七年级数学竞赛培优(含解析)专题24相交线与平行线

1、专题24订交线与平行线阅读与思虑在同一平面内，两条不同样直线有两种地点关系：订交或平行当两条直线订交或两条直线分别与第三条直线订交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等地点关系角，善于从订交线中辨别出以上不同样名称的角是解有关问题的基础，掌握对顶角有公共极点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共极点且有一条边在截线上，这是识图的重点.两直线平行的判断方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据.1.平行线的判断(1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行；(2)平行于同素来线的两条直线平行；(3)在同一平面内，垂直于同素来线的两条直线平行.平行线的性质过直线外一点，有且只有一条直

2、线和这条直线平行；两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；(3)若是一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】(1)如图，AB/DEZABO80,ZCDIB140，则ZBCd.(安徽省中考试题)(2)如图，已知直线AB/CDZC=115,ZA=25,则ZE=.(浙江省杭州市中考试题)1C解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特点进行求解【例2】如图，平行直线ABCD与订交直线EF,GHf交，图中的同旁内角共有A.4对B.8对C.12对D.16对（“希望杯”邀请赛试题）解题思路:每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行

3、分解下手.例2题图例3题图【例3】如图，在ABC中，CHAB于E,DHAB于F,AC/EDCE是ZACB勺均分线，求证:ZEDQZBDF（天津市竞赛试题）解题思路：综合运用垂直定义、角均分线、平行线的判断与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形.【例4】如图，已知AB/CDZEAR1ZEAB/FC已1ZECD求证：ZAFQ-ZAEC444（湖北省武汉市竞赛试题）2解题思路：分别过点E,F作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系例4题图例5题图【例5如图，已知Z1=Z2,ZCZD,求证：ZA=ZF.解题思路：从角出发，导出两直线的地点关系，再推出新的角的关系，新的两直线的地点关系,是解这类

4、问题的基本思路.【例6】(1)已知平面内有4条直线a,b,c和d,直线a,b和c订交于一点，直线b,c和d也订交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的原因.作第5条直线e与(1)中的直线d平行.说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：(1)先设直线a,b,c的交点为P,直线b,c,d的交点为Q证得P与Q实为同一点，得出结论.(2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质.3能力训练1.在同一平面内有ai,a2,a3，a十条直线，若是a/a?,a2Xa3,ana4,a4!_a5,a5/a6,a6a?,，那么a与可。的地点关系是2.如图，已知AE/B

5、DZ1=130/2=,30,则Z.（湖南省常德市中考试题）3.如图，直线a,b都与直线c订交，以下命题中，能判断allb的条件是（把你认为正确的序号填在横线上）Z1=72;Z3=76;Z1=Z8;Z5+Z8=180.（陕西省中考试题）第2题第3题第4题图将两张矩形纸片以以下图摆放，使其中一张矩形纸片的一个极点碰巧落在另一张矩形纸片的一边上，贝U/1+Z2.（山东省烟台市中考试题）5.下面四个命题中正确的选项是（）4A.相等的两个角是对顶角B.和等于1800的两个角互为邻补角连结两点的最短线是过这两点的直线两条直线订交所成的四个角都相等，则这两条直线相互垂直（“希望杯”邀请赛试题）以下命题两条订

6、交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直.两条订交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等.两条直线订交，一角的两邻补角相等，则这两直.线垂直.两条直线订交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直.其中正确的有（）.A.4个B.3个C.2个D.1个.如图，DHEG/BC且DCEF,那么图中与/BFE相等的角（不包括/BFE）的个数是（）A.2B（山东省荷泽地域中考试题）8.如图，AB/CD/EF/GHAE/DG点C在AE上，点F在DG上，设与Z部目等的角的个数为m（不包括/a自己），与ZE互补的角的个数为n.若a乒E，贝Unun的值是（）A.8第7题59.如图，已知AB/ED/NC&30分求Z

7、B的度数.,CZBCEChCM610.如图，已知E是ABCB卜一点，/BZEZE,求证：AB/CD11.平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到?（吉林省竞赛试题）12.如图，已知CD/EF,Z1+Z2=ZABC求证：AB/GF（重庆市竞赛试题）71.如图，.zA=60,Z1=Z2,则ZADC勺度数是2.如图，直线allb,那么Nx的度数是（五城市联赛试题）第1题3.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D,C分别落在D,C的地点，若/EFA65,贝UZAED=_（山东省中考试题）4.如图，已知DE/BCZ2=70Z,1=40,那ZEBA勺度数是第5题图

8、5.如图，直线k/l,z4-Z3=Z3Z2=Z2Z3=d0.其中Z3v90，/1=50,则Z4最大可能的整数值是（）.A.107B.1088C.109.1106.如图，AB/CDEEE电CDTH,贝UZBAOZACBZCEF#于().1800?2700C.3600（北京市竞赛试题）.如图，两直线ABCDW,贝UZ1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=().6300B.720.8000D.900（“希望杯”邀请赛试题）第7题图.两条直线a,b相互平行，直线a上按次有10个点A,A2，A10,直线b上按次有9个点Bi,B2,，B3,将a上每一个点与b上每一个点相连可得线段.若没有三条线段订交于同一点，

9、则这些线段的交点个数是（）A.90B.1620C.6480D.20069.如图，已知两条平行线ABCD被直线EF所截，交点分别为GH,P为HD上随意一点，过P点的直线交HF于O点，求证：/HORZAGRZHPO9如图，在ABK,AA7,AO11,点M是BC的中点，AD是ZBAC的均分线，M刊AD求FC的长.（2013年“数学周报”杯竞赛试题）11.平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于26.（莫斯科八年级竞赛试题）1012.如图，MA/NA,则ZA+ZA=如图，MA/NA,则ZA+Z如图A+ZA=.，MA/NA,则ZA+Z如图，MA/NA,则ZA+ZA+ZA+ZA4=.A+

10、ZA+ZA+ZAs=从上述结论中你发现了什么规律？请在图，图，图中选一个证明你的结论|(第21题)(2)如图5,MA1|NAn，则A1中A2+NA3十+4n=(3)利用上述结论解决问题：如图已知AB|CD,2ABE和ZCDE的均分线订交于F,NE=140，求NBFD的度数.11专题24订交线与平行线例1(1)40过点C作CFAB则ZBCFZABO80.ZDCF180140=40二,ZBC#80-40=40.(2)90过点E作EM/AB?AB/CD?EM/CDZAEM18025=155.ZCEM180115=65?,E=Z.AZCEM155-65=90.例2D提示：原图可分解为8个基本图形.例3

11、提示:由DF/CE得，/例4过E作EM/ABAB/BD=ZBCE/FDE=ZDECAC/DE得ZDE(=ZECA于CD?-EM/CD?.?ZAEC=ZAEMZCEMZEABZECD同理：ZAFC=ZFA8ZFCD.ZAEC=ZFABZFCDZEAF+ZECF=ZAFG?ZEAB14+ZEC9ZAFG?ZAEC故ZAFC=?ZAEC例5提示：先证BD/CE再证DF/BC例6（1）直线a,b,c,d共有1个交点，原因以下：设直线a,/b,c的交点为P,直线b,c,d的交点为Q这意味着点P和点Q都是直线b和c的交点.而两条不同样直线至多有一个交点.因此P、和Q必为同一个点.即4条直线a,b,c和d订

12、交于同一个点.因此e这4条直线只有一个交点.a不如设（1）中交点为O由于作的第5条直线e与（1）中的直线d平行，因此直线e和直线d没有公共点，因此这些e可是点O而直线a,b,c与直线e一定都订交以以下图.设直线e与直线a,b,c分别订交于点A,B,C这时有A,B,C,。共四个不同样的点.能够连出OAOBOCARACBC共6条不同样的线段.A级1.a1/a102.203.4.905.D6.B7.C8.D提示：m=5,n=6,m+n=5+6=11.9.6010.提示：过点E作EF/AB11以以下图.12.作CK/FG延伸GFCg于H点，则Z1+Z2=ZABC故ZABCZBCK180,12即CK/A

13、AB/GF13级1.1202.723.50提示4.：30Z2=505.C+d,/3=50+2d,/4=50又Z+3d,3=50+290,d20,Z4=50110+3故.Z4的最大整数值为109.dd6.B7.D8.B提示：由题意知每一个交点由a上两点和b上两点所确定.在a上取两点有侦ZOx勺-钮种情况，在b上取两点有12X9X8=36种情况，故友点个数为45*36=1620个.提示：过点O作CD勺平行线.如图，设N是AC的中点，连结MN贝UMNIAB又MF/ADFMNZBADZDACZMFNFN=MN=?AB因此FC=FN+NC=?ABH2AC=?(ABAC=?(7+11)=9.11.提示：在平面上任取一点O将已知的七条直线平移过点Q