高中数学新课程创新教学设计案例-空间直角坐标系

1、26 空间直角坐标系教材分析这节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是以后学习“空间向量”等内容的基础通过建立空间直角坐标系，可以将空间内任一点用有序数组来表示；反过来，任一有序数组就对应一个点，这样空间直角坐标系中的点就有了坐标表示在空间中引入坐标的目的和物理学中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法因此，研究空间图形就可以代数化，实现了形向数的转化，将数与形紧密地结合起来这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角、二面角的平面角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，

2、完善学生的认知结构，起到了很重要的作用教学目标1. 让学学生经历历用类比比的数学学思想方方法探索索空间直直角坐标标系的建建立方法法，进一一步体会会数学概概念、方方法产生生和发展展的过程程，学会会科学的的思维方方法2. 理解解空间直直角坐标标系与点点的坐标标的意义义，掌握握由空间间直角坐坐标系内内的点确确定其坐坐标或由由坐标确确定其在在空间直直角坐标标系内的的点，认认识空间间直角坐坐标系中中的点与与坐标的的关系3. 进一一步培养养学生的的空间想想象能力力与确定定性思维维能力任务分析点在三维空空间内位位置的确确定是一一个比较较抽象的的过程，学学生在这这个方面面还没有有形成清清晰的认认识，教教学时应

3、应充分类类比以往往点在直直线、点点在平面面内位置置的确定定方式通过实实例，激激发学生生的学习习兴趣与与探索欲欲望，充充分发挥挥学生的的主体作作用，引引导学生生顺理成成章地得得出通过过建立空空间直角角坐标系系利用点点的坐标标来确定定点在空空间内的的位置要特别别强调点点与坐标标的一一一对应关关系，来来强化对对点的坐坐标的理理解围围绕在空空间直角角坐标系系中点的的坐标的的确定这这一教学学重点，通通过巩固固与练习习反复强强化如何何在坐标标系中利利用点的的坐标的的概念来来确定点点的坐标标这一过过程，以以巩固学学生对新新知识的的理解，实实现从感感性认识识到理性性认识的的飞跃教学设计一、问题情情景1. 确定

4、定一个点点在一条条直线上上的位置置的方法法2. 确定定一个点点在一个个平面内内的位置置的方法法例：如图226-11，要在在一块长长10ccm、宽宽5cmm的铁板板上钻一一个孔若孔中中心到铁铁板左边边为2ccm，到到下边为为4cmm（铁板板摆放位位置已定定），问问孔中心心的位置置是否确确定3. 如何何确定一一个点在在三维空空间内的的位置？例：如图226-22，在房房间（立立体空间间）内如如何确定定电灯位位置？在学生思考考讨论的的基础上上，教师师明确：确定点点在直线线上，通通过数轴轴需要一一个数；确定点点在平面面内，通通过平面面直角坐坐标系需需要两个个数那那么，要要确定点点在空间间内，应应该需要要

5、几个数数呢？通通过类比比联想，容容易知道道需要三三个数要确定定电灯的的位置，知知道电灯灯到地面面的距离离、到相相邻的两两个墙面面的距离离即可（此时学生生只是意意识到需需要三个个数，还还不能从从坐标的的角度去去思考，因因此，教教师在这这儿要重重点引导导）教师明晰：在地面面上建立立直角坐坐标系xxOy，则则地面上上任一点点的位置置只须利利用x，yy就可确确定为为了确定定不在地地面内的的电灯的的位置，须须要用第第三个数数表示物物体离地地面的高高度，即即需第三三个坐标标z因因此，只只要知道道电灯到到地面的的距离、到到相邻的的两个墙墙面的距距离即可可例如如，若这这个电灯灯在平面面xOyy上的射射影的两两

6、个坐标标分别为为4和55，到地地面的距距离为33，则可可以用有有序数组组（4，55，3）确确定这个个电灯的的位置（如如图266-3）这样，仿照照初中平平面直角角坐标系系，就建建立了空空间直角角坐标系系Oxxyz，从从而确定定了空间间点的位位置二、建立模模型1. 在前前面研究究的基础础上，先先由学生生对空间间直角坐坐标系予予以抽象象概括，然然后由教教师给出出准确的的定义从空间某一一个定点点O引三三条互相相垂直且且有相同同单位长长度的数数轴，这这样就建建立了空空间直角角坐标系系Oxxyz，点点O叫作作坐标原原点，xx轴、yy轴、zz轴叫作作坐标轴轴，这三三条坐标标轴中每每两条确确定一个个坐标平平面

7、，分分别称为为xO平平面，yyO平面面，zOOx平面面教师进一步步明确：（1）在空空间直角角坐标系系中，让让右手拇拇指指向向x轴的的正方向向，食指指指向yy轴的正正方向，若若中指指指向z轴轴的正方方向则称称这个坐坐标系为为右手坐坐标系，课课本中建建立的坐坐标系都都是右手手坐标系系（2）将空空间直角角坐标系系Oxxyz画画在纸上上时，xx轴与yy轴、xx轴与zz轴成1135，而yy轴垂直直于z轴轴，y轴轴和z轴轴的单位位长度相相等，但但x轴上上的单位位长度等等于y轴轴和z轴轴上的单单位长度度的，这这样，三三条轴上上的单位位长度直直观上大大致相等等2. 空间间直角坐坐标系OOxyyz中点点的坐标标

8、思考：在空空间直角角坐标系系中，空空间任意意一点与有序序数组（xx，y，zz）有什什么样的的对应关关系？在学生充分分讨论思思考之后后，教师师明确：（1）过点点A作三三个平面面分别垂垂直于xx轴，yy轴，zz轴，它它们与xx轴、yy轴、zz轴分别别交于点点P，QQ，R，点点P，QQ，R在在相应数数轴上的的坐标依依次为xx，y，zz，这样样，对空空间任意意点A，就就定义了了一个有有序数组组（x，yy，z）（2）反之之，对任任意一个个有序数数组（xx，y，zz），按按照刚才才作图的的相反顺顺序，在在坐标轴轴上分别别作出点点P，QQ，R，使使它们在在x轴、yy轴、zz轴上的的坐标分分别是xx，y，zz

9、，再分分别过这这些点作作垂直于于各自所所在的坐坐标轴的的平面，这这三个平平面的交交点就是是所求的的点A这样，在空空间直角角坐标系系中，空空间任意意一点AA与有序序数组（xx，y，zz）之间间就建立立了一种种一一对对应关系系：A（xx，y，zz）教师进一步步指出：空间直直角坐标标系Oxyzz中任意意点A的的坐标的的概念对于空间任任意点AA，作点点A在三三条坐标标轴上的的射影，即即经过点点A作三三个平面面分别垂垂直于xx轴、yy轴和zz轴，它它们与xx轴、yy轴、zz轴分别别交于点点P，QQ，R，点点P，QQ，R在在相应数数轴上的的坐标依依次为xx，y，zz，我们们把有序序数组（xx，y，zz）叫

10、作作点A的的坐标，记记为A（xx，y，zz）（如如图266-4）三、解释应应用例题1. 在空空间直角角坐标系系Oxxyz中中，作出出点P（55，4，66）注意：在分分析中紧紧扣坐标标定义，强强调三个个步骤，第第一步从从原点出出发沿xx轴正方方向移动动5个单单位，第第二步沿沿与轴轴平行的的方向向向右移动动4个单单位，第第三步沿沿与z轴轴平行的的方向向向上移动动6个单单位（如如图266-5）2. （11）在空空间直角角坐标系系中，坐坐标平面面xOyy，xOOz，yyOz上上点的坐坐标有什什么特点点？（2）在空空间直角角坐标系系中，xx轴、yy轴、zz轴上点点的坐标标有什么么特点？解：（1）xxOy

11、平平面、xxOz平平面、yyOz平平面内的的点的坐坐标分别别形如（xx，y，00），（xx，0，zz），（00，y，zz）（2）x轴轴、y轴轴、z轴轴上点的的坐标分分别形如如（x，00，0），（00，y，00），（00，0，zz）3. 已知知长方体体ABCCDAABCDD的边边长ABB122，ADD8，AAA5，以以这个长长方体的的顶点AA为坐标标原点，射射线ABB，ADD，AAA分别别为x轴轴、y轴轴和z轴轴的正半半轴，建建立空间间直角坐坐标系，求求这个长长方体各各个顶点点的坐标标注意：此题题可以由由学生口口答，教教师点评评解：A（00，0，00），BB（122，0，00），DD（0，88，

12、0），AA（00，0，55），CC（122，8，00），BB（112，00，5），DD（00，8，55），CC（112，88，5）讨论：若以以C点为为原点，以以射线CCB，CCD，CCC方方向分别别为x，yy，z轴轴的正半半轴，建建立空间间直角坐坐标系，那那么各顶顶点的坐坐标又是是怎样的的呢？得出结论：建立不不同的坐坐标系，所所得的同同一点的的坐标也也不同练习1. 在空空间直角角坐标系系中，画画出下列列各点：A（00，0，33），BB（1，22，3），CC（2，00，4），DD（11，2，2）2. 已知知：长方方体ABBCDABBCD的的边长AAB112，AAD88，AAA77，以这这个长方方

13、体的顶顶点B为为坐标原原点，射射线ABB，BCC，BBB分别别为x轴轴、y轴轴和z轴轴的正半半轴，建建立空间间直角坐坐标系，求求这个长长方体各各个顶点点的坐标标3. 写出出坐标平平面yOOz上yOzz平分线线上的点点的坐标标满足的的条件四、拓展延延伸1. 分别别写出点点（1，11，1）关关于各坐坐标轴和和各个坐坐标平面面对称的的点的坐坐标2. 设为任意意实数，相相应的所所有点PP（1，22，z）的的集合是是什么图图形？3. 试将将平面直直角坐标标系中的的两点间间距离公公式类比比到空间间直角坐坐标系中中去点评这篇案例主主要采用用启发式式教学方方法，通通过激发发学生学学习的求求知欲望望，使学学生主动动参与教教学实践践活动首先，为为了使学学生比较较顺利地地实现从从线到平平面、再再从平面面到空间间的变化化，即从从一维到到二维、再再从二维维到三维维向量的的变化，采采用了类类比的数数学教学学手段，顺顺利地引引导学生生实现了了这一变变化，同同时引起起了学生生的兴趣趣在整个教学学过程中中，内容容由浅入入深，环环环相扣扣，不仅仅使学生生在学习习过程中中了解了了知识的的发生、发发展的过过程，也也使学生生尝到了了成功的的喜悦这对增增强学生生的学习习