毕业论文-单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真

1、毕业设计（论文）题目： 单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真 系 别 信息工程系专业名称 班级学号 学生姓名 指导教师 二O一四 年 五 月 毕业设计（论文）任务书I、毕业设计(论文)题目：单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真业设计(论文)使用的原始资料(数据)及设计技术要求： 1、在深入了解倒立摆的基础上，熟悉单级倒立摆控制的基本原理 2、了解单级倒立摆控制的发展趋势。 3、熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法。 4、建立单级倒立摆的数学模型，并编写MATLAB程序，完成倒立摆的仿真。业设计(论文)工作内容及完成时间： 工作安排如下： 1、查阅文献，翻译英文资料，书写开题报告 第1

2、4周 2、相关资料的获取和必要知识的学习 第59周 3、设计系统的硬件和软件模块并调试 第10-14周 4、撰写论文 第15-17周 5、总结，准备答辩 第18周要参考资料： 1阳武娇.基于MATLAB的一阶倒立摆控制系统的建模与仿真J.电子元器件应用.2007，9(1):29-31 2 .杨世勇，徐莉苹，王培进.单级倒立摆的PID控制研究J.控制工程.2007,14:23-53. 3黄忠霖.控制系统MATLAB计算及仿真M.北京：国防工业出版社，2006 4薛安客，王俊宏倒立摆控制仿真与实验研究现状J.杭州电子工业学院学报.2002，21(6):25-27. 5 .徐征.基于遗传算法的PID

3、控制器参数寻优方法的研究D.武汉：武汉大学，2004 6Takahas M，Narukawa T，Yoshida KIntelligent transfer andstabilization control to unstable equilibrium point of double inverted pendulumInt SICE 2003 Annual Co nfeFence，2003，2：1451-145. 系 专业类 班学生（签名）： 填写日期： 2014 年 1 月 10 日指导教师（签名）： 助理指导教师(并指出所负责的部分)： 系主任（签名）：PAGE 南昌航空大学科技学院2

4、014届学士学位论文 单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真摘要：单级倒立摆系统是一个典型多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。这些特性使得许多抽象的控制理论概念，比如系统稳定性、可控性等等，都能通过单级倒立摆系统直观的表现出来。通过对倒立摆的控制，可以用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。Matlab是控制界应用广泛的计算机辅助设计与分析工具，它集矩阵运算、数值分析、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、良好的用户环境，还有其强大的科学计算与可视化功能，简单易用的开放式可编程环境。线性二次型调节器（LQR）其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统 ,而目标

5、函数为对象状态和控制输入的二次型函数。LQR理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的一种状态空间设计法。本文在对倒立摆深入了解的基础上，介绍了倒立摆系统的特性，并利用牛顿力学对直线一级倒立摆建模，最后通过Matlab对其最优线性二次调节LQR的设计及仿真。关键词：倒立摆 Matlab LQR理论指导老师签字：Design and Simulation of single inverted pendulum LQR controllerAbstract: The single inverted pendulum system is a typical multi variable instabi

6、lity and strongly coupled nonlinear system. These characteristics make many abstract concepts of control theory such as the stability of the system controllability and so on can be through a single inverted pendulum system show. Through the control of the inverted pendulum, can be used to test wheth

7、er the new control method to deal with nonlinear and instability problem.Matlab is widely used in computer aided design and analysis tools, it sets the matrix operations, numerical analysis, signal processing and integrated graphics, constitute a convenient, good user environment, and its powerful s

8、cientific computing and visualization, open and easy to use programming environment.Linear quadratic regulator (LQR), its object is the modern control theory in the linear system is given in state space form, and the objective function is the two type function object state and control input. LQR the

9、ory is the modern control theory in the development of the earliest and most as a state space design method of mature.In this paper, based on the inverted pendulum on an in-depth understanding, describes the characteristics of the inverted pendulum system, and the use of Newtonian mechanics of linea

10、r inverted pendulum model, and finally through the Matlab on design and Simulation of the optimal linear quadratic regulator .Key Words: Inverted Pendulum Matlab LQR theorySignature of Supervisor:目录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc390164033 1引言 PAGEREF _Toc390164033 h 4 HYPERLINK l _Toc390164034 1.1

11、选题的依据及意义 PAGEREF _Toc390164034 h 4 HYPERLINK l _Toc390164035 1.2倒立摆的发展趋势 PAGEREF _Toc390164035 h 4 HYPERLINK l _Toc390164036 2倒立摆系统介绍 PAGEREF _Toc390164036 h 6 HYPERLINK l _Toc390164037 2.1倒立摆系统简介 PAGEREF _Toc390164037 h 6 HYPERLINK l _Toc390164038 2.2倒立摆的分类 PAGEREF _Toc390164038 h 6 HYPERLINK l _To

12、c390164039 2.3倒立摆的特性 PAGEREF _Toc390164039 h 7 HYPERLINK l _Toc390164040 3倒立摆控制理论简介 PAGEREF _Toc390164040 h 9 HYPERLINK l _Toc390164041 3.1LQR最优控制理论 PAGEREF _Toc390164041 h 9 HYPERLINK l _Toc390164042 3.2PID控制 PAGEREF _Toc390164042 h 9 HYPERLINK l _Toc390164043 3.3状态空间法 PAGEREF _Toc390164043 h 10 HY

13、PERLINK l _Toc390164044 3.4神经网络控制 PAGEREF _Toc390164044 h 10 HYPERLINK l _Toc390164045 4直线倒立摆建模 PAGEREF _Toc390164045 h 11 HYPERLINK l _Toc390164046 4.1直线一级倒立摆的物理模型 PAGEREF _Toc390164046 h 11 HYPERLINK l _Toc390164047 4.2系统模型 PAGEREF _Toc390164047 h 15 HYPERLINK l _Toc390164048 5 LQR控制器的设计及仿真 PAGERE

14、F _Toc390164048 h 17 HYPERLINK l _Toc390164049 5.1 LQR基本原理及分析 PAGEREF _Toc390164049 h 17 HYPERLINK l _Toc390164050 5.2 LQR控制参数调节及仿真 PAGEREF _Toc390164050 h 18 HYPERLINK l _Toc390164051 5.3仿真结果分析 PAGEREF _Toc390164051 h 20 HYPERLINK l _Toc390164052 6 结论 PAGEREF _Toc390164052 h 24 HYPERLINK l _Toc3901

15、64053 参考文献 PAGEREF _Toc390164053 h 25 HYPERLINK l _Toc390164054 致谢 PAGEREF _Toc390164054 h 25单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真1引言1.1选题的依据及意义倒立摆有机地结合了机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的，而且这个被控系统自身也是一个快速、高阶次、拥有许多变量、非线性、强耦合性、非常不稳定的系统，所以能作为一个很典型的控制对象从而对这个系统进行研究。在上个世纪五十年代，某些高等学院研究控制论的专家来源于火箭发射助推器原理的灵感从而设计出了一阶倒立摆实验设备，从此以后这个控制方法广

16、泛用于军工、航天、机器人和一般工业领域中，比如机器人控制系统中的平衡控制、火箭发射中的垂直角度控制、飞机安全着陆、化工过程控制以及平时我们的生活中非常常见的，很多重心在上、支点在下的这些控制问题，大都涉猎到了“倒立摆问题”。因此，非常多的现代控制理论专家们长期把它作为典型的研究对象，并且不断的从中研究出新颖的控制策略与控制的方法，从而许多的相关科研成果在例如航天航空科技与机器人学方面得到了非常广泛的应用。近年来控制理论在如今的工程技术界，大多是为了解决面向工程实际、面向工程应用的问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套比较完好的试验设备，并且将它的理论方法实现有效的验证，因此倒立

17、摆可以为这项工程提供一个从基本控制理论走向实践的方法。所以学习倒立摆可以为我们在探讨这些控制理论和方法打好最夯实的地基。1.2倒立摆的发展趋势在稳定性的控制问题上，倒立摆有普遍和典型的性质。倒立摆作为一个控制器材，结构比较简易、价格也很低廉，方便模拟和实现各种不同的控制方式。倒立摆这个被控对象是一个具有高阶次、不稳定、变量多、非线性、强耦合等特点的系统。通过使用很有效的控制手段，才能使其在一定的干扰下保持稳定。在上个世纪六十年代，国外很多学者对倒立摆系统深入研究，分析了多级倒立摆稳定性的控制，并且得出了bang-bang的稳定控制。而后，控制理论界对这个典型不稳定、非线性的倒立摆系统提出了新的

18、概念，并用其检测控制方法对各种不稳定、非线性和快速性系统的控制效果，得到了全世界许多科学家的重视。用不同的控制方法去控制不同种类的倒立摆，是一个很有挑战的课题。从七十年代初，当时的一个研究热点是使用状态反馈理论对各个种类的倒立摆控制，而且在许多方面取得了比较理想的效果。但却因为状态反馈控制对线性化的数学模型比较依赖，所以对于一般的工业控制特别是数学模型不清楚的非线性控制对象比较乏力。上世纪八十年代后，这种情况有了极大地改善。随着模糊控制理论的进步和将模糊控制理论应用于倒立摆系统的控制，使得处理非线性问题有了非常大的进步。用模糊理论控制倒立摆，它的意义是为了检验模糊理论对快速、绝对不稳定系统的控

19、制能力。在这一时期，将模糊理论用于单级倒立摆的控制系统有了非常大的进步。随着模糊控制器输入量的变多，控制的规则方式也随之成指数增加，就使得模糊控制器的实际情况变得非常繁杂，控制所用的时间增长很多。用双闭环模糊控制方法控制单级倒立摆，就很好地解决了这个问题。我国北京大学学数学系李洪兴教授带领的科研团队用变论域自适应模糊控制理论实现了对四级倒立摆的稳定控制是模糊控制理论应用于倒立摆的最新研究成果。 到了上世纪九十年代，将神经网络应用于倒立摆控制的研究就有了迅速发展。早在1963年，Widrow和Smith就初步将神经网络用到单级倒立摆小车的控制方法中。神经网络控制倒立摆理论是以自学习为基础，用一种

20、全新的理念处理信息，显示出了很大的发展空间，具有巨大的潜力。除了以上控制理论外，还有许多别的控制方法应用于倒立摆的控制。例如利用云模型实现智能控制倒立摆。这个方法的优势在于不用建立繁琐的数学模型，凭借人的感觉、经验和逻辑的判断，将人的控制经验用语言定性的表达出来，然后用语言院子和云模型转换到里面的语言控制规则器中，轻松地解决了倒立摆控制的非线性和不确定性这两大问题。遗传算法是美国密歇根大学Holland教授推荐发展起来的, 是为了模拟生物学中的自然遗传和达尔文进化理论而提出的并行随机优化算法。它的核心思想是: 随着时间的更替,只有最适合的物种才能得以进化。 如今，对倒立摆控制的理论与实践不断发

21、展进步，其方法也越来越多，越来越完善，主要分为以PID控制、状态反馈控制、LQR最优控制为典型代表的非线性系统理论控制和以神经网络控制、模糊控制、遗传算法控制为代表的智能控制这两大类。2倒立摆系统介绍2.1倒立摆系统简介倒立摆系统在最早被提出时的形式为单级直线形，也就是只有一级摆杆的一端是自由的，而另外一端铰接就是在直线导轨上面任意滑动的小车上面。随后人们在这个基础之上，又进行了扩展，于是出现了许多形式的倒立摆。每一种形式的倒立摆再根据摆杆数量的差异而进一步区分为一级、二级、三级和多级倒立摆。所以摆杆的级数数量越多，它的控制难度就会愈大，但是摆杆的长度变化也是会产生差异的。多级摆的摆杆之间就是

22、自有连接。当今社会中，直线型倒立摆被视为实验仪器并且它的结构相对简单、形象直观、构件参数也非常容易被改变和性价比高等优势，所以广泛的用于教学。目前与直线倒立摆相关的控制技术已经差不多日渐成熟，并且在其所在的领域所研究出的成果也是相当繁多。即使环形倒立摆的基座运动形式和直线倒立摆有些许差距，但是二者的相似之处是基座只有一个自由度，能参考相对于成熟的直线倒立摆的研究成果，所以现如今出现了大批的理论成果。平面倒立摆就是所有倒摆系统中最为复杂的一类，原因就是平面倒立摆的基座可以在平面内自由的移动，并且摆杆能沿平面内的任意一条轴线转动，这就使系统的非线性、耦合性、多变量等特性更加的突出，所以就增加了其控

23、制的难度，并且机械和电子器件发展遇到难以突破的困难，使平面倒立摆工程的实现也带来了相当程度的困难。即使倒立摆系统的结构形式是有各种结构，但是无论是其中的哪一种结构，对比与其本身而言，归根结底都是一个非线性、多变量、强耦合、绝对不稳定性系统。2.2倒立摆的分类倒立摆从原来的直线一级倒立摆拓展出不同的种类，主要有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等。倒立摆系统是在运动模块上设置倒立摆装置，不同的倒立摆装置可以装在相同的模块中，因此倒立摆的种类变得丰富多变，按倒立摆的结构来分，倒立摆分一下类别：1) 直线倒立摆直线倒立摆是在直线运动模块上设置摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车沿着轨

24、道水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有一对可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。2) 环形倒立摆环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。3) 平面倒立摆平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是XY运动平台，另一类是两自由度SCARA机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种

25、。4) 复合倒立摆复合倒立摆是一种新型倒立摆，它的结构由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是2)中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆基本用在比较基础的控制理论实验，多级倒立摆主要用于控制算法的研究。随着倒立摆的级数越高，其控制难度会大大增大。目前，可以实现的倒立摆控制最高级数为四级。2.3倒立摆的特性尽管由于选择的方法很多且构造方式的不同，倒立摆各式各样，但它们有五个共同的特征。不确定性因为机器本身的原因，会带来一系列的问题

26、。如元器件的阻力，机器传动轴之间的缝隙和样式的偏差。在现实中我们要通过不同的方法弥补偏差来减少不确定性。弥补的不确定性的方法有润滑齿轮，安装优质的滚珠轴承和增大轴带的预紧力等等。非线性 对于倒立摆始终有一个议论的话题，那就是如何控制倒立摆的分线性。由于倒立摆的系统是非线性的，研究能先利用线性化后得到一个类似的系统样式，由此来控制。（3) 开环不稳定性当倒立摆呈现垂直向上或者垂直向下时，满足稳定状态。此时肯定不稳定的平衡点是垂直向上的，稳定的平衡点是垂直向下的。 （4) 耦合性倒立摆上级摆杆与下级摆杆，同等级摆杆之间有存在强大的耦合。模块之间因为运动，所以产生了非常大的耦合。因此在计算解耦时，需

27、要取管制倒立摆的平衡点相近的地方，而且要舍弃非主要的耦合量。（5) 约束限制受到机构的制约，要进行限制运动模块行程，限制电机力矩。一旦发生小车碰撞，那就是行程限制的问题，因为它能影响倒立摆的摆起效果。尽可能的减少倒立摆的构造距离，降低电机的功率，这样能减少支出成本且快速的完成制造。3倒立摆控制理论简介由于倒立摆系统是绝对不稳定的，所以控制器的设计对于倒立摆控制至关重要。为了使系统在承受一定的干扰下保持稳定，需要给系统设计合适的控制器。目前主要的控制器设计理论有：PID控制理论、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以

28、及把这些控制理论的相互结合组成更加强大的复合理论算法。3.1LQR最优控制理论最优控制理论是现代控制理论中的一个重要方面。最优控制理论主要研究怎么使控制系统的性能指标实现最优化所需要的基本条件和 HYPERLINK /view/4567236.htm t _blank 方法。 最优控制理论是从不同可能的控制方法中寻求出一种最优解并解决的一门 HYPERLINK /view/145919.htm t _blank 学科。它是现代控制理论中不可或缺的重要组成。最优控制理论所研究的主要内容简单概括为：对一个受控制的动力学系统或运动过程，从一切可能的控制方案中寻求出一个最好的控制方案，使被控系统从初始

29、状态尽快到达原定的目标状态的，并且其性能指标值也为最优。LQR最优设计指设计是求出的状态反馈控制器K。若要使二次型目标函数J取最小值，就由权重矩阵中的Q与R唯一决定，所以选择合适的Q、R尤其重要。LQR理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的一种状态空间设计法。特别可贵的是，可以得到状态线性反馈的最优控制规律，并很容易构成闭环最优控制。而且Matlab的发展开发为LQR理论仿真提供了方便，更为我们更快、更稳、更准地控制目标提供了有利条件。3.2PID控制PID（比例、积分、微分）控制器作为实用化的控制器发展至今将近百年历史。PID控制器简单易学，它不需要很精确的系统模型作为先决条件，所以PID

30、控制器应用比较广泛。PID控制器由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成。其输入e(t）与输出u(t）的关系为：u(t) = kp e(t)+1/TIe(t)dt + TD*de(t)/dt上面式子中积分的上限是t，下限是0，所以传递函数为：G(s)=U(s)/E(s)=kp1+1/(TI*s)+TD*s其中kp为比例系数； TI为积分时间常数； TD为微分时间常数3.3状态空间法状态空间法是现代控制理论中以状态变量描述为基础上对控制系统分析和研究的方法。状态变量能对系统运动做完全的描述。倘若运动系统的外界输入知道，那么根据这个外界输入的现时值就能完全确定系统在以后每个时段的运动情

31、况。通过状态变量描述能建立系统内部状态变量与外部输入变量和输出变量之间的关系。反映状态变量与输入变量间因果关系的数学描述称为状态方程，而输出变量与状态变量和输入变量间的变换关系则由量测方程来描述。3.4神经网络控制 人工神经网络由许多个神经元组成，并且采用并行和分布式的信息处理方式的网络结构，各个神经元有其自己单一的输出，各个神经元相互连接传输，其输入有多个连接通路，每个连接通路对应一个连接权系数。人工神经网络和生物神经网络非常相似，只有经过前期学习才能是系统具有智能特性。然而人工神经网络的学习方式，其实也就是调节权值和阂值的过程。人工神经网络控制有很多优点：1）具有并行分布处理信息的能力；2

32、）有学习过程，具有归纳优化输入数据的功能；3）用于线性或非线性都可以；4）适应能力较强。 4直线倒立摆建模直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。4.1直线一级倒立摆的物理模型倒立摆系统可以用机理建模或实验建模。实验建模就是把原先确定的输入量加载到研究对象上，激励研究对象并用传感器观测其输出，使用数学方法是系统的输入与输出联系起来。其中包括了输入量的精确选取，输出量的设计检测，数学算法的研究等内容。机理建模就是先研究被控对象的运动规律，使用物理化学知识和数学算法把系统内部的输入状态关系建立起来。由于倒立摆系统是一个非常不稳定又具有很多特性的系统，所以实验建模难度会

33、比较大。但是把实际的一些次要因素忽略掉，达到理想状态。那么这个系统就是一个典型的运动的刚体系统。可以用牛顿力学建立倒立摆的运动系统和数学模型。下面采用牛顿力学方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。忽略空气阻力和各种摩擦等次要因素，直线一级倒立摆就可以看做小车和匀质杆组成的简单系统，如图4-1所示。设定以下量：M 小车质量 m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆轴心到摆杆质心的距离I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置图4-1直线一级倒立摆模型 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角图4-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。图

34、4-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (4-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： (4-2)即： （4-3）把这个等式代入式(4-1)中，就得到系统的第一个运动方程： (4-4)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： (4-5) (4-6)力矩平衡方程如下： (4-7)合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程： (4-8)设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即1，则可以进行近似处理： ，。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下： （4-9）对式

35、(4-9)进行拉普拉斯变换，得到 (4-10)由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到： (4-11)或 (4-12)如果令v=x，则有： （4-13）把上式代入方程组的第二个方程，得到： (4-14)整理后得到传递函数： (4-15)其中 设系统状态空间方程为： (4-16)方程组 对解代数方程，得到解如下： (4-17)整理后得到系统状态空间方程： (4-18) 由(4-9)的第一个方程为：对于质量均匀分布的摆杆有： 于是可以得到：化简得到： (4-19)设 则有： (4-20)用牛顿力学方法求得上述状态方程。4.2系统模型系统模型参数如下:M 小车质量1.096 Kg m 摆杆质

36、量0.109 Kg b 小车摩擦系数0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.2 5m I 摆杆惯量0.0034 kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数： (4-21)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： (4-22)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： （4-23）以外界作用力作为输入的系统状态方程： （4-24）以小车加速度作为输入的系统状态方程： (4-25)5 LQR控制器的设计及仿真5.1 LQR基本原理及分析线性二次最优控制LQR基本原理为：由系统方程: （5-1）确定下列最佳控制向量的矩阵 K： u(t)=-K*x(

37、t) （5-2）使得性能指标达到最小值： （5-3）式中 Q正定(或正半定)厄米特或实对称阵R为正定厄米特或实对称阵 图5-1最优控制LQR控制原理图对线性系统： （5-4）根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反馈矩阵K的值。 K=lqr(A，B，Q，R) （5-5）改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q的值越大(在一定的范围之内)，系统抵抗干扰的能力越强，调整时间越短。5.2 LQR控制参数调节及仿真前面得到了直线一级倒立摆系统比较精确的动力学模型，下面应用LQR控制法设计控制器，要求控制摆杆保持竖直上平衡的同时，跟踪小车的位置。前面已经得到了直线一级倒立摆系

38、统的系统状态方程（4-25），假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K。在Matlab中Lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。最简单的情况是假设R=1，Q=。当然，也可以通过改变Q矩阵中的非零元素来调节控制器以得到期望的响应。 （5-6）其中，代表小车位置的权重，而是摆杆角度的权重。下面来求矩阵K，Matlab语句为。Matlab程序为：A= 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0; B= 0 1 0 3; C= 1 0 0 0; 0 0 1 0; D= 0 0 ; Q11=500; Q33

39、=200; Q=Q11 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 Q33 0; 0 0 0 0; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) Ac = (A-B*K); Bc = B; Cc = C; Dc = D; T=0:0.005:5; U=0.2*ones(size(T);Cn=1 0 0 0; s=size(A,1)Z=zeros(1,s),1;Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K); Bcn=Nbar*B; Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T); plot(T,X(:,1),y);hold on; plot(T,X(:,2),b);hold on; plo

40、t(T,X(:,3),g);hold on; plot(T,X(:,4),r) legend(CartPos,CartSpd,PendAng,PendSpd)子程序rscale.mfunction Nbar=rscale(A,B,C,D,K)s=size(A,1);Z=zeros(1,s) 1;N=inv(A,B;C,D)* Z;Nx=N(1:s);Nu=N(1+s);Nbar=Nu+K * Nx;5.3仿真结果分析令=1, =1求得运行得到阶跃响应曲线如图5-2所示：图5-2其中CartPos线是小车的位移曲线，CartSpd线是小车的速度曲线，PendAng线是摆杆角度曲线，PendSpd线是摆杆角速度曲线。从上图可以看出，闭环控制系统阶跃响应的最大偏差很小，但系统上升达到稳定的时间偏大。可以通过增大控制量来减短达到稳定的时间和上升时间。令=10, =20求得运行得到阶跃响应曲线如图5-3所示： 图5-3从图中可以发现，增大Q矩阵中的Q11可以使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。令=10，=200求得K=-3.1623 -4.1797 36.8693 6.2796运行得到的阶跃响应曲线如图5-