ab0)a2b2c3,ec3a2,:3b2a2c21,4a2Cx2y214512圆锥曲线综合题目分类x2y21得x24(1m)24,即x22mx2m220II4x

15、122y0,得82m2.7分xm令4m0,2Ax1,y1,Bx2,y2ABMx0,y0则x1x22m,x1x22m22ABx22y2y12x15x124x1x252m29x24x1xxm,y1xm1m,02120202Mm,1m102设Tt,0,01m1MTAB,kMTkAB2tm12解得t3m,T3m,04411|MT|1m21m25|m|.1644STAB1|AB|MT|15(2m2)5|m|2245(m21)21.1382m2m21m1STAB5.8I14x2y21得x24(1xm)24,即x22mx2m220II由421xm令y0,得84m20,2m2.7分2Ax1,y1,Bx2,y2

16、ABMx0,y0 x1x22m,x1x22m22813圆锥曲线综合题目分类x01x1x2m,y02m,1m2MTABMT的方程为y2x令y0，得x3m，4设AB交x轴与点R,则R1x0m1m,2210分3m2T3m,049分2m,0|TR|5|m|.11分4STAB1|TR|y1y2|1|TR|x1x2|241|TR|(x1x2)24x1x2452(2m2)5m2(2m2)5,13分m8288当m21，即m1时，STAB获得最大值为5.14分8练习5：（东城）解：（）依题意可得，c2，bc，又a2b2c2，a2可得b1,a2因此椭圆方程为y2x212（）设直线l的方程为ykx1，ykx1,由可得(k222kx10设P(x1,y1),Q(x2,y2)，y2x22)x1,2则xx2k，xx1可得yy2k(xx)2412k2212k22112k22设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(k,2)，由题意有kMNk1，222k2km2112可得k2k1可得m，又k0，因此0k2m