数学中考专题训练-二次函数的最值

1、第29页（共29页）中考专题训练二次函数的最值 1已知函数yx2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）（1）求b，c的值（2）当4x0时，求y的最大值（3）当mx0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值2已知，如图，矩形ABCD中，AD3，DC4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH1，连接CF（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由（2）当DG为何值时，FCG的面积最小，并求出这个最小值3如图，在RtABC中，ACB90，AC4cm，BC8cm，点D是A

2、B中点，连接CD，动点P从点C出发以cm/s的速度向终点D运动过点P作PEBC于E，以PE、PD为邻边作平行四边形PDFE设点P的运动时间为t（s），平行四边形PDFE的面积为S（cm2）（1）求CD的长；（2）求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值4在ABCD中，已知A60，BC8，AB6P是AB边上的任意一点，过P点作PEAB，交AD于E，连结CE、CP（1）若AP3时，试求出PEC的PE边上的高；（2）当AP的长为多少时，CPE的面积最大，并求出面积的最大值5已知二次函数y2x2bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n）（1）用含n的代数式表示c（2）若二次函数y2x2bx+c的最小

3、值为，求n的值6如图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）设AEBFCGDHx（cm），阴影部分的面积为y（cm2）（1）求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围；（2）当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少7如图，在RtABC中，B90，AB3cm，BC4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动设运动时间为t（s），四边形APQC的面积为S（cm）（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；（2

4、）运动时间t为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？8如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，问：（1）所截去小正方形的边长多少时，留下的图形（阴影部分）面积为原矩形面积的80%？（2）设所截去小正方形的边长为y厘米，则当y取何值时，利用留下的图形（即阴影部分）制成的无盖长方体侧面积最大？最大值是多少？9如图，在矩形ABCD中，AB10cm，BC16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q以点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一点到达终点时，另一个点随即停止移动（1）经过几秒，PBQ的面

5、积等于18cm2？（2）在运动过程中，经过几秒时，PBQ的面积最大？最大面积是多少？10如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过点P（2，3），Q（1，6）（1）求b和c的值；（2）点M（m，n）在该二次函数图象上，当mxm+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值11如图1，P是抛物线yx24x+3上的一个动点，过点A（2，0）引射线AP，在射线上取点M，使APPM（1）当射线AP在x轴上时，PM的长为 ，点M的坐标为 ；（2）请在图2中描出点P运动过程中对应的M，再用平滑的曲线连接起来，猜想曲线是什么函数的图象，并求点M所在曲线的函数的最小值12在平面直角坐标系xOy中，抛物

6、线yax2+bx+a4（a0）的对称轴是直线x1（1）求抛物线yax2+bx+a4（a0）的顶点坐标；（2）当2x3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当txt+1时，y的最大值是m，最小值是n，且mn3，求t的值13如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数yx图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线yx24x+8于点C，D（1）若ADBC，求a的值；（2）点E是抛物线上的一点，求ABE面积的最小值14如图，在平面直角坐标系中，直线yx3与抛物线yx2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上（1）n （用含m的

7、代数式表示）；（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；（3）设m2，当3x0时，求二次函数yx2+mx+n的最小值；若3x0时，二次函数yx2+mx+n的最小值为4，求m的值15如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（1，2），抛物线F：yx22mx+m22与直线x2交于点P（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1x22，比较y1与y2的大小16如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB边上一点（E不与A、B重合），F是AD的延长线上一点，DF2BE四边形AEGF是矩形，矩形AEGF面

8、积y随BE的长x的变化而变化且构成函数（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x取何值时，y取得最大（或最小）值，该值是多少？（3）若矩形AEGF的面积是10，求BE的长17已知点A（2，n）在抛物线yx2+bx+c上（1）b1，c3，求n的值；求出此时二次函数在0 x2017上的最小值；（2）若此抛物线经过点B（6，n），且二次函数yx2+bx+c的最小值是4，请画出点P（x2，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由18定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x0时，它们对应的函数值互为相反数，当x0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两

9、个函数互为相关函数例如：一次函数yx1，它的相关函数为y已知二次函数yx2+6x（1）直接写出已知二次函数的相关函数为y ；（2）当点B（m，）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求m的值；（3）当3x7时，求函数yx2+6x的相关函数的最大值和最小值19定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x0时，它们对应的函数值互为相反数；当x0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数yx1，它的相关函数为y已知二次函数y，（1）直接写出已知二次函数的相关函数为y 已知点A（5，8）在一次函数yax3的相关函数的图象上，求a的值；（2）当点B（m，）在这个二次函

10、数的相关函数的图象上时，求m的值；（3）当3x7时，求函数yx2+6x+的相关函数的最大值和最小值20设a、b是任意两个实数，用maxa，b表示a、b两数中较大者，例如：max1，11，max1，22，max4，34，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max5，2 ，max0，3 ；（2）若max3x+1，x+1x+1，求x的取值范围；（3）求函数yx22x4与yx+2的图象的交点坐标，函数yx22x4的图象如图所示，请你在图中作出函数yx+2的图象，并根据图象直接写出maxx+2，x22x4的最小值参考答案与试题解析1已知函数yx2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3

11、）（1）求b，c的值（2）当4x0时，求y的最大值（3）当mx0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；（3）根据对称轴为x3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可【解答】解：（1）把（0，3），（6，3）代入yx2+bx+c，得b6，c3（2）yx26x3（x+3）2+6，又4x0，当x3时，y有最大值为6（3）当3m0时，当x0时，y有最小值为3，当xm时，y有最大值为m26m3，m26m3+（3）2，m2或m4（

12、舍去）当m3时，当x3时y有最大值为6，y的最大值与最小值之和为2，y最小值为4，（m+3）2+64，m或m（舍去）综上所述，m2或2已知，如图，矩形ABCD中，AD3，DC4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH1，连接CF（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由（2）当DG为何值时，FCG的面积最小，并求出这个最小值【分析】（1）过F作FMDC，交DC延长线于M，连接GE，由于ABCD，可得AEGMGE，同理有HEGFGE，利用等式性质有AEHMGF，再结合AM90，HEFG，

13、可证AHEMFG，从而有FMHA1（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1）；（2）由题易知SFCGFMCG，要使SFCG有最小值，则需CG最小，所以DG最大，在RtDHG中，当HG最大时，DG最大，在AHE中，AEAB4，HG2HE217，可以求出最小值【解答】解：（1）点F到边DC的距离FM是定值过F作FMDC，交DC延长线于M，连接GE，ABCD，AEGMGE，HEGF，HEGFGE，AEHMGF，在AHE和MFG中，AM90，HEFG，AHEMFG（HL），FMHA1，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1，（2）由题易知：SFCGFMCG，

14、要使SFCG有最小值，则需CG最小，所以DG最大，在RtDHG中，当HG最大时，DG最大，在AHE中，AEAB4，HE217，HG2HE217，DG2+417，DG，当DG时，CG4，SFCG的最小值GC2，即当DG时，FCG的面积最小值为23如图，在RtABC中，ACB90，AC4cm，BC8cm，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发以cm/s的速度向终点D运动过点P作PEBC于E，以PE、PD为邻边作平行四边形PDFE设点P的运动时间为t（s），平行四边形PDFE的面积为S（cm2）（1）求CD的长；（2）求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值【分析】（1）先根据勾股定理求出斜边A

15、B的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长；（2）延长DF交BC于点G，先求出DG和CG的长，再证明CPECDG，根据相似三角形的对应边成比例求出用含t的代数式表示PE和CE的式子，再求出S关于t的函数解析式【解答】解：（1）RtABC中，ACB90，AC4cm，BC8cm，AB4（cm），点D是AB中点，CDAB2cm；（2）如图，延长DF交BC于点G，PEBC，ACBC，PEAC，四边形PDFE是平行四边形，PEDG，DGAC，BDGBAC，DGAC2，BGBC4，CG844，CPECDG，PEtt，CEt2t，St（42t）2t2+4t2（t1）2+2，S与t的关系式

16、为S2t2+4t，S的最大值是24在ABCD中，已知A60，BC8，AB6P是AB边上的任意一点，过P点作PEAB，交AD于E，连结CE、CP（1）若AP3时，试求出PEC的PE边上的高；（2）当AP的长为多少时，CPE的面积最大，并求出面积的最大值【分析】（1）先求出SPCE，即可求解；（2）由直角三角形的性质可求CF的长，由三角形的面积公式可求y（x5）2+（0 x4），由二次函数的性质可求解【解答】解：（1）过点C作CHAD于H，四边形ABCD是平行四边形，ABCD6，BCAD8，ABCD，CDHA60，CHAD，DCH30，DHCD3，CHDH3，SABCD8324，AP3PB，SPB

17、CSABCD6，A60，PEAB，AEP30，AE2AP6，PE3，SAPE33，DEADAE2，SCDEDECH233，SPEC2463，PE边上的高7；（2）延长PE交CD的延长线于F，设APx，CPE的面积为y，四边形ABCD为平行四边形，ABDC6，ADBC8，RtAPE，A60，PEA30，AE2x，PEx，在RtDEF中，DEFPEA30，DEADAE82x，DFDE4x，ABCD，PFAB，PFCD，SCPEPECF，即yx（10 x）x2+5x，配方得：y（x5）2+（0 x4），当x4时，y有最大值为12，即AP的长为4时，CPE的面积最大，最大面积是125已知二次函数y2x

18、2bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n）（1）用含n的代数式表示c（2）若二次函数y2x2bx+c的最小值为，求n的值【分析】（1）由抛物线经过A（1，n），B（3，n）可得抛物线解析式为y2（x1）（x3）+n，把x0代入解析式求解（2）由抛物线的对称性可得抛物线对称轴为直线x2，从而可得b的值，根据函数最值为求解【解答】解：（1）设y2（x1）（x3）+n，把x0代入y2（x1）（x3）+n得y2（1）（3）+n6+nc6+n（2）图象经过A（1，n），B（3，n），抛物线对称轴为直线x2，解得b8，y2x28x+6+n，函数最小值为，整理得n269n+1980，解得n3或n666如

19、图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）设AEBFCGDHx（cm），阴影部分的面积为y（cm2）（1）求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围；（2）当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少【分析】（1）由AEBFCGDHx（cm）得出BECFDGAH（8x）（cm），然后根据三角形面积求解（2）将解析式配方求解【解答】解：（1）AEBFCGDHxcm，BECFDGAH（8x）cm，y4x（8x）2x2+16x（0 x8），（2）y2x2+16x2（x4）2+32，a20，当x4时，y有最大值为32，故当x4时，阴影部分面积最大值

20、为32cm27如图，在RtABC中，B90，AB3cm，BC4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动设运动时间为t（s），四边形APQC的面积为S（cm）（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；（2）运动时间t为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？【分析】（1）首先根据题意，表示PB（3t）cm，BQ2tcm，再根据四边形APQC的面积为SRtABC的面积RtPBQ的面积，用t表示四边形的面积；（2）首先求出自变量的取值范围，根据二次函数的性

21、质确定四边形APQC面积的最小值【解答】解：（1）根据题意，得PB（3t）cm，BQ2tcm，S6t（3t）t23t+6；（2）St23t+6（0t2），a1，S时，S有最小值，S，当t为cm时，四边形APQC的面积最小，最小值为cm28如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，问：（1）所截去小正方形的边长多少时，留下的图形（阴影部分）面积为原矩形面积的80%？（2）设所截去小正方形的边长为y厘米，则当y取何值时，利用留下的图形（即阴影部分）制成的无盖长方体侧面积最大？最大值是多少？【分析】（1）等量关系为：矩形面积四个全等的小正方形面积10880%，列方程即可

22、求解；（2）无盖长方形的侧面积为2y（102y）+2y（8y），再配方即可求解【解答】解：（1）设小正方形的边长为xcm，由题意得：1084x210880%，804x264，4x216，x24解得：x12，x22，经检验x12符合题意，x22不符合题意，舍去；所以x2答：截去的小正方形的边长为2cm（2）无盖长方形的侧面积为2y（102y）+2y（82y）8（y）2+，故当y取cm时，利用留下的图形（即阴影部分）制成的无盖长方侧面积最大，最大值是cm29如图，在矩形ABCD中，AB10cm，BC16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q以点B开始沿边BC向点C以3cm/

23、s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一点到达终点时，另一个点随即停止移动（1）经过几秒，PBQ的面积等于18cm2？（2）在运动过程中，经过几秒时，PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意表示出PB，QB的长，利用PBQ的面积等于18列式求值即可；（2）根据三角形的面积公式列出S关于t的函数解析式，再根据函数的性质求最值即可【解答】解：（1）设经过t（0t5）秒时间，此时PB102t，BQ3t，当PBQ面积等于18cm2时，根据题意得：（102t）3t18，解得t12，t23，经检验，均符合题意经过2s或3s后，APBQ的面积等于18cm；（2）设运动时间为t秒，则

24、SPBQPBBQ（102t）3t3t2+15t3（t2.5）2+，当t2.5时，SPBQ最大，最大值为，经过2.5秒时，PBQ的面积最大，最大面积为cm210如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过点P（2，3），Q（1，6）（1）求b和c的值；（2）点M（m，n）在该二次函数图象上，当mxm+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）先求出抛物线的对称轴为x1，且此时y2，所以当m1时，xm时取得最小值，代入即可求出m的值；当当m1m+3时，该函数的最小值为211；当m+31时，xm+3时取得最小值，代入即可求出m的值【解答】解：（1）二次

25、函数yx2+bx+c的图象经过点P（2，3），Q（1，6），解之得（2）yx2+2x+3（x+1）2+2，该函数图象开口向上，当x1时取得最小值2，当mxm+3时，该二次函数有最小值11，当m1时，m2+2m+311，得m14（舍去），m22；当m1m+3时，该函数的最小值为2，不符合题意；当m+31时，（m+3）2+2（m+3）+311，得m31（舍去），m47；综上，m的值是2或711如图1，P是抛物线yx24x+3上的一个动点，过点A（2，0）引射线AP，在射线上取点M，使APPM（1）当射线AP在x轴上时，PM的长为 3或5，点M的坐标为 （4，0）或（8，0）；（2）请在图2中描出点

26、P运动过程中对应的M，再用平滑的曲线连接起来，猜想曲线是什么函数的图象，并求点M所在曲线的函数的最小值【分析】（1）先根据抛物线的解析式确定点P的坐标，再求出AP的长度，即可确定PM的长和M的坐标；（2）取点P在x轴，y轴，抛物线的顶点，分别求出点M的坐标，然后用平滑的曲线相连，根据图象的形状判断函数类型，再根据函数类型求最小值即可【解答】解：（1）取y0，则x24x+30，解得x1或x3，P（1，0）或P（3，0），AP1（2）3或AP3（2）5，MP3或MP5，M的坐标为（4，0）或（8，0），故答案为3或5，（4，0）或（8，0）；（2）当点P在y轴上时，P的坐标为（0，3），APMP，

27、M和A关于点P对称，M（2，6），抛物线的顶点坐标为（2，1），A（2，0），又APMP，M和A关于点P对称，M（6，2），在坐标系中描出点（4，0），（8，0），（2，6），（6，2），用平滑的曲线连接，得出曲线是一条抛物线，设抛物线的解析式为yax2+bx+c，代入点（8，0），（2，6），（6，2），得：，解得：，抛物线的解析式为y，该函数的最小值为212在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+a4（a0）的对称轴是直线x1（1）求抛物线yax2+bx+a4（a0）的顶点坐标；（2）当2x3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当txt+1时，y的最大值是m，最小

28、值是n，且mn3，求t的值【分析】（1）利用x求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；（3）分类讨论，利用二次函数的性质求解即可【解答】解：（1）将x1代入抛物线yax2+bx+a4得，ya+b+a42a+b4，对称轴是直线x11，b2a，y2a+b42a2a44，抛物线yax2+bx+a4（a0）的顶点坐标为（1，4）；（2）a0时，抛物线开口向下，y的最大值是4，当2x3时，y的最大值是5，a0不合题意；a0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x1.1到2的距离大于1到3的距离，x2时，y的值最大，y4a2b+a45a2b45，将b2a代入得

29、，a1；（3）t0时，a1，b2a2，y的最大值是mt22t+14t22t3，最小值是n（t+1）22（t+1）3，mn3，t22t3（t+1）22（t+1）33，解得：t1；t1时，y的最大值是m（t+1）22（t+1）3，最小值是n4，mn3，（t+1）22（t+1）3（4）3，解得：t（不成立）；0t时，y的最大值是mt22t+14t22t3，最小值是n4，mnt22t3（4）3，解得：t+1（不成立）；t1时，y的最大值是m（t+1）22（t+1）3，最小值是nt22t3，mn（t+1）22（t+1）3（t22t3）3，解得：t2；综上，t的值为1或213如图，在平面直角坐标系中，点A

30、，B是一次函数yx图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线yx24x+8于点C，D（1）若ADBC，求a的值；（2）点E是抛物线上的一点，求ABE面积的最小值【分析】（1）将已知点的坐标代入相应的函数解析式，再结合ADBC，可得关于a的方程，解得a的值即可；（2）设点E（m，m24m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BFEM，AGEM，垂足分别为F，G，由题意可得M（m，m），从而可用含m的式子表示出EM的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案【解答】解：（1）点A，B是一次函数yx图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，

31、A（a，a），B（a+3，a+3）yx24x+8（x2）2+4，将xa代入得：y（a2）2+4； 将xa+3代入得：y（a+1）2+4D（a，（a2）2+4），C（a+3，（a+1）2+4），AD（a2）2+4a，CB（a+1）2+4（a+3）由ADBC得：（a2）2+4a（a+1）2+4（a+3），a1（2）设点E（m，m24m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BFEM，AGEM，垂足分别为F，G，由题意得：M（m，m），EMm24m+8mm25m+8，SABESAEM+SEMB，由，得SABE有最小值当m时，SABE的最小值为14如图，在平面直角坐标系中，直线yx3与抛物线yx2

32、+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上（1）n3m9（用含m的代数式表示）；（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；（3）设m2，当3x0时，求二次函数yx2+mx+n的最小值；若3x0时，二次函数yx2+mx+n的最小值为4，求m的值【分析】（1）求出点A坐标（3，0）代入抛物线解析式即可（2）利用配方法求出顶点坐标，代入直线解析式即可（3）利用配方法，即可解决问题分三种情形：当3时当30时当0时，分别列出方程即可解决【解答】解：（1）点A坐标（3，0）代入抛物线yx2+mx+n，得93m+n0，n3m9故答案为3m9（2）抛物线为yx2+mx+3m9（x+）2+3m9，顶

33、点为（，+3m9），+3m93，整理得m210m+240，m4或6（舍弃）m4，n3（3）yx22x15（x1）216，3x0，x0时，y的最小值为153x0时，二次函数yx2+mx+n的最小值为4，yx2+mx+3m9（x+）2+3m9，当3时，x3时，y4，93m+3m94，无解不合题意当30时，x时，y4，+3m94，m2或10（舍弃）m2当0时，xO时，y4，3m94，m不合题意舍弃综上所述m215如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（1，2），抛物线F：yx22mx+m22与直线x2交于点P（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值，此

34、时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1x22，比较y1与y2的大小【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）把x2代入解析式得到P点的纵坐标yP4+4m+m22（m+2）22，即可得到当m2时，yP的最小值2，然后根据二次函数的性质即可判断y1与y2的大小【解答】解：（1）抛物线F经过点C（1，2），21+2m+m22，m1，抛物线F的表达式是yx2+2x1（2）当x2时，yP4+4m+m22（m+2）22，当m2时，yP的最小值2此时抛物线F的表达式是y（x+2）22，当x2时，y随x的增大而减小x1x22，y1y216如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB边上一点（E

35、不与A、B重合），F是AD的延长线上一点，DF2BE四边形AEGF是矩形，矩形AEGF面积y随BE的长x的变化而变化且构成函数（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x取何值时，y取得最大（或最小）值，该值是多少？（3）若矩形AEGF的面积是10，求BE的长【分析】（1）表示出AE、AF，然后根据矩形的面积公式列式整理即可得解；（2）根据配方法整理，然后根据二次函数的性质解答；（3）根据矩形AEGF的面积是10，得到方程102x2+4x+16，解方程即可得到结论【解答】解：（1）BEx，DF2BE，AEABBE4x，AFAD+DF4+2xy（4x）（4+2x）2x2+

36、4x+16E不与A、B重合，0 x4，故y2x2+4x+16（0 x4）；（2）y2x2+4x+162（x1）2+18，当x1时，y有最大值为18，（3）令y10，则2（x1）2+1810，解得x13，x21（舍去），BE317已知点A（2，n）在抛物线yx2+bx+c上（1）b1，c3，求n的值；求出此时二次函数在0 x2017上的最小值；（2）若此抛物线经过点B（6，n），且二次函数yx2+bx+c的最小值是4，请画出点P（x2，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由【分析】（1）根据题意和b、c的值可以求得n的值；根据题意和b、c的值，可以求得该抛物线的对称轴，然后利用二

37、次函数的性质即可求得二次函数在0 x2017上的最小值；（2）根据题意可以求得对称轴，然后根据二次函数yx2+bx+c的最小值是4，可以写出抛物线的顶点式，然后利用换元法即求得点P所在的抛物线解析式，从而可以画出相应的函数图象【解答】解：（1）b1，c3，A（2，n）在抛物线yx2+bx+c上n4+（2）1+35当0 x2017时，x当0 x2017时，y随x的增大而增大当x0时，y取最小值为3（2）此抛物线经过点A（2，n），B（6，n），抛物线的对称轴是直线x2，二次函数yx2+bx+c的最小值是4，抛物线的解析式为y（x2）24，令x2x，点P（x2，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化

38、的关系式为yx24，点P（x2，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的如图18定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x0时，它们对应的函数值互为相反数，当x0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数yx1，它的相关函数为y已知二次函数yx2+6x（1）直接写出已知二次函数的相关函数为y；（2）当点B（m，）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求m的值；（3）当3x7时，求函数yx2+6x的相关函数的最大值和最小值【分析】（1）根据相关函数的定义即可找出二次函数yx2+6x+的相关函数，将点A（5，8）代入yax+3中即可求出a值；（2）分m0及m0两种情况考虑，代入点B（m，）的坐标求出m值即可；（3）分3x0及0 x7两种情况，找出函数yx2+6x+的相关函数的最大值和最小值，综上即可得出结论【解答】解：（1）二次函数yx2+6x的相关函数为y，故答案为：；（2）当m0时，把B（m，）代入yx26x得：m26m，解得：m3+（舍去）或m3；当m0时，把B（m，）代入yx2+6x+得：m2+6m+，解得：m32，综合上述：m3或m32或3+2；（3）当3x0时，yx26x（x3