古希腊三个著名问题

1、古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学 的人也都知道.美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年 总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人 已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题.这个问题确实是三个著名 的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会 使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在 求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有 可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60 角.在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向

2、(verging problem)问题任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角.考虑过B点的一条线，它交 CA于E,交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA).令G为EF之中 点，则eg=gf=ga=ba,从中得到：ZABG=ZAGB=ZGAF+ZGFA=2ZGFA=2ZGBC,并且BEF三等分ZABC.因此，这个问题被归结为在DA的延长线 和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF,使得EF斜向B点.如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段 EF=2(BA),然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E在AC 上, F在DA的延长线上；则ZAB

3、C被三等分.对直尺的这种不按规 定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应 用.这一原则的其它应用，参看问题研究4. 6.为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发 现.这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240 年)发现的蚌线.设c为一条直线，而0为c外任何一点，P为c上 任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k.于是， 当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线 (conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支).设计个画蚌线的工具并不 难，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角.这样，令z

4、AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA,截OA于D,截OB于 L(如图32所示).然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线.在 L点作OA的平行线，交蚌线于C.则OC三等分ZAOB.借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一 方法.对于这种方法的最早证明是帕普斯（Pappus,约公元300年）.利 用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4. 8中可以找到.有一些超越（非代数的）曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分， 而且能任意等分.在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯（Hippias, 约公元前425年）发明的割圆曲线（quadratrix）和阿基米得螺线（sp

5、iral of Archimeds）.这两种曲线也能解圆的求积问题.关于割圆曲线在 三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4. 10.多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械 和复合圆规参看R. C. Yates. The Trisection Prolem.其中有 一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一 本书中讲述了这种工具.要制做一个战斧，先从被点S和T三等分 的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU,如 图33所示.用战斧三等分ZABC时，将这一工具放在该角上，使R 落在BA 上, SV通过B点，半圆与BC相切于D.于是证明

6、：RSB， TSB,ATDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角.可以用 直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上.在这种条 件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角（用两个战斧，贝U可以 五等分一个角）.欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图 方法，能作出相当好的近似的三等分.一个卓越的例子是著名的蚀刻 师、画家A.丢勒（Albrecht Durer）于1525年给出的作图方法.取 给定的ZAOB为一个圆的圆心角（参看图34）,设C为弦AB的靠近B 点的三等分点在C点作AB的垂线交圆于D以B为圆心，以BD为 半径，作弧交AB于E.设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B 为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G.那么，OG就是ZAOB的近似 的三等分线.我们能够证明：三等分中的误差随着ZAOB的增大而增 大；但是，对于60 的角大约只差1 ，对于90角大约只差18.只要放弃尺 规作图的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。 古希腊数学家阿基米得（前 287前212）发现只要 在直尺上固定一 点，问题就可解决了。现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点P， 命